نیٹ ورک سینتھسیس | ہرویٹز پولینومیل | مثبت حقیقی فنکشن
نیٹ ورک سنتھسز کا نظریہ
نیٹ ورک فنکشن
نیٹ ورک سنتھسز کا نظریہ ایک نیٹ ورک کی ترتیب میں دخیل ہوتا ہے جو فعال (جیسے ریزسٹرز) اور غیر فعال (جیسے انڈکٹرز اور کیپیسٹرز) دونوں قسم کے کمپوننٹس پر مشتمل ہوتا ہے۔
اباسیکس سے شروع کرتے ہیں: نیٹ ورک فنکشن کیا ہے؟ فریکوئنسی ڈومین میں، نیٹ ورک فنکشن کو سرکٹ آؤٹ پٹ کے فیزور کو سرکٹ آؤٹ پٹ کے فیزور سے تقسیم کرنے سے حاصل ہونے والے خارج قسمت کے طور پر تعریف کیا جاتا ہے۔
ایک سادہ زبان میں، نیٹ ورک فنکشن فریکوئنسی ڈومین میں فیزور موجود ہونے پر آؤٹ پٹ فیزور کا ان پٹ فیزور سے تناسب ہوتا ہے۔ نیٹ ورک فنکشن کی عام شکل درج ذیل ہے:
آب یہ عام نیٹ ورک فنکشن کی مدد سے تمام نیٹ ورک فنکشن کی استحکام کے لیے ضروری شرائط کی وضاحت کرسکتے ہیں۔ یہ تین بنیادی ضروری شرائط ہیں اور ان کو نیچے لکھا گیا ہے:
F(s) کے نیمتر کی درجہ دہندہ کے درجہ سے زیادہ نہ ہو۔ دوسرے الفاظ میں (m – n) کی قدر ایک کے برابر یا اس سے کم ہو۔
F(s) کے پول کے jω محور یا پول صفر پلات کے y محور پر ملٹیپل پول نہ ہوں۔
F(s) کے s-plane کے دائیں نصف حصے میں پول نہ ہوں۔
ہرویٹس پولینومیل
اگر تمام معیارات ثبات پورا کیے جائیں (یعنی ہمیں استحکامی نیٹ ورک فنکشن ملتا ہے) تو F(s) کے مقسوم علیہ کو ہروٹز پولینومیل کہا جاتا ہے۔
جہاں، Q(s) ایک ہروٹز پولینومیل ہے۔
ہروٹز پولینومیلز کی خصوصیات
ہروٹز پولینومیلز کی پانچ اہم خصوصیات ہیں اور ان کو نیچے لکھا گیا ہے:
s کے تمام حقیقی قیمتوں کے لئے فنکشن P(s) کی قیمت حقیقی ہونی چاہئے۔
ہر ریشے کا حقیقی حصہ صفر یا منفی ہونا چاہئے۔
فرض کریں کہ F(s) کے مقسوم علیہ کے ضرائب bn, b(n-1), b(n-2). . . . b0 ہیں۔ یہاں نوٹ کرنا چاہئے کہ bn, b(n-1), b0 مثبت ہونے چاہئے اور bn اور b(n-1) کو ساتھ ساتھ صفر نہیں ہونا چاہئے۔
اگر جفت درجہ زیادہ ہے تو ہروٹز پولینومیل کے جفت اور طاق حصے کے مستقل کسری توسیع کے تمام مثبت خارج قسمت کے شرائط ہونے چاہئے یا اگر طاق درجہ زیادہ ہے تو ہروٹز پولینومیل کے طاق اور جفت حصے کے مستقل کسری توسیع کے تمام مثبت خارج قسمت کے شرائط ہونے چاہئے۔
صاف جفت یا صاف طاق پولینومیل کے متبادل، ہمیں صاف جفت یا صاف طاق پولینومیل کے مشتق کے ساتھ مستقل کسری توسیع کرنا چاہئے اور بقیہ عمل نقطہ شمارہ (4) میں ذکر کردہ کے مطابق ہی ہونا چاہئے۔
اوپر کے تبادلے سے ہم ایک بہت آسان نتیجہ نکالتے ہیں، اگر دو درجی پولینومیل کے تمام ضرائب حقیقی اور مثبت ہیں تو وہ دو درجی پولینومیل ہمیشہ ہروٹز پولینومیل ہوتا ہے۔
مثبت حقیقی فنکشن
F(s) کی شکل میں موجود کوئی بھی فنکشن مثبت حقیقی فنکشن کہا جائے گا اگر یہ چار اہم شرائط پورا کرتا ہے:
F(s) کے تمام حقیقی اقدار کے لئے F(s) کی قدر حقیقی ہونی چاہئے۔
P(s) کو ہر ویٹز کثیر رقمی ہونا چاہئے۔
اگر ہم s = jω استعمال کرتے ہیں تو حقیقی اور تخیلی حصوں کو جدا کرنے پر، فنکشن کا حقیقی حصہ صفر یا اس سے زیادہ ہونا چاہئے، یعنی یہ غیر منفی ہونا چاہئے۔ یہ بہت اہم شرط ہے اور ہم اس شرط کو اس طرح استعمال کرتے ہیں کہ فنکشن مثبت حقیقی ہے یا نہیں۔
s = jω استعمال کرتے ہوئے، F(s) کو آسان قطبیں ہونی چاہئے اور باقیات حقیقی اور مثبت ہونے چاہئے۔
مثبت حقیقی فنکشن کی خصوصیات
مثبت حقیقی فنکشن کی چار بہت اہم خصوصیات ہیں اور وہ درج ذیل ہیں:
F(s) کے عددی اور مقامی کثیر رقمی ہر دو ہر ویٹز کثیر رقمی ہونے چاہئے۔
F(s) کے عددی کثیر رقمی کا درجہ مقامی کثیر رقمی کے درجہ سے زیادہ سے زیادہ ایک ہونا چاہئے۔ دوسرے الفاظ میں (m-n) کی قدر ایک یا اس سے کم ہونی چاہئے۔
اگر F(s) مثبت حقیقی فنکشن ہے تو F(s) کا مقلوب بھی مثبت حقیقی فنکشن ہونا چاہئے۔
یاد رہے کہ دو یا دو سے زیادہ مثبت حقیقی فنکشن کا جمع بھی مثبت حقیقی فنکشن ہوتا ہے لیکن تفریق کی صورت میں یہ مثبت حقیقی ہو سکتا ہے یا نہیں ہو سکتا ہے۔
نیچے لکھے گئے چار ضروری شرائط ہیں جو مثبت حقیقی فنکشن کے لئے ضروری ہیں لیکن کافی نہیں ہیں:
کثیر رقمی کے معاملات حقیقی اور مثبت ہونے چاہئے۔
F(s) کے عددی کثیر رقمی کا درجہ مقامی کثیر رقمی کے درجہ سے زیادہ سے زیادہ ایک ہونا چاہئے۔ دوسرے الفاظ میں (m – n) کی قدر ایک یا اس سے کم ہونی چاہئے۔
تخیلی محور پر قطب اور صفر آسان ہونے چاہئے۔
فرض کیجئے کہ F(s) کے مقامی کثیر رقمی کے معاملات bn, b(n-1), b(n-2)... b0 ہیں۔ یہاں یہ نوٹ کرنا ضروری ہے کہ bn, b(n-1), b0 مثبت ہونے چاہئے اور bn اور b(n-1) کو ایک ساتھ صفر نہیں ہونا چاہئے۔
اب یہاں دو ضروری اور کافی شرائط ہیں جو مثبت حقیقی فنکشن کے لئے ضروری ہیں اور وہ درج ذیل ہیں:
F(s) کے jω محور پر سادہ قطب ہونے چاہئیں اور ان قطب کے باقیات حقیقی اور مثبت ہونے چاہئیں۔
F(s) کے نumerator اور denominator کا جمع Hurwitz کثیر رقمی ہونا چاہئیں۔
Statement: 原创尊重，好文章值得分享，如有侵权请联系删除。
注意：最后一句“Statement”部分似乎应为中文，但基于您的要求，我将其翻译成了乌尔都语。如果您希望保留原文，请告知我进行调整。根据您的指示，以下是完全按照要求翻译的内容：F(s) کے jω محور پر سادہ قطب ہونے چاہئیں اور ان قطب کے باقیات حقیقی اور مثبت ہونے چاہئیں۔
F(s) کے نumerator اور denominator کا جمع Hurwitz کثیر رقمی ہونا چاہئیں۔
Statement: متن: اصليت کو تحفظ دیں، اچھے مضامین شیئرنگ کے قابل ہیں، اگر کوئی تہذیبی حقوق کی خلاف ورزی ہوتی ہے تو کنٹیکٹ کر کے حذف کریں۔
