Δικτύωση Σύνθεσης | Πολυώνυμο Hurwitz | Θετικές Πραγματικές Συναρτήσεις

Θεωρία της σύνθεσης δικτύων

Συναρτήσεις δικτύου

Η θεωρία της σύνθεσης δικτύων αφορά τη σύνθεση δικτύων που αποτελούνται και από ενεργά συστατικά (όπως τα αντιστοιχεία) και από αδρανή συστατικά (όπως τα ενδυνάμωσης και τα χωρητικά).

Ας ξεκινήσουμε με τα βασικά: τι είναι μια συνάρτηση δικτύου? Στο πεδίο της συχνότητας, οι συναρτήσεις δικτύου ορίζονται ως το πηλίκο που προκύπτει από τη διαίρεση του φασορικού που αντιστοιχεί στην εξόδου του περιβάλλοντος με το φασορικό που αντιστοιχεί στην είσοδο του περιβάλλοντος.

Με απλά λόγια, οι συναρτήσεις δικτύου είναι το πηλίκο του φασορικού εξόδου προς το φασορικό είσοδου όταν οι φασορικοί υπάρχουν στο πεδίο της συχνότητας. Η γενική μορφή των συναρτήσεων δικτύου δίνεται παρακάτω:

Τώρα, με τη βοήθεια της παραπάνω γενικής συνάρτησης δικτύου, μπορούμε να περιγράψουμε τις απαραίτητες συνθήκες για τη σταθερότητα όλων των συναρτήσεων δικτύου. Υπάρχουν τρεις κυρίως απαραίτητες συνθήκες για τη σταθερότητα αυτών των συναρτήσεων δικτύου και αυτές είναι:

1. Το βαθμός του αριθμητή της F(s) δεν πρέπει να υπερβαίνει τον βαθμό του παρονομαστή περισσότερο από μονάδα. Με άλλα λόγια (m – n) πρέπει να είναι μικρότερο ή ίσο με μία.

2. Η F(s) δεν πρέπει να έχει πολλαπλά πόλους στον άξονα jω ή τον άξονα y του πλοτάρισμα πόλων-μηδενών.

3. Η F(s) δεν πρέπει να έχει πόλους στο δεξιό μισό του επιπέδου s.

Πολυώνυμο Hurwitz

Εάν όλες οι προϋποθέσεις σταθερότητας εκπληρώνονται (δηλαδή έχουμε σταθερή συνάρτηση δικτύου), τότε ο παρονομαστής της F(s) ονομάζεται πολυώνυμο Hurwitz.

Όπου, Q(s) είναι ένα πολυώνυμο Hurwitz.

Ιδιότητες των πολυωνύμων Hurwitz

Υπάρχουν πέντε σημαντικές ιδιότητες των πολυωνύμων Hurwitz και αυτές είναι:

1. Για όλες τις πραγματικές τιμές του s, η τιμή της συνάρτησης P(s) πρέπει να είναι πραγματική.

2. Ο πραγματικός μέρος κάθε ρίζας πρέπει να είναι ή 0 ή αρνητικός.

3. Ας θεωρήσουμε ότι οι συντελεστές του παρονομαστή της F(s) είναι bn, b(n-1), b(n-2). . . . b0. Πρέπει να σημειωθεί ότι bn, b(n-1), b0 πρέπει να είναι θετικά και bn και b(n-1) δεν πρέπει να είναι 0 ταυτόχρονα.

4. Η συνεχής κλασματική επέκταση του άρτιου στο περιττό μέρος του πολυωνύμου Hurwitz πρέπει να δίνει όλους τους θετικούς όρους πηλίκων, εάν το βαθμός του άρτιου είναι υψηλότερος, ή η συνεχής κλασματική επέκταση του περιττού στο άρτιο μέρος του πολυωνύμου Hurwitz πρέπει να δίνει όλους τους θετικούς όρους πηλίκων, εάν το βαθμός του περιττού είναι υψηλότερος.

5. Στην περίπτωση ενός καθαρά άρτιου ή καθαρά περιττού πολυωνύμου, πρέπει να κάνουμε συνεχή κλάσμα με την παράγωγο του καθαρά άρτιου ή καθαρά περιττού πολυωνύμου και η υπόλοιπη διαδικασία είναι η ίδια όπως αναφέρεται στο σημείο αριθ. 4.

Από την παραπάνω συζήτηση συνεπάγουμε ένα πολύ απλό αποτέλεσμα, Εάν όλοι οι συντελεστές του δευτεροβάθμιου πολυωνύμου είναι πραγματικοί και θετικοί, τότε αυτό το δευτεροβάθμιο πολυώνυμο είναι πάντα ένα πολυώνυμο Hurwitz.

Θετικές πραγματικές συναρτήσεις

Κάθε συνάρτηση που είναι στη μορφή F(s) θα ονομαστεί θετική πραγματική συνάρτηση εάν πληροί αυτές τις τέσσερις σημαντικές συνθήκες:

1. Η F(s) πρέπει να δίνει πραγματικές τιμές για όλες τις πραγματικές τιμές του s.

2. Το P(s) πρέπει να είναι ένα πολυώνυμο Hurwitz.

3. Εάν αντικαταστήσουμε s = jω, τότε απομονώνοντας τα πραγματικά και φανταστικά μέρη, το πραγματικό μέρος της συνάρτησης πρέπει να είναι μεγαλύτερο ή ίσο με μηδέν, δηλαδή πρέπει να είναι μη αρνητικό. Αυτή είναι η πιο σημαντική συνθήκη και θα τη χρησιμοποιούμε συχνά για να βρούμε εάν η συνάρτηση είναι θετική πραγματική ή όχι.

4. Εάν αντικαταστήσουμε s = jω, η F(s) πρέπει να έχει απλούς πόλους και τα υπόλοιπα πρέπει να είναι πρα