Síntese de Rede | Polinomio de Hurwitz | Funcións Realmente Positivas

Teoría da Síntese de Rede

Funcións de Rede

A teoría da síntese de rede implica a síntese de redes compoñidas tanto por componentes activos (como resistencias) como por componentes pasivos (como indutancias e capacitores).

Comecemos coas bases: que é unha función de rede? No dominio da frecuencia, as funcións de rede defínense como o cociente obtido ao dividir o fasor correspondente á saída do circuito polo fasor correspondente á entrada do circuito.

En palabras sinxelas, as funcións de rede son a razón entre o fasor de saída e o fasor de entrada cando os fasores existen no dominio da frecuencia. A forma xeral das funcións de rede é a seguinte:

Agora, coa axuda da función de rede xeral anterior, podemos describir as condicións necesarias para a estabilidade de todas as funcións de rede. Hai tres condicións principais necesarias para a estabilidade destas funcións de rede e están escritas a continuación:

1. O grao do numerador de F(s) non debe superar o grao do denominador máis que en unidade. En outras palabras, (m – n) debe ser menor ou igual a un.

2. F(s) non debe ter múltiples polos no eixe jω ou no eixe y do diagrama de polos e zeros.

3. F(s) non debe ter polos na metade dereita do plano s.

Polinomio de Hurwitz

Se se cumprin todos os criterios de estabilidade (é dicir, temos unha función de rede estable), entón o denominador de F(s) chámase polinomio de Hurwitz.

Onde, Q(s) é un polinomio de Hurwitz.

Propiedades dos Polinomios de Hurwitz

Hai cinco propiedades importantes dos polinomios de Hurwitz e están escritas a continuación:

1. Para todos os valores reais de s, o valor da función P(s) debe ser real.

2. A parte real de cada raíz debe ser cero ou negativa.

3. Consideremos que os coeficientes do denominador de F(s) son bn, b(n-1), b(n-2). . . . b0. Debe notarse que bn, b(n-1), b0 deben ser positivos e bn e b(n-1) non deben ser cero simultaneamente.

4. A expansión en fracción continua da parte par á impar do polinomio de Hurwitz debe dar todos os termos de quociente positivos, se o grao par é maior ou a expansión en fracción continua da parte impar á par do polinomio de Hurwitz debe dar todos os termos de quociente positivos, se o grao impar é maior.

5. No caso de un polinomio puramente par ou puramente impar, debemos facer a fracción continua coa derivada do polinomio puramente par ou puramente impar e o resto do procedemento é o mesmo que se menciona no punto número (4).

Da discusión anterior concluímos un resultado moi simple, se todos os coeficientes do polinomio cuadrático son reais e positivos, entón ese polinomio cuadrático é sempre un polinomio de Hurwitz.

Funcións Real Positivas

Calquera función que estea na forma de F(s) chamárase función real positiva se cumprir estas catro condicións importantes:

1. F(s) debe dar valores reais para todos os valores reais de s.

2. P(s) debe ser un polinomio de Hurwitz.

3. Se substituímos s = jω, ao separar as partes real e imaxinaria, a parte real da función debe ser maior ou igual a cero, é dicir, debe ser non negativa. Esta é a condición máis importante e usaremos esta condición con frecuencia para determinar se a función é real positiva ou non.

4. Ao substituír s = jω, F(s) debe ter polos simples e os residuos deben ser reais e positivos.

Propiedades das Funcións Real Positivas

Hai catro propiedades moi importantes das funcións real positivas e están escritas a continuación:

1. Tanto o numerador como o denominador de F(s) deben ser polinomios de Hurwitz.

2. O grao do numerador de F(s) non debe superar o grao do denominador máis que en unidade. En outras palabras, (m-n) debe ser menor ou igual a un.

3. Se F(s) é unha función real positiva, entón o recíproco de F(s) tamén debe ser unha función real positiva.

4. Debe recordarse que a suma de dúas ou máis funcións real positivas tamén é unha función real positiva, pero no caso da diferenza pode ser ou non unha función real positiva.

As seguintes son as catro condicións necesarias, pero non suficientes, para que as funcións sexan funcións real positivas e están escritas a continuación:

1. Os coeficientes do polinomio deben ser reais e positivos.

2. O grao do numerador de F(s) non debe superar o grao do denominador máis que en unidade. En outras palabras, (m – n) debe ser menor ou igual a un.

3. Os polos e ceros no eixe imaxinario deben ser simples.

4. Consideremos que os coeficientes do denominador de F(s) son bn, b(n-1), b(n-2). . . . b0.Debe notarse que bn, b(n-1), b0 deben ser positivos e b

   Propina