Võrgusüntees | Hurwitzi polünoom | Positiivsed reaalfunktsioonid
Võrgusünteesi teooria
Võrgufunktsioonid
Võrgusünteesi teoorias käsitletakse nii aktiivsete (näiteks vastustega) kui passiivsete komponentide (näiteks induktiivsus- ja kapasitiivsuskomponentidega) koostatud võrkude sünteesimist.
Alustame põhitõdedest: mis on võrgufunktsioon? Sageduspiirkonnas määratakse võrgufunktsioonid kui jagatis, mis saadakse ümberkandliku poolt, jagades väljundfaasi poolt sissekannefaasi.
Lihtsalt öeldes, võrgufunktsioonid on väljundfaasi ja sissekannefaasi suhe, kui need faasid eksisteerivad sageduspiirkonnas. Võrgufunktsioonide üldine vorm on järgmine:
Nüüd saame kasutada ülaltoodud üldist võrgufunktsiooni, et kirjeldada stabiilsuseks vajalikke tingimusi kõigile võrgufunktsioonidele. Stabiilsuseks on kolm peamist tingimust, mida on kirjas allpool:
F(s) lugeja astak ei tohi ületada nimetaja astakut rohkem kui ühe võrra. Teisisõnu (m – n) peaks olema väiksem või võrdne ühega.
F(s) ei tohi olla mitmekordseid pööreid jω-teljel või y-teljel pöörete-nullkohtade kaartis.
F(s) ei tohi olla pööreid s-tasandi paremas poolel.
Hurwitzi polünoom
Kui kõik eelnimetatud stabiilsuse kriteeriumid on täidetud (st meil on stabiilne võrgufunktsioon), siis F(s) nimetaja nimetatakse Hurwitzi polünoomiks.
Kus Q(s) on Hurwitzi polünoom.
Hurwitzi polünoomide omadused
On viis olulist Hurwitzi polünoomide omadust, mida on kirjas allpool:
Kõigi reaalsete s väärtuste korral P(s) funktsiooni väärtus peaks olema reaalne.
Iga juure reaalosa peaks olema kas null või negatiivne.
Olgu F(s) nimetaja kordajad bn, b(n-1), b(n-2). . . . b0. Siin tuleb märkida, et bn, b(n-1), b0 peaksid olema positiivsed ja bn ja b(n-1) ei tohi olla samaaegselt null.
Jätkvat murdu laiendamisel iseliku osa paarisjuhul või paaritu osa Hurwitzi polünoomi suhtes peaks andma kõik positiivsed jagatud terminid, kui paarisaste on kõrgem või jätkvat murdu laiendamisel paaritu osa paarisosa Hurwitzi polünoomi suhtes peaks andma kõik positiivsed jagatud terminid, kui paaritu aste on kõrgem.
Loomulikuult paaris või paaritu polünoomi puhul peame tegema jätkvat murdu laiendamise selle polünoomi tuletise abil, ja muu protseduur on sama, nagu punktis (4) mainitud.
Ülaltoodud arutelu põhjal saame ühe lihtsa tulemuse: Kui kõik kvadratsed polünoomide kordajad on reaalsed ja positiivsed, siis see kvadratsed polünoom on alati Hurwitzi polünoom.
Positiivsed reaalfunktsioonid
Iga F(s) vormis olev funktsioon nimetatakse positiivseks reaalfunktsiooniks, kui ta täidab nende nelja olulise tingimuse:
F(s) peaks andma reaalseid väärtusi kõigi reaalsete s väärtuste korral.
P(s) peaks olema Hurwitzi polünoom.
Kui asendame s = jω, siis reaal- ja imaginaarosade eraldamisel peaks funktsiooni reaalosa olema suurem või võrdne nulliga, st see peaks olema mittunegatiivne. See on kõige olulisem tingimus, mida kasutame sageli, et tuvastada, kas funktsioon on positiivne reaalne või mitte.
Asendades s = jω, peaks F(s) oma pööreid olemas hoidma ja jäägid peaksid olema reaalsed ja positiivsed.
Positiivsete reaalfunktsioonide omadused
On neli väga olulist positiivse reaalfunktsiooni omadust, mida on kirjas allpool:
Mõlemad F(s) lugeja ja nimetaja peaksid olema Hurwitzi polünoomid.
F(s) lugeja astak ei tohi ületada nimetaja astakut rohkem kui ühe võrra. Teisisõnu (m-n) peaks olema väiksem või võrdne ühega.
Kui F(s) on positiivne reaalfunktsioon, siis selle pöördväärtus peaks samuti olema positiivne reaalfunktsioon.
Kaks või rohkem positiivset reaalfunktsiooni summa on alati positiivne reaalfunktsioon, kuid erinevuse puhul võib see olla või mitte olla positiivne reaalfunktsioon.
Järgmised on neli vajalikku, kuid mitte piisavat tingimust, et funktsioon oleks positiivne reaalfunktsioon, ja need on kirjas allpool:
Polünoomi kordajad peaksid olema reaalsed ja positiivsed.
F(s) lugeja astak ei tohi ületada nimetaja astakut rohkem kui ühe võrra. Teisisõnu (m – n) peaks olema väiksem või võrdne ühega.
Pööreid ja nullkohti imaginääristel peavad olema lihtsad.
Olgu F(s) nimetaja kordajad bn, b(n-1), b
