Synteza sieci | Wielomian Hurwitza | Funkcje rzeczywiste dodatnie

Teoria syntez sieci

Funkcje sieciowe

Teoria syntez sieci obejmuje syntezę sieci złożonych zarówno z elementów aktywnych (jak oporniki) i pasywnych (jak cewki i kondensatory).

Zacznijmy od podstaw: co to jest funkcja sieciowa? W dziedzinie częstotliwości funkcje sieciowe są zdefiniowane jako iloraz uzyskany przez podzielenie fazora odpowiadającego wyjściu obwodu przez fazor odpowiadający wejściu obwodu.

Prosty sposób mówienia o tym, że funkcje sieciowe to stosunek fazora wyjściowego do fazora wejściowego, gdy fazory istnieją w dziedzinie częstotliwości. Ogólna forma funkcji sieciowych przedstawiona jest poniżej:

Teraz, korzystając z powyższej ogólnej funkcji sieciowej, możemy opisać niezbędne warunki stabilności wszystkich funkcji sieciowych. Istnieją trzy główne warunki konieczne dla stabilności tych funkcji sieciowych i są one wymienione poniżej:

1. Stopień licznika F(s) nie powinien przekraczać stopnia mianownika o więcej niż jednostkę. Innymi słowy (m – n) powinno być mniejsze lub równe jeden.

2. F(s) nie powinno mieć wielokrotnych biegunów na osi jω lub osi y wykresu biegunowo-zero.

3. F(s) nie powinno mieć biegunów w prawej połowie płaszczyzny s.

Wielomian Hurwitza

Jeśli spełnione są wszystkie kryteria stabilności (tzn. mamy stabilną funkcję sieciową), to mianownik F(s) nazywany jest wielomianem Hurwitza.

Gdzie Q(s) to wielomian Hurwitza.

Właściwości wielomianów Hurwitza

Istnieje pięć ważnych właściwości wielomianów Hurwitza i są one wymienione poniżej:

1. Dla wszystkich rzeczywistych wartości s wartość funkcji P(s) powinna być rzeczywista.

2. Część rzeczywista każdego pierwiastka powinna być albo zero, albo ujemna.

3. Rozważmy współczynniki mianownika F(s) jako bn, b(n-1), b(n-2). . . . b0. Należy zauważyć, że bn, b(n-1), b0 muszą być dodatnie, a bn i b(n-1) nie mogą jednocześnie wynosić zero.

4. Rozszerzenie ułamka łańcuchowego części parzystej do nieparzystej wielomianu Hurwitza powinno dać wszystkie dodatnie ilorazy, jeśli stopień parzysty jest wyższy, lub rozszerzenie ułamka łańcuchowego części nieparzystej do parzystej wielomianu Hurwitza powinno dać wszystkie dodatnie ilorazy, jeśli stopień nieparzysty jest wyższy.

5. W przypadku czysto parzystego lub czysto nieparzystego wielomianu, musimy zrobić ułamek łańcuchowy pochodnej czysto parzystego lub czysto nieparzystego wielomianu, a reszta procedury jest taka sama, jak opisane w punkcie numer (4).

Na podstawie powyższych dyskusji dochodzimy do bardzo prostego wniosku, jeśli wszystkie współczynniki kwadratowego wielomianu są rzeczywiste i dodatnie, to ten kwadratowy wielomian zawsze jest wielomianem Hurwitza.

Funkcje rzeczywiste dodatnie

Każda funkcja w postaci F(s) będzie nazywana funkcją rzeczywistą dodatnią, jeśli spełnia te cztery ważne warunki:

1. F(s) powinna dawać rzeczywiste wartości dla wszystkich rzeczywistych wartości s.

2. P(s) powinno być wielomianem Hurwitza.

3. Jeśli podstawimy s = jω, a następnie oddzielimy część rzeczywistą i urojoną, to część rzeczywista funkcji powinna być większa lub równa zero, czyli powinna być nieujemna. To jest najważniejszy warunek, a będziemy go często używać, aby określić, czy funkcja jest rzeczywista dodatnia, czy nie.

4. Podstawiając s = jω, F(s) powinno posiadać proste bieguny, a reszty powinny być rzeczywiste i dodatnie.

Właściwości funkcji rzeczywistych dodatnich

Istnieją cztery bardzo ważne właściwości funkcji rzeczywistych dodatnich i są one wymienione poniżej:

1. Oba, licznik i mianownik F(s) powinny być wielomianami Hurwitza.

2. Stopień licznika F(s) nie powinien przekraczać stopnia mianownika o więcej niż jednostkę. Innymi słowy (m-n) powinno być mniejsze lub równe jeden.

3. Jeśli F(s) jest funkcją rzeczywistą dodatnią, to odwrotność F(s) również powinna być funkcją rzeczywistą dodatnią.

4. Suma dwóch lub więcej funkcji rzeczywistych dodatnich jest również funkcją rzeczywistą dodatnią, ale w przypadku różnicy może, ale nie musi być funkcją rzeczywistą dodatnią.

Poniżej przedstawiono cztery konieczne, ale nie wystarczające warunki, aby funkcje były funkcjami rzeczywistymi dodatnimi:

1. Współczynniki wielomianu muszą być rzeczywiste i dodatnie.

2. Stopień licznika F(s) nie powinien przekraczać stopnia mianownika o więcej niż jednostkę. Innymi słowy (m – n) powinno być mniejsze lub równe jeden.

3. Bieguny i zera na osi urojonej powinny być proste.

4. Rozważmy współczynniki mianownika F(s) jako bn, b(n-1), b(n-2). . . . b0.