การสังเคราะห์เครือข่าย | พหุนามฮูร์วิทซ์ | ฟังก์ชันจริงบวก

ทฤษฎีการสังเคราะห์เครือข่าย

ฟังก์ชันเครือข่าย

ทฤษฎีการสังเคราะห์เครือข่ายเกี่ยวข้องกับการสร้างเครือข่ายที่ประกอบด้วยองค์ประกอบที่ทำงานอย่างเช่นตัวต้านทานและองค์ประกอบที่ไม่ทำงานเช่นอินดักเตอร์และคาปาซิเตอร์

เริ่มต้นด้วยพื้นฐาน: ฟังก์ชันเครือข่ายคืออะไร? ในโดเมนความถี่ ฟังก์ชันเครือข่าย ถูกกำหนดเป็นผลหารจากการหารเฟสเซอร์ที่สอดคล้องกับเอาต์พุตวงจรด้วยเฟสเซอร์ที่สอดคล้องกับอินพุตวงจร

ในคำพูดง่ายๆ ฟังก์ชันเครือข่าย คืออัตราส่วนของเฟสเซอร์เอาต์พุตต่อเฟสเซอร์อินพุตเมื่อมีเฟสเซอร์ในโดเมนความถี่ รูปแบบทั่วไปของฟังก์ชันเครือข่ายแสดงด้านล่าง:

ตอนนี้ด้วยความช่วยเหลือของฟังก์ชันเครือข่ายทั่วไปข้างต้น เราสามารถอธิบายเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับเสถียรภาพของฟังก์ชันเครือข่ายทั้งหมด เงื่อนไขที่จำเป็นหลักสามประการสำหรับเสถียรภาพของฟังก์ชันเครือข่ายเหล่านี้เขียนไว้ด้านล่าง:

1. ดีกรีของตัวเศษของ F(s) ไม่ควรเกินดีกรีของตัวส่วนมากกว่าหนึ่ง ในทางกลับกัน (m – n) ควรน้อยกว่าหรือเท่ากับหนึ่ง

2. F(s) ควรมีโพลบนแกน jω หรือแกน y ของแผนภาพโพล-ศูนย์เพียงครั้งเดียวเท่านั้น

3. F(s) ไม่ควรมีโพลบนครึ่งขวาของระนาบ s

พหุนามฮูร์วิตซ์

หากทุกเงื่อนไขของความเสถียรได้รับการปฏิบัติ (กล่าวคือเราได้ฟังก์ชันเครือข่ายที่เสถียร) แล้วตัวส่วนของ F(s) จะเรียกว่า พหุนามฮูร์วิตซ์.

ที่ไหน Q(s) เป็น พหุนามฮูร์วิตซ์.

คุณสมบัติของพหุนามฮูร์วิตซ์

มีคุณสมบัติสำคัญห้าประการของพหุนามฮูร์วิตซ์และเขียนไว้ด้านล่าง:

1. สำหรับค่า s ที่เป็นจำนวนจริงทั้งหมด ค่าของฟังก์ชัน P(s) ควรเป็นจำนวนจริง

2. ส่วนจริงของรากทุกตัวควรเป็นศูนย์หรือลบ

3. ให้เราพิจารณาสัมประสิทธิ์ของตัวส่วนของ F(s) เป็น bn, b(n-1), b(n-2). . . . b0. ที่นี่ควรสังเกตว่า bn, b(n-1), b0 ต้องเป็นบวกและ bn และ b(n-1) ไม่ควรเท่ากับศูนย์พร้อมกัน

4. การขยายเศษส่วนต่อเนื่องของส่วนคู่ไปยังส่วนคี่ของ พหุนามฮูร์วิตซ์ ควรให้ผลหารที่เป็นบวกทั้งหมด หากดีกรีคู่สูงกว่าหรือการขยายเศษส่วนต่อเนื่องของส่วนคี่ไปยังส่วนคู่ของพหุนามฮูร์วิตซ์ควรให้ผลหารที่เป็นบวกทั้งหมด หากดีกรีคี่สูงกว่า

5. ในกรณีของพหุนามคู่หรือคี่บริสุทธิ์ เราต้องทำการขยายเศษส่วนกับอนุพันธ์ของพหุนามคู่หรือคี่บริสุทธิ์ และกระบวนการที่เหลือเหมือนกับที่ระบุไว้ในข้อที่ 4

จากข้อสนทนาระหว่างนี้เราสรุปผลที่ง่ายมาก หากสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของพหุนามกำลังสองเป็นจำนวนจริงและบวก พหุนามกำลังสองนั้นจะเป็นพหุนามฮูร์วิตซ์เสมอ

ฟังก์ชันจริงบวก

ฟังก์ชันใดๆ ที่อยู่ในรูปของ F(s) จะเรียกว่า ฟังก์ชันจริงบวก หากทำให้เงื่อนไขสำคัญสี่ประการดังนี้:

1. F(s) ควรให้ค่าจริงสำหรับค่า s ที่เป็นจำนวนจริงทั้งหมด

2. P(s) ควรเป็นพหุนามฮูร์วิตซ์

3. หากเราแทน s = jω แล้วแยกส่วนจริงและส่วนจินตภาพ ส่วนจริงของฟังก์ชันควรมากกว่าหรือเท่ากับศูนย์ หมายความว่าควรเป็นบวกหรือศูนย์ นี่เป็นเงื่อนไขที่สำคัญมากและเราจะใช้เงื่อนไขนี้บ่อยครั้งในการหาว่าฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันจริงบวกหรือไม่

4. เมื่อแทน s = jω, F(s) ควรมีโพลที่ง่ายและเศษส่วนคงที่ควรเป็นจำนวนจริงและบวก

คุณสมบัติของฟังก์ชันจริงบวก

มีคุณสมบัติสำคัญสี่ประการของ ฟังก์ชันจริงบวก และเขียนไว้ด้านล่าง:

1. ทั้งตัวเศษและตัวส่วนของ F(s) ควรเป็นพหุนามฮูร์วิตซ์

2. ดีกรีของตัวเศษของ F(s) ไม่ควรเกินดีกรีของตัวส่วนมากกว่าหนึ่ง กล่าวคือ (m-n) ควรน้อยกว่าหรือเท่ากับหนึ่ง

3. หาก F(s) เป็นฟังก์ชันจริงบวก แล้วส่วนกลับของ F(s) ก็ควรเป็นฟังก์ชันจริงบวก

4. จำไว้ว่าผลรวมของฟังก์ชันจริงบวกสองตัวหรือมากกว่านั้นก็เป็นฟังก์ชันจริงบวก แต่ในกรณีของการลบอาจเป็นหรือไม่เป็นฟังก์ชันจริงบวกก็ได้

ต่อไปนี้เป็นสี่เงื่อนไขที่จำเป็นแต่ไม่เพียงพอสำหรับฟังก์ชันที่จะเป็นฟังก์ชันจริงบวกและเขียนไว้ด้านล่าง:

1. สัมประสิทธิ์ของพหุนามต้องเป็นจำนวนจริงและบวก

2. ดีกรีของตัวเศษของ F(s) ไม่ควรเกินดีกรีของตัวส่วนมากกว่าหนึ่ง กล่าวคือ (m – n) ควรน้อยกว่าหรือเท่ากับหนึ่ง

3. ทิป