Netværkssyntese | Hurwitz-polynomium | Positive reelle funktioner

Teori om netværkssyntese

Netværksfunktioner

Teorien om netværkssyntese involverer syntesen af netværk, der består af både aktive komponenter (som motstande) og passive komponenter (som induktorer og kondensatorer).

Lad os begynde med de grundlæggende: hva' er en netværksfunktion? I frekvensdomænet defineres netværksfunktioner som kvotienten, der opnås ved at dividere fasoren, der svarer til kredsløbsudgang, med fasoren, der svarer til kredsløbsindgang.

Med andre ord, netværksfunktioner er forholdet mellem udgangsfasoren og indgangsfasoren, når fasorer findes i frekvensdomænet. Den generelle form for netværksfunktioner er givet nedenfor:

Nu kan vi med hjælp fra den ovenstående generelle netværksfunktion beskrive de nødvendige betingelser for stabiliteten af alle netværksfunktioner. Der er tre hovedmæssige nødvendige betingelser for stabiliteten af disse netværksfunktioner, og de er skrevet nedenfor:

1. Grad af tælleren i F(s) bør ikke overstige graden af nævneren med mere end én. Med andre ord, (m – n) bør være mindre end eller lig med ét.

2. F(s) bør ikke have flere poler på jω-aksen eller y-aksen i pol-nul plot.

3. F(s) bør ikke have poler i det højre halvdelen af s-planen.

Hurwitz-polynomium

Hvis alle stabilitetskriterierne er opfyldt (dvs. vi har en stabil netværksfunktion), kaldes nævneren af F(s) for et Hurwitz-polynomium.

Hvor Q(s) er et Hurwitz-polynomium.

Egenskaber ved Hurwitz-polynomier

Der er fem vigtige egenskaber ved Hurwitz-polynomier, og de er skrevet nedenfor:

1. Værdien af funktionen P(s) bør være reel for alle reelle værdier af s.

2. Den reelle del af hver rod bør være enten nul eller negativ.

3. Lad os overveje, at koefficienterne i nævneren af F(s) er bn, b(n-1), b(n-2). . . . b0. Her bør det bemærkes, at bn, b(n-1), b0 måste være positive, og bn og b(n-1) bør ikke være lig med nul samtidig.

4. Den fortsatte brøkudvidelse af lige til ulige delen af Hurwitz-polynomiet bør give alle positive kvotienttermer, hvis lige grad er højere, eller den fortsatte brøkudvidelse af ulige til lige delen af Hurwitz-polynomiet bør give alle positive kvotienttermer, hvis ulige grad er højere.

5. I tilfælde af rent lige eller rent ulige polynomium skal vi udføre fortsat brøk med differentialkvotienten af det rent lige eller rent ulige polynomium, og resten af proceduren er den samme, som nævnt i punkt nummer (4).

Ud fra ovenstående diskussion konkluderer vi et meget enkelt resultat, hvis alle koefficienterne i det kvadratiske polynomium er reelle og positive, så er det kvadratiske polynomium altid et Hurwitz-polynomium.

Positive reelle funktioner

Enhver funktion, der er i formen F(s), vil blive kaldt en positiv reel funktion, hvis den opfylder disse fire vigtige betingelser:

1. F(s) bør give reelle værdier for alle reelle værdier af s.

2. P(s) bør være et Hurwitz-polynomium.

3. Hvis vi substituerer s = jω, og derefter adskiller den reelle og imaginære del, bør den reelle del af funktionen være større end eller lig med nul, dvs. den bør være ikke-negativ. Dette er den mest vigtige betingelse, og vi vil ofte bruge denne betingelse for at finde ud af, om funktionen er positiv reel eller ej.

4. Når vi substituerer s = jω, bør F(s) have simple poler, og residualerne bør være reelle og positive.

Egenskaber ved positive reelle funktioner

Der er fire meget vigtige egenskaber ved positive reelle funktioner, og de er skrevet nedenfor:

1. Både tæller og nævner i F(s) bør være Hurwitz-polynomier.

2. Graden af tælleren i F(s) bør ikke overstige graden af nævneren med mere end ét. Med andre ord, (m-n) bør være mindre end eller lig med ét.

3. Hvis F(s) er en positiv reel funktion, bør også dens reciprok være en positiv reel funktion.

4. Summen af to eller flere positive reelle funktioner er også en positiv reel funktion, men i tilfælde af differens kan det være eller ikke være en positiv reel funktion.

Følgende er fire nødvendige, men ikke tilstrækkelige betingelser for, at funktioner skal være positive reelle funktioner, og de er skrevet nedenfor:

1. Koefficienterne i polynomiet måste være reelle og positive.

2. Graden af tælleren i F(s) bør ikke overstige graden af nævneren med mere end ét. Med andre ord, (m – n) bør være mindre end eller lig med ét.

3. Poler og nulpunkter på den imaginære akse bør være simple.

4. Lad os overveje, at koefficienterne i nævneren af F(s) er bn, b(n-1), b(n-2). . . . b0.Her bør det bemærkes, at bn, b

   Støt