Синтез сетей | Полином Гурвица | Положительные вещественные функции

Теория синтеза сетей

Функции сети

Теория синтеза сетей включает синтез сетей, состоящих как из активных компонентов (например, резисторов), так и пассивных компонентов (например, индуктивностей и конденсаторов).

Начнем с основ: что такое функция сети? В частотной области функции сети определяются как частное, полученное делением фазора, соответствующего выходу цепи, на фазор, соответствующий входу цепи.

Проще говоря, функции сети — это отношение выходного фазора к входному фазору, когда фазоры существуют в частотной области. Общая форма функций сети приведена ниже:

С помощью вышеупомянутой общей функции сети мы можем описать необходимые условия для устойчивости всех функций сети. Существует три основных необходимых условия для устойчивости этих функций сети, и они приведены ниже:

1. Степень числителя F(s) не должна превышать степень знаменателя более чем на единицу. Иными словами, (m – n) должно быть меньше или равно одному.

2. F(s) не должно иметь множественных полюсов на оси jω или оси y диаграммы полюсов и нулей.

3. F(s) не должно иметь полюсов в правой половине плоскости s.

Многочлен Гурвица

Если все критерии устойчивости выполнены (т.е. у нас есть устойчивая функция сети), то знаменатель F(s) называется многочленом Гурвица.

Где Q(s) — это многочлен Гурвица.

Свойства многочленов Гурвица

Существует пять важных свойств многочленов Гурвица, и они приведены ниже:

1. Для всех действительных значений s значение функции P(s) должно быть действительным.

2. Реальная часть каждого корня должна быть либо нулевой, либо отрицательной.

3. Предположим, что коэффициенты знаменателя F(s) равны bn, b(n-1), b(n-2). . . . b0. Здесь следует отметить, что bn, b(n-1), b0 должны быть положительными, а bn и b(n-1) не должны быть равны нулю одновременно.

4. Разложение в непрерывную дробь четной части к нечетной части многочлена Гурвица должно давать все положительные члены, если степень четная выше, или разложение в непрерывную дробь нечетной части к четной части многочлена Гурвица должно давать все положительные члены, если степень нечетная выше.

5. В случае чисто четного или чисто нечетного многочлена необходимо выполнить разложение в непрерывную дробь производной чисто четного или чисто нечетного многочлена, и остальная процедура такая же, как указано в пункте 4.

Из вышеизложенного мы приходим к очень простому выводу: если все коэффициенты квадратичного многочлена вещественные и положительные, то этот квадратичный многочлен всегда является многочленом Гурвица.

Положительные вещественные функции

Любая функция, имеющая форму F(s), будет называться положительной вещественной функцией, если она удовлетворяет этим четырем важным условиям:

1. F(s) должно давать вещественные значения для всех вещественных значений s.

2. P(s) должен быть многочленом Гурвица.

3. Если подставить s = jω, то, разделив вещественную и мнимую части, вещественная часть функции должна быть больше или равна нулю, т.е. она должна быть неотрицательной. Это самое важное условие, и мы будем часто использовать его, чтобы определить, является ли функция положительной вещественной или нет.

4. Подставив s = jω, F(s) должно иметь простые полюсы, а вычеты должны быть вещественными и положительными.

Свойства положительных вещественных функций

Существуют четыре очень важных свойства положительных вещественных функций, и они приведены ниже:

1. Оба числителя и знаменателя F(s) должны быть многочленами Гурвица.

2. Степень числителя F(s) не должна превышать степень знаменателя более чем на единицу. Иными словами, (m-n) должно быть меньше или равно одному.

3. Если F(s) является положительной вещественной функцией, то обратная величина F(s) также должна быть положительной вещественной функцией.

4. Сумма двух или более положительных вещественных функций также является положительной вещественной функцией, но в случае разности это может быть, а может и не быть положительной вещественной функцией.

Следующие четыре необходимых, но недостаточных условия для того, чтобы функция была положительной вещественной, приведены ниже:

1. Коэффициенты многочлена должны быть вещественными и положительными.

2. Степень числителя F(s) не должна превышать степень знаменателя более чем на единицу. Иными словами, (m – n) должно быть меньше или равно одному.

3. Полюсы и нули на мнимой оси должны быть простыми.

4. Предположим, что коэффициенты знаменателя F(s) равны bn, b(n-1), b(n-2). . . . b0. Здесь следует отметить, что bn, b(n-1), b

   Чаевые