Sintesis Jaringan | Polinomial Hurwitz | Fungsi Nyata Positif

Teori Sintesis Jaringan

Fungsi Jaringan

Teori sintesis jaringan melibatkan sintesis jaringan yang terdiri dari komponen aktif (seperti resistor) dan komponen pasif (seperti induktor dan kapasitor).

Mari kita mulai dengan dasar-dasarnya: apa itu fungsi jaringan? Dalam domain frekuensi, fungsi jaringan didefinisikan sebagai hasil bagi phasor yang sesuai dengan output rangkaian dibagi oleh phasor yang sesuai dengan input rangkaian.

Dengan kata sederhana, fungsi jaringan adalah rasio phasor output terhadap phasor input ketika phasor ada dalam domain frekuensi. Bentuk umum dari fungsi jaringan diberikan di bawah ini:

Sekarang dengan bantuan fungsi jaringan umum di atas, kita dapat menjelaskan syarat-syarat yang diperlukan untuk stabilitas semua fungsi jaringan. Ada tiga syarat utama yang diperlukan untuk stabilitas fungsi-fungsi jaringan ini, dan mereka ditulis di bawah ini:

1. Derajat pembilang F(s) tidak boleh melebihi derajat penyebut lebih dari satu. Dengan kata lain (m – n) harus kurang dari atau sama dengan satu.

2. F(s) tidak boleh memiliki pole ganda pada sumbu jω atau sumbu y dari plot pole-zero.

3. F(s) tidak boleh memiliki pole pada setengah kanan bidang s.

Polinomial Hurwitz

Jika semua kriteria stabilitas dipenuhi (yaitu, kita memiliki fungsi jaringan yang stabil), maka penyebut F(s) disebut polinomial Hurwitz.

Di mana, Q(s) adalah polinomial Hurwitz.

Sifat-sifat Polinomial Hurwitz

Ada lima sifat penting dari polinomial Hurwitz, dan mereka ditulis di bawah ini:

1. Untuk semua nilai s yang real, nilai fungsi P(s) harus real.

2. Bagian real dari setiap akar harus nol atau negatif.

3. Misalkan koefisien penyebut F(s) adalah bn, b(n-1), b(n-2). . . . b0. Di sini perlu dicatat bahwa bn, b(n-1), b0 harus positif dan bn dan b(n-1) tidak boleh sama dengan nol secara bersamaan.

4. Ekspansi fraksi berkelanjutan dari bagian genap ke bagian ganjil polinomial Hurwitz harus memberikan semua suku hasil bagi positif, jika derajat genap lebih tinggi, atau ekspansi fraksi berkelanjutan dari bagian ganjil ke bagian genap polinomial Hurwitz harus memberikan semua suku hasil bagi positif, jika derajat ganjil lebih tinggi.

5. Dalam kasus polinomial murni genap atau murni ganjil, kita harus melakukan ekspansi fraksi dengan turunan dari polinomial murni genap atau murni ganjil tersebut, dan prosedur sisanya sama seperti yang disebutkan dalam poin nomor (4).

Dari diskusi di atas, kita dapat menyimpulkan satu hasil yang sangat sederhana, Jika semua koefisien polinomial kuadratik real dan positif, maka polinomial kuadratik tersebut selalu merupakan polinomial Hurwitz.

Fungsi Real Positif

Setiap fungsi yang berbentuk F(s) akan disebut fungsi real positif jika memenuhi empat syarat penting berikut:

1. F(s) harus memberikan nilai real untuk semua nilai s yang real.

2. P(s) harus merupakan polinomial Hurwitz.

3. Jika kita substitusikan s = jω, maka dengan memisahkan bagian real dan imajiner, bagian real dari fungsi harus lebih besar dari atau sama dengan nol, artinya harus non-negatif. Ini adalah syarat yang sangat penting, dan kita akan sering menggunakan syarat ini untuk menentukan apakah fungsi tersebut real positif atau tidak.

4. Dengan mensubstitusikan s = jω, F(s) harus memiliki pole sederhana dan residunya harus real dan positif.

Sifat-sifat Fungsi Real Positif

Ada empat sifat yang sangat penting dari fungsi real positif dan mereka ditulis di bawah ini:

1. Baik pembilang maupun penyebut F(s) harus merupakan polinomial Hurwitz.

2. Derajat pembilang F(s) tidak boleh melebihi derajat penyebut lebih dari satu. Dengan kata lain (m-n) harus kurang dari atau sama dengan satu.

3. Jika F(s) adalah fungsi real positif, maka kebalikan dari F(s) juga harus merupakan fungsi real positif.

4. Ingatlah bahwa penjumlahan dua atau lebih fungsi real positif juga merupakan fungsi real positif, tetapi dalam kasus perbedaan, mungkin atau mungkin bukan fungsi real positif.

Berikut adalah empat syarat yang diperlukan, tetapi tidak cukup, untuk fungsi menjadi fungsi real positif, dan mereka ditulis di bawah ini:

1. Koefisien polinomial harus real dan positif.

2. Derajat pembilang F(s) tidak boleh melebihi derajat penyebut lebih dari satu. Dengan kata lain (m – n) harus kurang dari atau sama dengan satu.

3. Pole dan nol pada sumbu imajiner harus sederhana.

4. Misalkan koefisien penyebut F(s) adalah bn, b(n-1), b(n-2). . . . b0. Di sini perlu dicatat bahwa bn, b(n-1), b0 harus positif dan b