Sintesi di Rete | Polinomio di Hurwitz | Funzioni a Parte Reale Positiva

Teoria della Sintesi di Rete

Funzioni di Rete

La teoria della sintesi di rete coinvolge la sintesi di reti costituite da componenti attivi (come resistenze) e passivi (come induttori e condensatori).

Iniziamo con le basi: cos'è una funzione di rete? Nel dominio della frequenza, le funzioni di rete sono definite come il quoziente ottenuto dividendo il fasore corrispondente all'uscita del circuito per il fasore corrispondente all'ingresso del circuito.

In parole semplici, le funzioni di rete sono il rapporto tra il fasore di uscita e il fasore di ingresso quando i fasori esistono nel dominio della frequenza. La forma generale delle funzioni di rete è la seguente:

Ora, con l'aiuto della funzione di rete generale sopra, possiamo descrivere le condizioni necessarie per la stabilità di tutte le funzioni di rete. Esistono tre condizioni principali necessarie per la stabilità di queste funzioni di rete e sono elencate di seguito:

1. Il grado del numeratore di F(s) non dovrebbe superare il grado del denominatore di più di uno. In altre parole, (m – n) dovrebbe essere minore o uguale a uno.

2. F(s) non dovrebbe avere poli multipli sull'asse jω o sull'asse y del grafico dei poli e degli zeri.

3. F(s) non dovrebbe avere poli nella metà destra del piano s.

Polinomio di Hurwitz

Se tutti i criteri di stabilità sono soddisfatti (cioè abbiamo una funzione di rete stabile), allora il denominatore di F(s) viene chiamato polinomio di Hurwitz.

Dove, Q(s) è un polinomio di Hurwitz.

Proprietà dei Polinomi di Hurwitz

Esistono cinque proprietà importanti dei polinomi di Hurwitz ed esse sono elencate di seguito:

1. Per tutti i valori reali di s, il valore della funzione P(s) dovrebbe essere reale.

2. La parte reale di ogni radice dovrebbe essere zero o negativa.

3. Consideriamo i coefficienti del denominatore di F(s) bn, b(n-1), b(n-2). . . . b0. Si deve notare che bn, b(n-1), b0 devono essere positivi e bn e b(n-1) non dovrebbero essere uguali a zero contemporaneamente.

4. L'espansione in frazione continua della parte pari rispetto alla parte dispari del polinomio di Hurwitz dovrebbe dare termini di quoziente tutti positivi, se il grado pari è maggiore, oppure l'espansione in frazione continua della parte dispari rispetto alla parte pari del polinomio di Hurwitz dovrebbe dare termini di quoziente tutti positivi, se il grado dispari è maggiore.

5. Nel caso di un polinomio puramente pari o puramente dispari, dobbiamo fare l'espansione in frazione continua con la derivata del polinomio puramente pari o puramente dispari e il resto della procedura è lo stesso come menzionato al punto numero (4).

Dalla discussione sopra, si conclude un risultato molto semplice: se tutti i coefficienti di un polinomio quadratico sono reali e positivi, allora quel polinomio quadratico è sempre un polinomio di Hurwitz.

Funzioni Reali Positive

Ogni funzione nella forma di F(s) sarà chiamata funzione reale positiva se soddisfa queste quattro condizioni importanti:

1. F(s) dovrebbe fornire valori reali per tutti i valori reali di s.

2. P(s) dovrebbe essere un polinomio di Hurwitz.

3. Se sostituiamo s = jω, separando la parte reale e immaginaria, la parte reale della funzione dovrebbe essere maggiore o uguale a zero, cioè non negativa. Questa è la condizione più importante e la utilizzeremo frequentemente per determinare se la funzione è reale positiva o meno.

4. Sostituendo s = jω, F(s) dovrebbe possedere poli semplici e i residui dovrebbero essere reali e positivi.

Proprietà delle Funzioni Realmente Positive

Esistono quattro proprietà molto importanti delle funzioni reali positive ed esse sono elencate di seguito:

1. Tanto il numeratore quanto il denominatore di F(s) dovrebbero essere polinomi di Hurwitz.

2. Il grado del numeratore di F(s) non dovrebbe superare il grado del denominatore di più di uno. In altre parole, (m-n) dovrebbe essere minore o uguale a uno.

3. Se F(s) è una funzione reale positiva, allora anche il reciproco di F(s) dovrebbe essere una funzione reale positiva.

4. Ricorda, la somma di due o più funzioni reali positive è anch'essa una funzione reale positiva, ma nel caso della differenza, può o non può essere una funzione reale positiva.

Di seguito sono riportate quattro condizioni necessarie, ma non sufficienti, affinché le funzioni siano funzioni reali positive:

1. I coefficienti del polinomio devono essere reali e positivi.

2. Il grado del numeratore di F(s) non dovrebbe superare il grado del denominatore di più di uno. In altre parole, (m – n) dovrebbe essere minore o uguale a uno.

3. I poli e gli zeri sull'asse immaginario dovrebbero essere semplici.

4. Consideriamo i coefficienti del denominatore di F(s) bn, b(n-1), b(n-2). . . . b0. Qui si deve notare che bn, b(n-1), b

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