Mrežna sinteza | Hurwitzov polinom | Pozitivne realne funkcije
Teorija omrežne sinteze
Omrežne funkcije
Teorija omrežne sinteze vključuje sintezo omrežij, sestavljenih iz aktivnih (kot so upori) in pasivnih komponent (kot so induktivnosti in kapacitance).
Začnimo z osnovami: kaj je omrežna funkcija? V frekvenčnem domeni so omrežne funkcije definirane kot kvocient, ki ga dobimo z deljenjem fazora, ki ustreza izhodu krtega, z fazorom, ki ustreza vhodu krtega.
S prostimi besedami, omrežne funkcije predstavljajo razmerje med izhodnim in vhodnim fazorjem, ko ti fazori obstajajo v frekvenčnem domeni. Splošna oblika omrežnih funkcij je podana spodaj:
Z uporabo zgornje splošne omrežne funkcije lahko opredelimo potrebne pogoje za stabilnost vseh omrežnih funkcij. Obstajajo tri glavni potrebni pogoji za stabilnost teh omrežnih funkcij, ki so navedeni spodaj:
Stopnja števca F(s) ne sme presegati stopnje imenovalca več kot enota. Z drugimi besedami, (m – n) mora biti manjše ali enako ena.
F(s) ne sme imeti večkratnih polov na jω-osi ali y-osi diagrama polov in ničel.
F(s) ne sme imeti polov v desni polravnini s-ravnine.
Hurwitzev polinom
Če so izpolnjeni vsi kriteriji stabilnosti (tj. imamo stabilno omrežno funkcijo), se imenovalec F(s) imenuje Hurwitzev polinom.
Kjer je Q(s) Hurwitzev polinom.
Lastnosti Hurwitzevih polinomov
Obstaja pet pomembnih lastnosti Hurwitzevih polinomov, ki so navedene spodaj:
Za vse realne vrednosti s mora funkcijska vrednost P(s) biti realna.
Realni del vsakega korena mora biti bodisi nič bodisi negativen.
Razmislimo o koeficientih imenovalca F(s), ki so bn, b(n-1), b(n-2). . . . b0. Pri tem je treba opozoriti, da morajo biti bn, b(n-1), b0 pozitivni in bn in b(n-1) ne smejo biti enaka nič hkrati.
Neprekinjena ulomek razširitve lihe do sode časti Hurwitzeva polinoma mora dati vse pozitivne kvocijente, če je soda stopnja višja ali neprekinjena ulomek razširitve sode do lihe časti Hurwitzeva polinoma mora dati vse pozitivne kvocijente, če je liha stopnja višja.
V primeru popolnoma sodega ali popolnoma lihega polinoma moramo izvesti neprekinjen ulomek s odvoda popolnoma sodega ali popolnoma lihega polinoma, ostali postopek pa je enak, kot je navedeno v točki št. 4.
Iz zgornje razprave zaključimo z eno zelo preprosto sklepanjem, če so vse koeficiente kvadratnega polinoma realni in pozitivni, je ta kvadratni polinom vedno Hurwitzev polinom.
Pozitivne realne funkcije
Vsaka funkcija, ki je oblike F(s), bo imenovana pozitivna realna funkcija, če izpolnjuje te štiri pomembne pogoje:
F(s) mora dajati realne vrednosti za vse realne vrednosti s.
P(s) mora biti Hurwitzev polinom.
Če zamenjamo s = jω, potem pri ločevanju realnih in imaginarnih delov, realni del funkcije mora biti večji ali enak nič, torej mora biti nenegativen. To je najpomembnejši pogoj in ga bomo pogosto uporabili, da bi ugotovili, ali je funkcija pozitivna realna ali ne.
Pri zamenjavi s = jω, F(s) mora imeti preproste poli in ostanke morajo biti realni in pozitivni.
Lastnosti pozitivnih realnih funkcij
Obstajajo štiri zelo pomembne lastnosti pozitivnih realnih funkcij, ki so navedene spodaj:
Oba števec in imenovalec F(s) morata biti Hurwitzevi polinomi.
Stopnja števca F(s) ne sme presegati stopnje imenovalca več kot enota. Z drugimi besedami (m-n) mora biti manjše ali enako ena.
Če je F(s) pozitivna realna funkcija, mora tudi obratna vrednost F(s) biti pozitivna realna funkcija.
Seštevek dveh ali več pozitivnih realnih funkcij je tudi pozitivna realna funkcija, vendar v primeru razlike, to morda ni pozitivna realna funkcija.
Spodaj so navedeni štiri potrebni, a ne zadostni pogoji, da so funkcije pozitivne realne funkcije:
Koeficienti polinoma morajo biti realni in pozitivni.
Stopnja števca F(s) ne sme presegati stopnje imenovalca več kot enota. Z drugimi besedami (m – n) mora biti manjše ali enako ena.
Poli in ničle na imaginarni osi morajo biti preprosti.
Razmislimo o koeficientih imenovalca F(s) bn, b(n-1), b(n-2). . . . b0. Tukaj je treba opozoriti, da morajo biti b
