Мрежна синтеза | Хурвиц полином | Позитивни реални функции

Теорија на мрежната синтеза

Мрежни функции

Теоријата на мрежната синтеза вклучува синтеза на мрежи составени од активни компоненти (како резистори) и пасивни компоненти (како индуктори и кондензатори).

Да почнеме со основите: што е мрежна функција? Во доменот на фреквенцијата, мрежните функции се дефинирани како количник добиен со делење на фазорот кој одговара на излезот на кружницата со фазорот кој одговара на влезот на кружницата.

Со други зборови, мрежните функции се односот на излезните фазори во однос на влезните фазори кога фазорите постојат во доменот на фреквенцијата. Општиот облик на мрежните функции е даден подолу:

Сега, со помош на горната општа мрежна функција, можеме да опишеме неопходните услови за стабилноста на сите мрежни функции. Постојат три главни неопходни услови за стабилноста на овие мрежни функции и тие се запишани подолу:

1. Степенот на бројителот на F(s) не треба да надмине степенот на именителот повеќе од едно. Со други зборови, (m – n) треба да биде помал или еднаков на едно.

2. F(s) не треба да има многу полуси на jω-оската или y-оската на дијаграмот на полуси и нулти точки.

3. F(s) не треба да има полуси во десниот дел од s-равнината.

Хурвицев полином

Ако се исполнети сите услови за стабилност (т.е. имаме стабилна мрежна функција), тогаш именителот на F(s) се нарекува Хурвицев полином.

Каде што, Q(s) е Хурвицев полином.

Својства на Хурвицовите полиноми

Постојат пет важни својства на Хурвицовите полиноми и тие се запишани подолу:

1. За сите реални вредности на s, вредноста на функцијата P(s) треба да биде реална.

2. Реалниот дел на секој корен треба да биде или нула или негативен.

3. Нека разгледаме коефициентите на именителот на F(s) bn, b(n-1), b(n-2). . . . b0. Тука треба да се забележи дека bn, b(n-1), b0 мора да бидат позитивни и bn и b(n-1) не треба да бидат едновремено нула.

4. Продолжениот разложувачки расклад на парните во однос на непарните делови на Хурвицев полином треба да дава сите позитивни количници, ако степенот на парниот дел е поголем, или продолжениот разложувачки расклад на непарните во однос на парните делови на Хурвицев полином треба да дава сите позитивни количници, ако степенот на непарниот дел е поголем.

5. Во случај на само парен или само непарен полином, треба да направиме продолжени разложувачки расклад со изводот на само парниот или само непарниот полином, а осталиот постапок е ист како што е споменато во тачка број (4).

Од претходната дискусија заклучуваме еден многу едноставен резултат, ако сите коефициенти на квадратниот полином се реални и позитивни, тогаш тој квадратен полином секогаш е Хурвицев полином.

Позитивни реални функции

Секоја функција која е во формата F(s) ќе се нарече позитивна реална функција ако исполнува овие четири важни услови:

1. F(s) треба да дава реални вредности за сите реални вредности на s.

2. P(s) треба да биде Хурвицев полином.

3. Ако замениме s = jω, при одделување на реалниот и имагинарен дел, реалниот дел на функцијата треба да биде поголем или еднаков на нула, т.е. треба да биде ненегативен. Овој е најважниот услов и често ќе го користиме за да одредиме дали функцијата е позитивна реална или не.

4. При замена на s = jω, F(s) треба да има простите полуси и остатоците треба да бидат реални и позитивни.

Својства на позитивните реални функции

Постојат четири многу важни својства на позитивните реални функции и тие се запишани подолу:

1. И бројителот и именителот на F(s) треба да бидат Хурвицови полиноми.

2. Степенот на бројителот на F(s) не треба да надмине степенот на именителот повеќе од едно. Со други зборови, (m-n) треба да биде помал или еднаков на едно.

3. Ако F(s) е позитивна реална функција, тогаш и обратната вредност на F(s) треба да биде позитивна реална функција.

4. Збирот на две или повеќе позитивни реални функции исто така е позитивна реална функција, но во случај на разлика може или не да биде позитивна реална функција.

Постојат четири неопходни, но недостаточни услови за функциите да бидат позитивни реални функции и тие се запишани подолу:

1. Коефициентите на полиномот мора да бидат реални и позитивни.

2. Степенот на бројителот на F(s) не треба да надмине степенот на именителот повеќе од едно. Со други зборови, (m – n) треба да биде помал или еднаков на едно.

3. Полусите и нултите точки на имагинарната оска треба да бидат прости.

4. Поддршка