ネットワーク合成 | フルヴィッツ多項式 | 正実関数

ネットワーク合成理論

ネットワーク関数

ネットワーク合成理論は、抵抗器などのアクティブコンポーネントとインダクタやコンデンサなどのパッシブコンポーネントで構成されるネットワークの合成を含みます。

まずは基本から始めましょう：ネットワーク関数とは何でしょうか？周波数領域では、ネットワーク関数は、回路出力に対応する位相ベクトルを回路入力に対応する位相ベクトルで割った商として定義されます。

簡単に言えば、ネットワーク関数は、周波数領域での位相ベクトルが存在する場合の出力位相ベクトルと入力位相ベクトルの比です。ネットワーク関数の一般的な形式は以下の通りです：

上記の一般的なネットワーク関数を使用して、すべてのネットワーク関数の安定性に必要な条件を説明することができます。これらのネットワーク関数の安定性には3つの主要な必要条件があり、以下に示します：

1. F(s)の分子の次数は分母の次数を超えて1以上であってはなりません。つまり(m - n)は1以下であるべきです。

2. F(s)はjω軸または極ゼロ図のy軸上で多重極を持つべきではありません。

3. F(s)はs平面の右半分に極を持つべきではありません。

Hurwitz多項式

上記のすべての安定基準が満たされている場合（つまり、安定したネットワーク関数がある場合）、F(s)の分母はHurwitz多項式と呼ばれます。

ここで、Q(s)はHurwitz多項式です。

Hurwitz多項式の特性

Hurwitz多項式には5つの重要な特性があり、それらは以下の通りです：

1. すべての実数sの値に対して、関数P(s)の値は実数であるべきです。

2. すべての根の実部は0または負であるべきです。

3. F(s)の分母の係数をbn, b(n-1), b(n-2). . . . b0とします。ここでは、bn, b(n-1), b0は正であり、bnとb(n-1)は同時に0であってはなりません。

4. Hurwitz多項式の偶数部分に対する奇数部分の連分数展開はすべての商が正であるべきです。偶数次数が高ければ、または奇数次数が高ければ、奇数部分に対する偶数部分の連分数展開はすべての商が正であるべきです。

5. 純粋に偶数または純粋に奇数の多項式の場合、その導関数を使って連分数展開を行い、残りの手順はポイント4で述べたものと同じです。

上記の議論から、非常に単純な結果が得られます：二次多項式のすべての係数が実数かつ正であれば、その二次多項式は常にHurwitz多項式です。

正実関数

F(s)の形式の任意の関数は、以下の4つの重要な条件を満たす場合に正実関数と呼ばれます：

1. F(s)はすべての実数sの値に対して実数を与えるべきです。

2. P(s)はHurwitz多項式であるべきです。

3. s = jωを代入すると、実部と虚部を分離し、関数の実部は0以上（非負）であるべきです。これは最も重要な条件であり、関数が正実かどうかを判断するために頻繁に使用されます。

4. s = jωを代入すると、F(s)は単純な極を持ち、留数は実数かつ正であるべきです。

正実関数の特性

正実関数には4つの重要な特性があり、それらは以下の通りです：

1. F(s)の分子と分母はどちらもHurwitz多項式であるべきです。

2. F(s)の分子の次数は分母の次数を超えて1以上であってはなりません。つまり(m-n)は1以下であるべきです。

3. F(s)が正実関数であれば、F(s)の逆数も正実関数であるべきです。

4. 2つ以上の正実関数の和も正実関数ですが、差については必ずしも正実関数であるとは限りません。

以下の4つの条件は、関数が正実関数であるための必要条件ですが、十分条件ではありません：

1. 多項式の係数は実数かつ正であるべきです。

2. F(s)の分子の次数は分母の次数を超えて1以上であってはなりません。つまり(m – n)は1以下であるべきです。

3. 虚数軸上の極と零点は単純であるべきです。

4. F(s)の分母の係数をbn, b(n-1), b(n-2). . . . b0とします。ここで、bn, b(n-1), b0は正であり、bnとb(n-1)は同時に0であってはなりません。