Синтез на мрежи | Полином на Хурвиц | Позитивни реални функции

Теория на синтеза на мрежи

Функции на мрежата

Теорията на синтеза на мрежи включва синтез на мрежи, които са съставени както от активни (например резистори), така и пасивни компоненти (например индуктори и кондензатори).

Нека започнем с основите: какво е функция на мрежата? В честотната област функциите на мрежата се дефинират като частното, получено при деление на фазора, съответстващ на изхода на схемата, към фазора, съответстващ на входа на схемата.

С други думи, функциите на мрежата са отношението между изходния фазор и входния фазор, когато фазорите съществуват в честотната област. Общата форма на функциите на мрежата е дадена по-долу:

Сега, с помощта на горната общо функция на мрежата, можем да опишем необходимите условия за стабилността на всички функции на мрежата. Има три основни необходими условия за стабилността на тези функции на мрежата, и те са записани по-долу:

1. Степента на числителя на F(s) не трябва да надвишава степента на знаменателя повече от единица. С други думи, (m – n) трябва да е по-малко или равно на едно.

2. F(s) не трябва да има множествени полюси на оста jω или оста y на диаграмата на полюсите и нулите.

3. F(s) не трябва да има полюси в дясната половина на s-плоскостта.

Полином на Хурвиц

Ако всички критерии за стабилност са изпълнени (т.е. имаме стабилна функция на мрежата), то знаменателят на F(s) се нарича полином на Хурвиц.

Където, Q(s) е полином на Хурвиц.

Свойства на полиномите на Хурвиц

Има пет важни свойства на полиномите на Хурвиц, и те са записани по-долу:

1. За всички реални стойности на s, стойността на функцията P(s) трябва да бъде реална.

2. Реалната част на всеки корен трябва да е или нула, или отрицателна.

3. Нека разгледаме коефициентите на знаменателя на F(s) са bn, b(n-1), b(n-2). . . . b0. Тук трябва да се отбележи, че bn, b(n-1), b0 трябва да са положителни и bn и b(n-1) не трябва да бъдат равни на нула едновременно.

4. Продълженият дробен разлагане на четната част към нечетната част на полинома на Хурвиц трябва да дава всички положителни частни членове, ако степента на четната част е по-висока, или продълженият дробен разлагане на нечетната част към четната част на полинома на Хурвиц трябва да дава всички положителни частни членове, ако степента на нечетната част е по-висока.

5. В случай на чисто четен или чисто нечетен полином, трябва да направим продължен дробен разлагане с производната на чисто четния или чисто нечетния полином, а останалата процедура е същата, както е споменато в точка номер (4).

От горния разговор заключаваме един много прост резултат, ако всички коефициенти на квадратния полином са реални и положителни, то този квадратен полином винаги е полином на Хурвиц.

Положителни реални функции

Всяка функция, която е във формата на F(s), ще бъде наречена положителна реална функция, ако изпълнява тези четири важни условия:

1. F(s) трябва да дава реални стойности за всички реални стойности на s.

2. P(s) трябва да бъде полином на Хурвиц.

3. Ако заместим s = jω, след разделение на реалната и имагинерната части, реалната част на функцията трябва да бъде по-голяма или равна на нула, т.е. трябва да бъде неотрицателна. Това е най-важното условие и често го използваме, за да определим дали функцията е положителна реална или не.

4. При заместване s = jω, F(s) трябва да има прости полюси и остатъците трябва да са реални и положителни.

Свойства на положителните реални функции

Има четири много важни свойства на положителните реални функции и те са записани по-долу:

1. И числителят, и знаменателят на F(s) трябва да са полиноми на Хурвиц.

2. Степента на числителя на F(s) не трябва да надвишава степента на знаменателя повече от единица. С други думи, (m-n) трябва да е по-малко или равно на едно.

3. Ако F(s) е положителна реална функция, то обратната на F(s) също трябва да бъде положителна реална функция.

4. Запомнете, че сумата на две или повече положителни реални функции също е положителна реална функция, но в случая на разлика тя може да бъде или не положителна реална функция.

По-долу са записани четири необходими, но недостатъчни условия за функциите да бъдат положителни реални функции:

1. Коефициентите на полинома трябва да са реални и положителни.

2. Степента на числителя на F(s) не трябва да надвишава степента на знаменателя повече от единица. С други думи, (m – n) трябва да е по-малко или равно на едно.

3. Полюсите и нулите на имагинерната ос трябва да са прости.

4. Нека разгледаме коефициентите на знаменателя на