شبکه سنتز | چندجمله‌ای هورویتز | توابع حقیقی مثبت
تئوری سنتز شبکه
توابع شبکه
تئوری سنتز شبکه شامل سنتز شبکه‌هایی است که از مولفه‌های فعال (مانند مقاومت‌ها) و مولفه‌های غیرفعال (مانند القایی‌ها و خازن‌ها) تشکیل شده‌اند.
بیایید با مبانی شروع کنیم: تابع شبکه چیست? در دامنه فرکانس، توابع شبکه به عنوان خارج قسمت فازور متناظر با خروجی مدار بر فازور متناظر با ورودی مدار تعریف می‌شوند.
به عبارت ساده، توابع شبکه نسبت فازور خروجی به فازور ورودی هنگامی که فازورها در دامنه فرکانس وجود دارند هستند. فرم عمومی توابع شبکه به صورت زیر ارائه می‌شود:
حالا با کمک تابع شبکه عمومی بالا، می‌توانیم شرایط ضروری برای پایداری تمام توابع شبکه را توصیف کنیم. سه شرط ضروری اصلی برای پایداری این توابع شبکه وجود دارد و آن‌ها به شرح زیر هستند:
درجه صورت F(s) نباید بیش از یک واحد از درجه مخرج بیشتر باشد. به عبارت دیگر (m – n) باید کمتر یا مساوی یک باشد.
F(s) نباید دارای قطب‌های مضاعف روی محور jω یا محور y در نمودار قطب-صفر باشد.
F(s) نباید دارای قطب‌هایی در نیمه راست صفحه s باشد.
چندجمله‌ای هورویتز
اگر تمام شرایط پایداری فوق برآورده شوند (یعنی تابع شبکه‌مان پایدار است)، آنگاه مخرج F(s) به عنوان چندجمله‌ای هورویتز نامیده می‌شود.
که در آن Q(s) یک چندجمله‌ای هورویتز است.
ویژگی‌های چندجمله‌ای‌های هورویتز
پنج ویژگی مهم برای چندجمله‌ای‌های هورویتز وجود دارد و آن‌ها به شرح زیر هستند:
برای تمام مقادیر حقیقی s، مقدار تابع P(s) باید حقیقی باشد.
بخش حقیقی هر ریشه باید یا صفر باشد یا منفی.
فرض کنید ضرایب مخرج F(s) به صورت bn, b(n-1), b(n-2). . . . b0 باشد. در اینجا باید توجه داشت که bn, b(n-1), b0 باید مثبت باشند و bn و b(n-1) نباید همزمان صفر باشند.
توسعه کسر مداوم بخش زوج به بخش فرد چندجمله‌ای هورویتز باید تمامی حاصل‌ضرب‌های مثبت را ارائه دهد، اگر درجه زوج بزرگ‌تر باشد یا توسعه کسر مداوم بخش فرد به بخش زوج چندجمله‌ای هورویتز باید تمامی حاصل‌ضرب‌های مثبت را ارائه دهد، اگر درجه فرد بزرگ‌تر باشد.
در صورتی که چندجمله‌ای فقط زوج یا فقط فرد باشد، باید توسعه کسر مداوم مشتق چندجمله‌ای فقط زوج یا فقط فرد را انجام داد و بقیه روش به همان طور که در نقطه چهار ذکر شده است.
از بحث فوق نتیجه‌ای بسیار ساده به دست می‌آید، اگر تمام ضرایب چندجمله‌ای درجه دوم حقیقی و مثبت باشند، آن چندجمله‌ای همواره یک چندجمله‌ای هورویتز است.
توابع حقیقی مثبت
هر تابعی که به صورت F(s) باشد، یک تابع حقیقی مثبت خواهد بود اگر این چهار شرط مهم را برآورده کند:
F(s) باید مقادیر حقیقی را برای تمام مقادیر حقیقی s ارائه دهد.
P(s) باید یک چندجمله‌ای هورویتز باشد.
اگر s = jω جایگزین شود و بخش‌های حقیقی و موهومی جدا شوند، بخش حقیقی تابع باید بزرگ‌تر یا مساوی صفر باشد، یعنی باید غیرمنفی باشد. این شرط بسیار مهم است و ما به طور مکرر از این شرط برای تعیین اینکه تابع حقیقی مثبت است یا خیر استفاده می‌کنیم.
اگر s = jω جایگزین شود، F(s) باید دارای قطب‌های ساده باشد و باقی‌مانده‌ها باید حقیقی و مثبت باشند.
ویژگی‌های توابع حقیقی مثبت
چهار ویژگی مهم برای توابع حقیقی مثبت وجود دارد و آن‌ها به شرح زیر هستند:
هر دو صورت و مخرج F(s) باید چندجمله‌ای‌های هورویتز باشند.
درجه صورت F(s) نباید بیش از یک واحد از درجه مخرج بیشتر باشد. به عبارت دیگر (m-n) باید کمتر یا مساوی یک باشد.
اگر F(s) یک تابع حقیقی مثبت باشد، آنگاه معکوس F(s) نیز باید یک تابع حقیقی مثبت باشد.
مجموع دو یا چند تابع حقیقی مثبت نیز یک تابع حقیقی مثبت است، اما در صورت تفاضل، ممکن است حقیقی مثبت باشد یا نباشد.
پایین‌تر چهار شرط ضروری اما کافی نیست برای توابع به عنوان یک تابع حقیقی مثبت و آن‌ها به شرح زیر هستند:
ضرایب چندجمله‌ای باید حقیقی و مثبت باشند.
درجه صورت F(s) نباید بیش از یک واحد از درجه مخرج بیشتر باشد. به عبارت دیگر (m – n) باید کمتر یا مساوی یک باشد.
