Síntese de Rede | Polinômio de Hurwitz | Funções Real Positivas

Teoria da Síntese de Redes

Funções de Rede

A teoria da síntese de redes envolve a síntese de redes compostas por componentes ativos (como resistores) e componentes passivos (como indutores e capacitores).

Vamos começar com os fundamentos: o que é uma função de rede? No domínio da frequência, funções de rede são definidas como o quociente obtido dividindo o fasor correspondente à saída do circuito pelo fasor correspondente à entrada do circuito.

Em palavras simples, funções de rede são a razão entre o fasor de saída e o fasor de entrada quando os fasores existem no domínio da frequência. A forma geral das funções de rede é dada abaixo:

Agora, com a ajuda da função de rede geral acima, podemos descrever as condições necessárias para a estabilidade de todas as funções de rede. Existem três condições principais necessárias para a estabilidade dessas funções de rede e elas são escritas abaixo:

1. O grau do numerador de F(s) não deve exceder o grau do denominador em mais de uma unidade. Em outras palavras, (m – n) deve ser menor ou igual a um.

2. F(s) não deve ter polos múltiplos no eixo jω ou no eixo y do diagrama de polos e zeros.

3. F(s) não deve ter polos no semiplano direito do plano s.

Polinômio de Hurwitz

Se todos os critérios de estabilidade forem atendidos (ou seja, temos uma função de rede estável), então o denominador de F(s) é chamado de polinômio de Hurwitz.

Onde, Q(s) é um polinômio de Hurwitz.

Propriedades dos Polinômios de Hurwitz

Existem cinco propriedades importantes dos polinômios de Hurwitz e elas são escritas abaixo:

1. Para todos os valores reais de s, o valor da função P(s) deve ser real.

2. A parte real de cada raiz deve ser zero ou negativa.

3. Consideremos que os coeficientes do denominador de F(s) são bn, b(n-1), b(n-2). . . . b0. Aqui, deve-se notar que bn, b(n-1), b0 devem ser positivos e bn e b(n-1) não devem ser iguais a zero simultaneamente.

4. A expansão de fração contínua da parte par para a parte ímpar do polinômio de Hurwitz deve dar todos os termos de quociente positivos, se o grau par for maior, ou a expansão de fração contínua da parte ímpar para a parte par do polinômio de Hurwitz deve dar todos os termos de quociente positivos, se o grau ímpar for maior.

5. No caso de um polinômio puramente par ou puramente ímpar, devemos fazer a fração contínua com a derivada do polinômio puramente par ou puramente ímpar, e o restante do procedimento é o mesmo mencionado no ponto número (4).

A partir da discussão acima, concluímos um resultado muito simples: se todos os coeficientes de um polinômio quadrático são reais e positivos, então esse polinômio quadrático é sempre um polinômio de Hurwitz.

Funções Reais Positivas

Qualquer função na forma de F(s) será chamada de função real positiva se cumprir essas quatro condições importantes:

1. F(s) deve fornecer valores reais para todos os valores reais de s.

2. P(s) deve ser um polinômio de Hurwitz.

3. Se substituirmos s = jω, ao separar as partes real e imaginária, a parte real da função deve ser maior ou igual a zero, ou seja, deve ser não negativa. Esta é a condição mais importante e usaremos frequentemente esta condição para determinar se a função é real positiva ou não.

4. Ao substituir s = jω, F(s) deve possuir polos simples e os resíduos devem ser reais e positivos.

Propriedades das Funções Reais Positivas

Existem quatro propriedades muito importantes das funções reais positivas e elas são escritas abaixo:

1. Tanto o numerador quanto o denominador de F(s) devem ser polinômios de Hurwitz.

2. O grau do numerador de F(s) não deve exceder o grau do denominador em mais de uma unidade. Em outras palavras, (m-n) deve ser menor ou igual a um.

3. Se F(s) é uma função real positiva, então o recíproco de F(s) também deve ser uma função real positiva.

4. Lembre-se de que a soma de duas ou mais funções reais positivas também é uma função real positiva, mas no caso da diferença, pode ou não ser uma função real positiva.

A seguir, estão as quatro condições necessárias, mas não suficientes, para que as funções sejam reais positivas, e elas são escritas abaixo:

1. Os coeficientes do polinômio devem ser reais e positivos.

2. O grau do numerador de F(s) não deve exceder o grau do denominador em mais de uma unidade. Em outras palavras, (m – n) deve ser menor ou igual a um.

3. Os polos e zeros no eixo imaginário devem ser simples.

4. Consideremos que os coeficientes do denominador de F(s) são bn, b(n-1), b(n-2). . . . b0. Aqui, deve-se notar que bn, b(n-1), b0 devem ser positivos e b

   Gorjeta