Netzwerksynthese | Hurwitz-Polynom | Positiv reelle Funktionen

Theorie der Netzwerksynthese

Netzwerkfunktionen

Die Theorie der Netzwerksynthese befasst sich mit der Synthese von Netzwerken, die sowohl aus aktiven Komponenten (wie Widerständen) als auch passiven Komponenten (wie Spulen und Kondensatoren) bestehen.

Beginnen wir mit den Grundlagen: Was ist eine Netzwerkfunktion? Im Frequenzbereich sind Netzwerkfunktionen definiert als der Quotient, der durch Division des Phasors, der dem Schaltkreisausgang entspricht, durch den Phasor, der dem Schaltkreiseingang entspricht, erhalten wird.

In einfachen Worten sind Netzwerkfunktionen das Verhältnis des Ausgangsphasors zum Eingangsphasor, wenn Phasoren im Frequenzbereich existieren. Die allgemeine Form von Netzwerkfunktionen lautet wie folgt:

Mit Hilfe der oben genannten allgemeinen Netzwerkfunktion können wir die notwendigen Bedingungen für die Stabilität aller Netzwerkfunktionen beschreiben. Es gibt drei Hauptbedingungen für die Stabilität dieser Netzwerkfunktionen, und sie lauten wie folgt:

1. Der Grad des Zählers von F(s) sollte den Grad des Nenners um höchstens eins überschreiten. Mit anderen Worten, (m – n) sollte kleiner oder gleich eins sein.

2. F(s) sollte keine mehrfachen Pole auf der jω-Achse oder der y-Achse des Pol-Nullstellen-Diagramms haben.

3. F(s) sollte keine Pole in der rechten Halbebene des s-Bereichs haben.

Hurwitz-Polynom

Wenn alle Stabilitätskriterien erfüllt sind (d. h. wir haben eine stabile Netzwerkfunktion), dann wird der Nenner von F(s) als Hurwitz-Polynom bezeichnet.

Dabei ist Q(s) ein Hurwitz-Polynom.

Eigenschaften von Hurwitz-Polynomen

Es gibt fünf wichtige Eigenschaften von Hurwitz-Polynomen, und sie lauten wie folgt:

1. Für alle reellen Werte von s sollte der Wert der Funktion P(s) reell sein.

2. Der Realteil jeder Nullstelle sollte entweder null oder negativ sein.

3. Angenommen, die Koeffizienten des Nenners von F(s) sind bn, b(n-1), b(n-2). . . . b0. Hierbei sollte beachtet werden, dass bn, b(n-1), b0 positiv sein müssen und bn und b(n-1) nicht gleichzeitig null sein dürfen.

4. Die Kettenbruchentwicklung des geraden zu ungeraden Teils des Hurwitz-Polynoms sollte alle positiven Quotiententerme liefern, wenn der gerade Grad höher ist, oder die Kettenbruchentwicklung des ungeraden zu geraden Teils des Hurwitz-Polynoms sollte alle positiven Quotiententerme liefern, wenn der ungerade Grad höher ist.

5. Im Falle eines rein geraden oder rein ungeraden Polynoms müssen wir die Kettenbruchentwicklung mit der Ableitung des rein geraden oder rein ungeraden Polynoms durchführen, und der Rest des Verfahrens ist wie in Punkt Nummer (4) erwähnt.

Aus der obigen Diskussion schließen wir ein sehr einfaches Ergebnis, wenn alle Koeffizienten des quadratischen Polynoms reell und positiv sind, dann ist dieses quadratische Polynom immer ein Hurwitz-Polynom.

Positive reelle Funktionen

Jede Funktion, die in der Form F(s) vorliegt, wird als positive reelle Funktion bezeichnet, wenn sie diese vier wichtigen Bedingungen erfüllt:

1. F(s) sollte für alle reellen Werte von s reelle Werte liefern.

2. P(s) sollte ein Hurwitz-Polynom sein.

3. Wenn wir s = jω einsetzen, sollten bei der Trennung in Real- und Imaginärteile der Realteil der Funktion größer oder gleich null sein, d. h. er sollte nicht negativ sein. Dies ist die wichtigste Bedingung, und wir werden diese Bedingung häufig verwenden, um festzustellen, ob die Funktion positiv reell ist oder nicht.

4. Beim Einsetzen von s = jω sollte F(s) einfache Pole besitzen und die Residuen sollten reell und positiv sein.

Eigenschaften von positiven reellen Funktionen

Es gibt vier sehr wichtige Eigenschaften von positiven reellen Funktionen, und sie lauten wie folgt:

1. Sowohl der Zähler als auch der Nenner von F(s) sollten Hurwitz-Polynome sein.

2. Der Grad des Zählers von F(s) sollte den Grad des Nenners um höchstens eins überschreiten. Mit anderen Worten, (m-n) sollte kleiner oder gleich eins sein.

3. Wenn F(s) eine positive reelle Funktion ist, dann sollte auch der Kehrwert von F(s) eine positive reelle Funktion sein.

4. Die Summe von zwei oder mehreren positiven reellen Funktionen ist ebenfalls eine positive reelle Funktion, aber im Falle der Differenz kann es eine positive reelle Funktion sein oder auch nicht.

Folgende sind vier notwendige, aber nicht hinreichende Bedingungen dafür, dass eine Funktion eine positive reelle Funktion ist, und sie lauten wie folgt:

1. Die Koeffizienten des Polynoms müssen reell und positiv sein.

2. Der Grad des Zählers von F(s) sollte den Grad des Nenners um höchstens eins überschreiten. Mit anderen Worten, (m – n) sollte kleiner oder gleich eins sein.

3. Pole und Nullstellen auf der imaginären Achse sollten einfach sein.

4. Angenommen, die Koeffizienten des Nenners von F(s) sind bn, b(n-1), b(n-2). . . . b0. Hierbei sollte beachtet werden, dass bn, b(n-1), b

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