تركيب الشبكة | متعدد حرفورتز | الدوال الحقيقية الموجبة

نظرية تركيب الشبكات

وظائف الشبكة

تتضمن نظرية تركيب الشبكات تركيب شبكات تتكون من مكونات نشطة (مثل المقاومات) ومكونات غير نشطة (مثل المكثفات والملفائف).

لنبدأ بالأساسيات: ما هي وظيفة الشبكة? في مجال التردد، وظائف الشبكة تُعرَّف كحاصل القسمة بين الفازور المقابل للخرج والفازور المقابل للمدخل.

بكلمات بسيطة، وظائف الشبكة هي نسبة الفازور الخرج إلى الفازور المدخل عندما توجد الفازورات في مجال التردد. الشكل العام لوظائف الشبكة يظهر أدناه:

الآن وباستخدام الوظيفة العامة للشبكة أعلاه، يمكننا وصف الشروط اللازمة لاستقرار جميع وظائف الشبكة. هناك ثلاثة شروط رئيسية ضرورية لاستقرار هذه الوظائف وهي مذكورة أدناه:

1. يجب ألا يتجاوز درجة البسط F(s) درجة المقام بأكثر من واحد. بعبارة أخرى (m – n) يجب أن تكون أقل من أو تساوي واحدًا.

2. يجب ألا يكون لـ F(s) أقطاب متعددة على محور jω أو محور y في رسم الأقطاب والأصفار.

3. يجب ألا يكون لـ F(s) أقطاب على النصف الأيمن من مستوى s.

متعدد حدود هيرفيتز

إذا تم استيفاء جميع معايير الاستقرار (أي لدينا وظيفة شبكة مستقرة) فإن مقام F(s) يسمى متعدد حدود هيرفيتز.

حيث، Q(s) هو متعدد حدود هيرفيتز.

خصائص متعدد حدود هيرفيتز

هناك خمس خصائص مهمة لمتعدد حدود هيرفيتز وهي مذكورة أدناه:

1. لجميع القيم الحقيقية لـ s يجب أن تكون قيمة الدالة P(s) حقيقية.

2. جزء حقيقي لكل جذر يجب أن يكون إما صفرًا أو سالبًا.

3. لنفترض أن معاملات مقام F(s) هي bn, b(n-1), b(n-2). . . . b0. يجب ملاحظة أن bn, b(n-1), b0 يجب أن تكون موجبة وأن bn و b(n-1) لا يجب أن تكون صفراً في الوقت نفسه.

4. يجب أن تعطي توسع الكسر المستمر للجزء الزوجي إلى الجزء الفردي من متعدد حدود هيرفيتز جميع الشروط الإيجابية، إذا كان الدرجة الزوجية أعلى أو توسع الكسر المستمر للجزء الفردي إلى الجزء الزوجي من متعدد حدود هيرفيتز يجب أن تعطي جميع الشروط الإيجابية، إذا كانت الدرجة الفردية أعلى.

5. في حالة متعدد الحدود الزوجي فقط أو الفردي فقط، يجب أن نقوم بتوسع الكسر المستمر باستخدام مشتق متعدد الحدود الزوجي أو الفردي بشكل خالص والباقي من الإجراء كما ذكر في النقطة رقم (4).

من خلال المناقشة أعلاه نستنتج نتيجة بسيطة للغاية، إذا كانت جميع معاملات متعدد الحدود التربيعي حقيقيًا وإيجابيًا فحينها يكون هذا متعدد حدود هيرفيتز دائمًا.

الدوال الحقيقية الإيجابية

أي دالة تكون في شكل F(s) ستسمى دالة حقيقية إيجابية إذا استوفت هذه الأربعة شروط مهمة:

1. يجب أن تعطي F(s) قيمًا حقيقية لجميع القيم الحقيقية لـ s.

2. يجب أن يكون P(s) متعدد حدود هيرفيتز.

3. إذا استبدلنا s = jω ثم عند فصل الجزء الحقيقي والتخيلي، يجب أن يكون الجزء الحقيقي للدالة أكبر من أو يساوي الصفر، أي يجب أن يكون غير سالب. هذا الشرط مهم للغاية وسنستخدمه بشكل متكرر لتحديد ما إذا كانت الدالة حقيقية إيجابية أم لا.

4. عند استبدال s = jω، يجب أن تحتوي F(s) على أقطاب بسيطة والبقايا يجب أن تكون حقيقية وإيجابية.

خصائص الدوال الحقيقية الإيجابية

هناك أربع خصائص مهمة جدًا للدوال حقيقية إيجابية وهي مذكورة أدناه:

1. يجب أن يكون كل من البسط والمقام لـ F(s) متعدد حدود هيرفيتز.

2. يجب ألا يتجاوز درجة البسط لـ F(s) درجة المقام بأكثر من واحد. بعبارة أخرى (m-n) يجب أن تكون أقل من أو تساوي واحدًا.

3. إذا كانت F(s) دالة حقيقية إيجابية فحينها يجب أن يكون العكس صحيحًا أيضًا.

4. تذكر أن مجموع دالتين أو أكثر من الدوال الحقيقية الإيجابية هي أيضًا دالة حقيقية إيجابية ولكن في حالة الفرق قد تكون أو لا تكون دالة حقيقية إيجابية.

الأمور التالية هي أربع شروط ضرورية ولكنها ليست كافية لكي تكون الدوال حقيقية إيجابية وهي مذكورة أدناه:

1. يجب أن تكون معاملات متعدد الحدود حقيقيًا وإيجابيًا.

2. يجب ألا يتجاوز درجة البسط لـ F(s) درجة المقام بأكثر من واحد. بعبارة أخرى (m – n) يجب أن تكون أقل من أو تساوي واحدًا.

3. يجب أن تكون الأقطاب والأصفار على المحور التخيلي بسيطة.

4. لنفترض أن معاملات مقام F(s) هي bn, b(n-1), b(n-2). . . . b0. يجب ملاحظة أن bn, b(n-1), b

   مكافأة