Panahon ng Pagtaas: Ano ito? (Pormula at Paano Ito Kalkulahin)

Larangan: Pangunahing Elektrikal

China

ano ang rise time

Ano ang Rise Time?

Ang rise time ay inilalarawan bilang ang oras na kinakailangan para sa isang signal na lumampas mula sa isang naitalang mababang halaga hanggang sa isang naitalang mataas na halaga. Sa analog at digital electronics, ang naitalang mas mababang halaga at naitalang mas mataas na halaga ay 10% at 90% ng huling o steady-state value. Kaya ang rise time ay karaniwang inilalarawan bilang kung gaano katagal ang paglabas ng isang signal mula 10% hanggang 90% ng huling halaganya.

Ang rise time ay isang mahalagang parameter sa mga sistema ng analog at digital. Ito ay naglalarawan ng oras na kinakailangan para sa output na tumaas mula sa isang antas patungo sa isa pa sa isang analog system, na may maraming tunay na implikasyon sa mundo. Ang rise time ay nagbibigay ng impormasyon kung gaano katagal ang isang signal na nasa intermediate state sa pagitan ng dalawang valid logic levels sa isang digital system.

Sa control theory, ang rise time ay inilalarawan bilang ang oras na kinakailangan para sa response na tumaas mula X% hanggang Y% ng huling halaganya. Ang halaga ng X at Y ay nag-iiba depende sa uri ng sistema.

Ang rise time para sa underdamped second-order systems ay 0% hanggang 100%, para sa critically damped systems ito ay 5% hanggang 95%, at para sa overdamped systems ito ay 10% hanggang 90%.

Rise Time Equation

Para sa pagkalkula sa time domain analysis, inaasalamin natin ang first-order system at second-order system.

Kaya, para sa pagkalkula ng formula para sa rise time, inaasalamin natin ang first-order at second-order systems.

Rise Time of a First Order System

Ang first-order system ay inaasalamin sa pamamagitan ng sumusunod na closed-loop transfer function.

$G(s) = \frac{1}{Ts+1} = \frac{b}{s+a}$

Sa function ng transfer, T ay inilalarawan bilang isang time constant. Ang mga katangian sa domain ng oras ng unang order na sistema ay nakalkula batay sa time constant T.

Ngayon, ipinapalagay natin na ang reference input ng closed-loop system ay isang unit step function. At ito ay inilalarawan sa pamamagitan ng Laplace transform bilang;

$R(s) = \frac{1}{s}$

Kaya, ang output signal ay inilalarawan bilang;

$C(s) = G(s) R(s)$

$C(s) = \frac{1}{Ts+1} \times \frac{1}{s}$

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}} \times \frac{1}{s}$

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}$

Solve this equation using partial fraction;

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

Ngayon, hanapin ang mga halaga ng A1 at A2;

$\frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}} = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}$

$A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s = \frac{1}{T}$

Para sa s=0;

$A_1(0+\frac{1}{T}) + A_2 (0) = \frac{1}{T}$

$A_1 \frac{1}{T} = \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

Para s=-1/T;

$A_1(\frac{-1}{T} + \frac{1}{T}) + A_2 (\frac{-1}{T}) = \frac{1}{T}$

$A_1 (0) - A_2 \frac{1}{T} = \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

Kaya,

$C(s) = \frac{1}{s} + \frac{-1}{s+\frac{1}{T}}$

Kumuha ng kabaligtaran na Laplace;

$C(t) = L^{-1} \left[ \frac{1}{s} -\frac{1}{s+\frac{1}{T}} \right]$

$C(t) = 1-e^{\frac{-t}{T}}$

Ngayon, kinakalkula namin ang oras ng pagtaas sa pagitan ng 10% at 90% ng huling halaga.

$C(t_{10}) = 0.10 \quad and \quad C(t_{90}) = 0.90$

$0.10 = 1 - e^{\frac{t_{10}}{T}}$

$e^{\frac{t_{10}}{T}} = 1-0.10$

$e^{\frac{t_{10}}{T}} = 0.9$

$\frac{-t_{10}}{T} = ln(0.9)$

$t_{10} = -T ln(0.9)$

$t_{10} = -T (-0.1053)$

$t_{10} = 0.1053T$

Kapareho;

$0.90 = 1 - e^{\frac{t_{90}}{T}}$

$e^{\frac{t_{90}}{T}} = 1 - 0.9$

$e^{\frac{t_{90}}{T}} = 0.1$

$\frac{-t_{90}}{T} = ln(0.1)$

$t_{90} = -T (-2.3025)$

$t_{90} = 2.3025T$

Ngayon, para sa rise time tr;

$t_r = t_{90} - t_{10}$

$t_r = 2.3025T - 0.1053T$

$t_r = 2.197 T$

$t_r \approx 2.2T = \frac{2.2}{a}$

Pagtaas na Oras ng Ikalawang Uri ng Sistema

Sa ikalawang uri ng sistema, ang pagtaas na oras ay kinakalkula mula 0% hanggang 100% para sa underdamped na sistema, 10% hanggang 90% para sa over-damped na sistema, at 5% hanggang 95% para sa critically damped na sistema.

Dito, ipaglalapat natin ang pagsusunod sa kalkulasyon ng pagtaas na oras para sa ikalawang uri ng sistema. At ang ekwasyon para sa ikalawang uri ng sistema ay;

$C(t) = 1-\frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi)$

Ang pagtaas na oras ay ipinapakita ng tr.

$C(t) = C(t_r) = 1$

$1 = 1 - \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi)$

$\frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi) = 0$

$sin(\omega_d t_r + \phi) = 0$

$sin(\omega_d t_r + \phi) = sin(\pi)$

$(\omega_d t_r + \phi) = (\pi)$

$\omega_d t_r = \pi - \phi$

$t_r = \frac{\pi - \phi}{\omega_d}$

Kung saan,

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$\phi = tan^{-1} (\frac{\sqrt{1-\zeta^2})}{\zeta}$

Kaya, ang huling pormula para sa rise time ay;

$t_r = \frac{\pi - tan^{-1} (\frac{\sqrt{1-\zeta^2})}{\zeta}}{\omega_n \sqrt{1-\zeta^2} }$

Kamusta Kalkulahin ang Rise Time?

Unang Uri ng Sistema

Halimbawa, hanapin ang rise time ng unang uri ng sistema. Ang transfer function ng unang uri ng sistema ay ipinapakita sa ekwasyon sa ibaba.

$G(s) = \frac{5}{s+2}$

Ipaglabas ang punsiyon ng transfer sa pamantayang anyo ng punsiyon ng transfer.

$G(s) = \frac{b}{s+a}$

Kaya; a=2 at b=5;

Ang ekwasyon ng oras ng pagtataas para sa unang sistema ay;

$t_r = \frac{2.2}{a}$

$t_r = \frac{2.2}{2}$

$t_r = 1.1 sec$

Sistema ng Ikalawang Order

Hahanapin ang oras ng pagtaas ng isang sistema ng ikalawang order na may natural na frequency na 5 rad/sec at damping ratio na 0.6.

$\omega_n = 5 rad/sec$

$\zeta = 0.6$

Ang ekwasyon ng rise time para sa second order system ay;

$t_r = \frac{\pi - \phi}{\omega_d}$

Ngayon, kailangan nating mahanap ang halaga ng ф at ωd.

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-\zeta^2}}{\zeta} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-0.6 ^2}}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-0.36}}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{0.8}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} (1.33)$

$\phi = 0.9272 rad$

Ngayon, para sa ωd,

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$\omega_d = 5 \times 0.8$

$\omega_d = 4 rad/sec$

Ilagay ang mga halaga sa ekwasyon ng rise time;

$t_r = \frac{3.14-0.9272}{4}$

$t_r = \frac{2.2128}{4}$

$t_r = 0.5532 sec$

Bakit ang Rise Time ay 10% hanggang 90%?

Upang kalkulahin ang rise time, hindi ito kinakailangan na sukatin natin ang oras sa pagitan ng 10% hanggang 90%.

Ngunit sa karamihan ng mga kaso, ang rise time ay kalkulahin sa pagitan ng mga halagang ito.

Ginagamit natin ang mga halagang ito dahil ang mga senyal ay maaaring may napakalaking iba't ibang waveform sa kanilang unang at huling bahagi ng kanilang final values.

Halimbawa, tingnan natin ang switching pattern sa ibaba:

Ito ay nasa halagang malapit sa zero para sa ilang panahon bago ito tumaas at umabot sa kanyang huling halaga.

Hindi angkop na kalkulahin ang "rise time" mula noong ang halaga ay zero, dahil hindi ito nagbibigay ng tunay na pagkakataon kung gaano katagal ang signal upang tumaas sa gitna ng estado (malinaw na mayroong trigger na nangyari sa simula ng Tr).

Sa dulo, ginagamit namin ang 90% kaysa sa 100% dahil madalas ang mga signal ay hindi umabot sa kanilang huling halaga.

Kapareho ng kung paano ang hitsura ng logarithmic graph, hindi ito mag-uumpisa na umabot sa 100%, kasama ang pagbaba ng gradient ng graph sa loob ng panahon.

Kaya para sumaryunin: ang mga switching devices ay may iba't ibang switching patterns sa simula at dulo.

Ngunit sa pagitan ng mga yugto, ang lahat ng mga device ay may kaparehong rise pattern. At ang pagsukat ng 10% hanggang 90% ng transisyon ay karaniwang nagbibigay ng mabuting representasyon ng rise time sa malawak na saklaw ng mga device.

Kaya, sa karamihan ng kondisyon, inaasahang kalkulahin natin ang rise time sa pagitan ng 10% at 90%.

Rise Time vs Fall Time

Ang fall time ay inilalarawan bilang oras na kinakailangan ng isang signal upang bumaba (bumaba) mula sa isang tinukoy na halaga (X) hanggang sa isa pang tinukoy na halaga (Y).

Sa karamihan ng mga kaso, ang itaas na tinukoy na halaga (X) ay 90% ng peak value at ang mas mababang tinukoy na halaga ay 10% ng peak value. Isang diagram na nagpapakita ng fall time ay ipinapakita sa ibaba.

rise time vs fall time — Rise Time vs Fall Time

Kaya sa isang sense, ang fall time ay maaaring ituring bilang kabaligtaran ng rise time, sa termino ng kung paano ito nakalkula.

Ngunit mahalagang pahabain na ang oras ng pagbagsak ay hindi kasunod-sunod na katumbas ng oras ng pag-akyat.

Maliban kung mayroon kang simetrikong alon (tulad ng sine wave), ang oras ng pag-akyat at oras ng pagbagsak ay independiyente.

At walang pangkalahatang relasyon sa pagitan ng oras ng pag-akyat at oras ng pagbagsak. Ang parehong mga bilang ay naglalaro ng mahalagang papel para sa analisis ng signal sa mga sistema ng kontrol at digital electronics.

Oras ng Pag-akyat at Bandwidth

Para sukatin ang signal nang praktikal, ginagamit natin ang oscilloscope. Kung alam natin ang oras ng pag-akyat ng signal, maaari nating makahanap ng bandwidth ng signal para sa pagsubok.

Ito ay tutulong sa pagpili ng oscilloscope na may mas malaking o katumbas na bandwidth. At ito ay bibigay ng tumpak na resulta ng display sa oscilloscope.

Kung alam natin ang oras ng pag-akyat ng signal, maaari nating makahanap kung gaano karaming babawasan ng oscilloscope ang signal at idagdag sa oras ng pag-akyat nito.

Ang relasyon sa pagitan ng bandwidth (BW) at oras ng pag-akyat (tr) ay ipinapakita sa formula sa ibaba.

$BW \approx \frac{0.35}{t_r}$

Ang naunang formula ay nagsasangguni na ang oras ng pag-akyat ay inukol sa saklaw ng 10% hanggang 90% ng huling halaga.

Ang convenient na yunit ng bandwidth ay MHz o GHz at para sa oras ng pag-akyat μs o ns.

Kung ang mga input amplifiers ng oscilloscope ay may simple frequency response, ang numerator 0.35 ay nagbibigay ng tumpak na resulta.

Ngunit maraming oscilloscopes ang may mas mabilis na roll-off upang magbigay ng mas pantay na frequency response sa passband. Sa kondisyong ito, ang numerator ay lumaki hanggang 0.45 o higit pa.

Halimbawa, kapag ipinakita ang isang square wave sa isang oscilloscope, may 10-90% rise time na 1ns. Ano ang huling bandwidth ng oscilloscope?

Sa pamamagitan ng pagsasalitain ng mga numero na ito sa formula sa itaas,

$BW = \frac{3.5}{10^{-9}} = 3.5 \times 10^{-9} = 350MHz$