Час наростання: що це? (Рівняння та як його обчислити)

Поле: Основи електротехніки

China

що таке час наростання

Що таке час наростання?

Час наростання визначається як час, необхідний для сигналу, щоб перейти від певного нижнього значення до певного верхнього значення. У аналоговій та цифровій електроніці певні нижнє та верхнє значення становлять 10% та 90% від кінцевого або стаціонарного значення. Тому час наростання зазвичай визначається як час, за який сигнал проходить від 10% до 90% свого кінцевого значення.

Час наростання є важливим параметром у аналогових та цифрових системах. Він описує час, за який вихід піднімається від одного рівня до іншого у аналоговій системі, що має багато практичних наслідків. Час наростання показує, скільки часу сигнал проводить у проміжному стані між двома дійсними логічними рівнями у цифровій системі.

У теорії керування, час наростання визначається як час, за який відповідь піднімається від X% до Y% свого кінцевого значення. Значення X та Y змінюються в залежності від типу системи.

Для недостатньо загальних систем другого порядку час наростання становить 0% до 100%, для критично загальних систем - 5% до 95%, а для надзагальних систем - 10% до 90%.

Рівняння часу наростання

Для обчислення в часовій області аналізу ми розглядаємо системи першого та другого порядку.

Отже, для розрахунку формули часу наростання ми розглядаємо системи першого та другого порядку.

Час наростання системи першого порядку

Система першого порядку розглядається за допомогою наступної замкнутої передавальної функції.

$G(s) = \frac{1}{Ts+1} = \frac{b}{s+a}$

У перехідній функції T визначається як часовий постійний. Характеристики системи першого порядку у часовій області обчислюються згідно з часовим постійним T.

Тепер припустимо, що вхідна функція замкнутої системи є одинична ступінчаста функція. Вона визначається через перетворення Лапласа як:

$R(s) = \frac{1}{s}$

Отже, вихідний сигнал буде визначений як:

$C(s) = G(s) R(s)$

$C(s) = \frac{1}{Ts+1} \times \frac{1}{s}$

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}} \times \frac{1}{s}$

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}$

Розв'яжіть це рівняння за допомогою часткових дробів;

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

Тепер знайдіть значення A1 та A2;

$\frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}} = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}$

$A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s = \frac{1}{T}$

Для s=0;

$A_1(0+\frac{1}{T}) + A_2 (0) = \frac{1}{T}$

$A_1 \frac{1}{T} = \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

Для s=-1/T;

$A_1(\frac{-1}{T} + \frac{1}{T}) + A_2 (\frac{-1}{T}) = \frac{1}{T}$

$A_1 (0) - A_2 \frac{1}{T} = \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

Отже,

$C(s) = \frac{1}{s} + \frac{-1}{s+\frac{1}{T}}$

Взявши зворотнє перетворення Лапласа;

$C(t) = L^{-1} \left[ \frac{1}{s} -\frac{1}{s+\frac{1}{T}} \right]$

$C(t) = 1-e^{\frac{-t}{T}}$

Тепер ми розрахуємо час наростання між 10% і 90% від кінцевого значення.

$C(t_{10}) = 0.10 \quad and \quad C(t_{90}) = 0.90$

$0.10 = 1 - e^{\frac{t_{10}}{T}}$

$e^{\frac{t_{10}}{T}} = 1-0.10$

$e^{\frac{t_{10}}{T}} = 0.9$

$\frac{-t_{10}}{T} = ln(0.9)$

$t_{10} = -T ln(0.9)$

$t_{10} = -T (-0.1053)$

$t_{10} = 0.1053T$

Аналогічно;

$0.90 = 1 - e^{\frac{t_{90}}{T}}$

$e^{\frac{t_{90}}{T}} = 1 - 0.9$

$e^{\frac{t_{90}}{T}} = 0.1$

$\frac{-t_{90}}{T} = ln(0.1)$

$t_{90} = -T (-2.3025)$

$t_{90} = 2.3025T$

Тепер, для часу сплеску tr;

$t_r = t_{90} - t_{10}$

$t_r = 2.3025T - 0.1053T$

$t_r = 2.197 T$

$t_r \approx 2.2T = \frac{2.2}{a}$

Час підйому системи другого порядку

У системі другого порядку час підйому розраховується від 0% до 100% для недоамортизованої системи, від 10% до 90% для перевершено амортизованої системи і від 5% до 95% для критично амортизованої системи.

Тут ми обговоримо розрахунок часу підйому для системи другого порядку. І рівняння для системи другого порядку є таким:

$C(t) = 1-\frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi)$

Час підйому позначається як tr.

$C(t) = C(t_r) = 1$

$1 = 1 - \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi)$

$\frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi) = 0$

$\sin(\omega_d t_r + \phi) = 0$

$\sin(\omega_d t_r + \phi) = \sin(\pi)$

$(\omega_d t_r + \phi) = (\pi)$

$\omega_d t_r = \pi - \phi$

$t_r = \frac{\pi - \phi}{\omega_d}$

Де,

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$\phi = tan^{-1} (\frac{\sqrt{1-\zeta^2})}{\zeta}$

Отже, кінцева формула часу підйому є такою;

$t_r = \frac{\pi - tan^{-1} (\frac{\sqrt{1-\zeta^2})}{\zeta}}{\omega_n \sqrt{1-\zeta^2} }$

Як розрахувати час підйому?

Система першого порядку

Наприклад, знайдіть час підйому системи першого порядку. Передаточна функція системи першого порядку показана в рівнянні нижче.

$G(s) = \frac{5}{s+2}$

Порівняйте передаточну функцію зі стандартною формою передаточної функції.

$G(s) = \frac{b}{s+a}$

Отже; a=2 і b=5;

Рівняння часу наростання для системи першого порядку є таким;

$t_r = \frac{2.2}{a}$

$t_r = \frac{2.2}{2}$

$t_r = 1.1 sec$

Система другого порядку

Знайдіть час наростання системи другого порядку з власною частотою 5 рад/с і коефіцієнтом затухання 0,6.

$\omega_n = 5 rad/sec$

$\zeta = 0.6$

Рівняння часу підйому для системи другого порядку є таким:

$t_r = \frac{\pi - \phi}{\omega_d}$

Тепер нам потрібно знайти значення ф і ωd.

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-\zeta^2}}{\zeta} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-0.6 ^2}}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-0.36}}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{0.8}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} (1.33)$

$\phi = 0.9272 rad$

Тепер, для ωd,

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$\omega_d = 5 \times 0.8$

$\omega_d = 4 rad/sec$

Вставте ці значення у рівняння часу наростання;

$t_r = \frac{3.14-0.9272}{4}$

$t_r = \frac{2.2128}{4}$

$t_r = 0.5532 sec$

Чому час наростання вимірюється від 10% до 90%?

Для обчислення часу наростання не обов'язково вимірювати час між 10% і 90%.

Але в більшості випадків, час наростання обчислюється між цими значеннями.

Ми використовуємо ці значення, оскільки сигнали можуть мати дуже різні форми хвиль у перших та останніх частині своїх кінцевих значень.

Наприклад, розгляньте нижче зображену схему комутації:

Це значення було приблизно нульовим протягом деякого часу, після чого зростало і досягало своєї кінцевої величини.

Не буде відповідно розраховувати «час спрямування» з моменту, коли значення було нульовим, оскільки це не буде відображати час, який потрібний сигналу для зростання під час цього проміжного стану (очевидно, що на початку Tr сталася якась подія).

На кінцевому етапі ми використовуємо 90% замість 100%, оскільки часто сигнали ніколи не досягають своєї кінцевої величини.

Подібно до того, як виглядає логарифмічний графік, він ніколи не досягає 100%, а градієнт графіка зменшується з часом.

Отже, у коротких словах: переключальні пристрої мають різні шаблони переключення на початкових та кінцевих етапах.

Але під час переходу між цими етапами, всі пристрої мають схожий шаблон зростання. І вимірювання 10% до 90% цього переходу зазвичай дає правильне представлення про час зростання на широкому діапазоні пристроїв.

Тому, в більшості умов, ми розраховуємо час зростання між 10% і 90%.

Час зростання vs час спадання

Час спадання визначається як час, за який сигнал зменшується від одного заданого значення (X) до іншого заданого значення (Y).

У більшості випадків, верхнє задане значення (X) становить 90% від пікового значення, а нижнє задане значення — 10% від пікового значення. Діаграма, що ілюструє час спадання, показана нижче.

rise time vs fall time — Час зростання vs час спадання

Таким чином, час спадання можна вважати оберненим до часу зростання, в термінах його розрахунку.

Але важливо підкреслити, що час спаду не обов'язково дорівнює часу зростання.

Якщо у вас немає симетричної хвилі (наприклад, синусоїди), час зростання та час спаду незалежні.

І немає загенералізованого зв'язку між часом зростання та часом спаду. Обидва параметри відіграють ключову роль у аналізі сигналів в системах керування та цифровій електроніці.

Час зростання та ширина смуги пропускання

Для практичного вимірювання сигналу ми використовуємо осцилограф. Якщо ми знаємо час зростання сигналу, ми можемо знайти ширину смуги пропускання сигналу для тестування.

Це допоможе обрати осцилограф із більшою або рівною шириною смуги пропускання. І це забезпечить точні результати відображення на осцилографі.

Якщо ми знаємо час зростання сигналу, ми можемо з'ясувати, наскільки осцилограф замедлить сигнал і додасть до його часу зростання.

Зв'язок між шириною смуги пропускання (BW) та часом зростання (tr) виражається формулою нижче.

$BW \approx \frac{0.35}{t_r}$

Вищенаведена формула припускає, що час зростання вимірюється в діапазоні 10% до 90% від кінцевого значення.

Зручні одиниці ширини смуги пропускання — МГц або ГГц, а для часу зростання — мкс або нс.

Якщо входні підсилювачі осцилографа мають просту частотну характеристику, чисельник 0.35 дає точний результат.

Але багато осцилографів мають швидкий спад для забезпечення більш рівної частотної характеристики в пропускному діапазоні. У таких умовах чисельник збільшується до 0.45 або більше.

Наприклад, коли квадратна хвиля відображається на осцилографі, вона має час зростання 10-90% 1 нс. Яка буде приблизна ширина смуги пропускання осцилографа?

Підставивши ці числа у формулу вище,

$BW = \frac{3.5}{10^{-9}} = 3.5 \times 10^{-9} = 350MHz$