Masa Naik: Apakah itu? (Persamaan dan Cara Menghitungnya)

Medan: Elektrik Asas

China

what is rise time

Apakah Rise Time?

Rise time didefinisikan sebagai waktu yang diambil oleh sinyal untuk melintasi dari nilai rendah tertentu ke nilai tinggi tertentu. Dalam elektronik analog dan digital, nilai rendah dan tinggi yang ditentukan adalah 10% dan 90% dari nilai akhir atau steady-state. Jadi, rise time biasanya didefinisikan sebagai berapa lama sinyal memerlukan waktu untuk bergerak dari 10% hingga 90% dari nilai akhirnya.

Rise time adalah parameter penting dalam sistem analog dan digital. Ia menggambarkan waktu yang dibutuhkan oleh output untuk naik dari satu level ke level lain dalam sistem analog, yang memiliki banyak implikasi dunia nyata. Rise time memberi tahu kita berapa lama sinyal berada dalam keadaan antara dua level logika yang valid dalam sistem digital.

Dalam teori kendali, rise time didefinisikan sebagai waktu yang diambil oleh respons untuk naik dari X% hingga Y% dari nilai akhirnya. Nilai X dan Y bervariasi tergantung pada jenis sistem.

Rise time untuk sistem orde kedua yang underdamped adalah 0% hingga 100%, untuk sistem critically damped adalah 5% hingga 95%, dan untuk sistem overdamped adalah 10% hingga 90%.

Persamaan Rise Time

Untuk perhitungan dalam analisis domain waktu, kami mempertimbangkan sistem orde pertama dan sistem orde kedua.

Jadi, untuk menghitung rumus rise time, kami mempertimbangkan sistem orde pertama dan orde kedua.

Rise Time Sistem Orde Pertama

Sistem orde pertama dipertimbangkan dengan fungsi transfer loop tertutup berikut.

$G(s) = \frac{1}{Ts+1} = \frac{b}{s+a}$

Dalam fungsi pindah, T ditakrifkan sebagai pemalar masa. Ciri-ciri domain masa bagi sistem pertama tertib dikira berdasarkan pemalar masa T.

Sekarang, andaikan input rujukan sistem gelung tertutup adalah fungsi langkah unit. Dan ia ditakrifkan dalam istilah transformasi Laplace seperti berikut;

$R(s) = \frac{1}{s}$

Oleh itu, isyarat output akan ditakrifkan sebagai;

$C(s) = G(s) R(s)$

$C(s) = \frac{1}{Ts+1} \times \frac{1}{s}$

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}} \times \frac{1}{s}$

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}$

Selesaikan persamaan ini menggunakan pecahan separuh;

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

Sekarang, cari nilai A1 dan A2;

$\frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}} = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}$

$A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s = \frac{1}{T}$

Untuk s=0;

$A_1(0+\frac{1}{T}) + A_2 (0) = \frac{1}{T}$

$A_1 \frac{1}{T} = \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

Untuk s=-1/T;

$A_1(\frac{-1}{T} + \frac{1}{T}) + A_2 (\frac{-1}{T}) = \frac{1}{T}$

$A_1 (0) - A_2 \frac{1}{T} = \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

Oleh itu,

$C(s) = \frac{1}{s} + \frac{-1}{s+\frac{1}{T}}$

Mengambil Laplace songsang;

$C(t) = L^{-1} \left[ \frac{1}{s} -\frac{1}{s+\frac{1}{T}} \right]$

$C(t) = 1-e^{\frac{-t}{T}}$

Sekarang, kita menghitung masa naik antara 10% dan 90% nilai akhir.

$C(t_{10}) = 0.10 \quad and \quad C(t_{90}) = 0.90$

$0.10 = 1 - e^{\frac{t_{10}}{T}}$

$e^{\frac{t_{10}}{T}} = 1-0.10$

$e^{\frac{t_{10}}{T}} = 0.9$

$\frac{-t_{10}}{T} = ln(0.9)$

$t_{10} = -T ln(0.9)$

$t_{10} = -T (-0.1053)$

$t_{10} = 0.1053T$

Demikian juga;

$0.90 = 1 - e^{\frac{t_{90}}{T}}$

$e^{\frac{t_{90}}{T}} = 1 - 0.9$

$e^{\frac{t_{90}}{T}} = 0.1$

$\frac{-t_{90}}{T} = ln(0.1)$

$t_{90} = -T (-2.3025)$

$t_{90} = 2.3025T$

Sekarang, untuk masa naik tr;

$t_r = t_{90} - t_{10}$

$t_r = 2.3025T - 0.1053T$

$t_r = 2.197 T$

$t_r \approx 2.2T = \frac{2.2}{a}$

Masa Naik Sistem Peringkat Kedua

Dalam sistem peringkat kedua, masa naik dikira dari 0% hingga 100% untuk sistem yang kurang diredam, 10% hingga 90% untuk sistem yang terlalu diredam, dan 5% hingga 95% untuk sistem yang kritis diredam.

Di sini, kita akan membincangkan pengiraan masa naik untuk sistem peringkat kedua. Dan persamaan untuk sistem peringkat kedua adalah;

$C(t) = 1-\frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi)$

Masa naik ditandakan dengan tr.

$C(t) = C(t_r) = 1$

$1 = 1 - \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi)$

$\frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi) = 0$

$\sin(\omega_d t_r + \phi) = 0$

$\sin(\omega_d t_r + \phi) = \sin(\pi)$

$(\omega_d t_r + \phi) = (\pi)$

$\omega_d t_r = \pi - \phi$

$t_r = \frac{\pi - \phi}{\omega_d}$

Di mana,

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$\phi = tan^{-1} (\frac{\sqrt{1-\zeta^2})}{\zeta}$

Oleh itu, formula akhir untuk masa naik adalah;

$t_r = \frac{\pi - tan^{-1} (\frac{\sqrt{1-\zeta^2})}{\zeta}}{\omega_n \sqrt{1-\zeta^2} }$

Bagaimana Mengira Masa Naik?

Sistem Peringkat Pertama

Sebagai contoh, cari masa naik sistem peringkat pertama. Fungsi pemindahan sistem peringkat pertama ditunjukkan dalam persamaan di bawah.

$G(s) = \frac{5}{s+2}$

Bandingkan fungsi pemindahan dengan bentuk piawai fungsi pemindahan.

$G(s) = \frac{b}{s+a}$

Oleh itu; a=2 dan b=5;

Persamaan masa naik untuk sistem pertama adalah;

$t_r = \frac{2.2}{a}$

$t_r = \frac{2.2}{2}$

$t_r = 1.1 sec$

Sistem Pertama Tingkat

Cari masa naik sistem pertama tingkat dengan frekuensi alamiah 5 rad/s dan nisbah pengedaran 0.6.

$\omega_n = 5 rad/sec$

$\zeta = 0.6$

Persamaan masa naik untuk sistem peringkat kedua adalah;

$t_r = \frac{\pi - \phi}{\omega_d}$

Sekarang, kita perlu mencari nilai ф dan ωd.

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-\zeta^2}}{\zeta} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-0.6 ^2}}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-0.36}}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{0.8}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} (1.33)$

$\phi = 0.9272 rad$

Sekarang, untuk ωd,

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$\omega_d = 5 \times 0.8$

$\omega_d = 4 rad/sec$

Masukkan nilai-nilai ini ke dalam persamaan masa naik;

$t_r = \frac{3.14-0.9272}{4}$

$t_r = \frac{2.2128}{4}$

$t_r = 0.5532 sec$

Mengapa Masa Naik ialah 10% hingga 90%?

Untuk mengira masa naik, tidak perlu kita mengukur masa antara 10% hingga 90%.

Tetapi dalam kebanyakan kes, masa naik dihitung antara nilai-nilai ini.

Kami menggunakan nilai-nilai ini kerana isyarat mungkin mempunyai bentuk gelombang yang sangat berbeza pada bahagian awal dan akhir nilai akhir mereka.

Sebagai contoh, ambil corak pemindahan di bawah:

Nilai ini berada pada kira-kira sifar untuk beberapa masa sebelum meningkat dan mencapai nilai akhirnya.

Tidak sesuai untuk mengira "masa naik" dari bila nilai tersebut berada pada sifar, kerana ini tidak mewakili masa yang diambil oleh isyarat untuk naik semasa keadaan perantaraan ini (jelas ada sesuatu pemicu yang berlaku pada awal Tr).

Di hujung, kami menggunakan 90% daripada 100% kerana sering kali isyarat tidak akan pernah mencapai nilai akhir mereka.

Seperti graf logaritma, ia tidak akan pernah mencapai 100%, dengan kecerunan graf menurun seiring waktu.

Oleh itu, untuk merangkum: peranti pemintas mempunyai corak pemintasan yang berbeza pada tahap permulaan dan akhir.

Tetapi semasa peralihan antara tahap-tahap ini, semua peranti mempunyai corak naik yang serupa. Dan mengukur 10% hingga 90% daripada peralihan ini biasanya memberikan perwakilan yang adil tentang masa naik bagi pelbagai peranti.

Oleh itu, dalam kebanyakan keadaan, kami mengira masa naik antara 10% dan 90%.

Masa Naik vs Masa Jatuh

Masa jatuh didefinisikan sebagai masa yang diambil oleh isyarat untuk jatuh (menurun) dari nilai tertentu (X) ke nilai lain yang ditentukan (Y).

Dalam kebanyakan kes, nilai atas yang ditentukan (X) adalah 90% daripada nilai puncak dan nilai bawah yang ditentukan adalah 10% daripada nilai puncak. Sebuah gambaran yang menggambarkan masa jatuh ditunjukkan di bawah.

rise time vs fall time — Masa Naik vs Masa Jatuh

Jadi, dalam suatu cara, masa jatuh boleh dianggap sebagai kebalikan dari masa naik, dari segi bagaimana ia dikira.

Tetapi penting untuk menekankan bahawa masa jatuh tidak semestinya sama dengan masa naik.

Kecuali anda mempunyai gelombang simetri (seperti gelombang sinus), masa naik dan masa jatuh adalah bebas.

Dan tiada hubungan umum antara masa naik dan masa jatuh. Kedua-dua kuantiti memainkan peranan penting dalam analisis isyarat dalam sistem kawalan dan elektronik digital.

Masa Naik dan Bandwidth

Untuk mengukur isyarat secara praktikal, kami menggunakan osiloskop. Jika kita mengetahui masa naik isyarat, kita boleh mencari lebar jalur isyarat untuk pengujian.

Ini akan membantu memilih osiloskop dengan lebar jalur yang lebih besar atau sama. Dan ia akan memberikan hasil paparan yang tepat pada osiloskop.

Jika kita mengetahui masa naik isyarat, kita boleh mencari sejauh mana osiloskop akan melambatkan isyarat dan menambah kepada masa naiknya.

Hubungan antara lebar jalur (BW) dan masa naik (tr) dinyatakan dengan formula di bawah.

$BW \approx \frac{0.35}{t_r}$

Formula di atas mengandaikan bahawa masa naik diukur dalam julat 10% hingga 90% nilai akhir.

Unit yang mudah bagi lebar jalur adalah MHz atau GHz dan untuk masa naik μs atau ns.

Jika penampli input osiloskop mempunyai respons frekuensi yang mudah, pembilang 0.35 memberikan hasil yang tepat.

Tetapi banyak osiloskop mempunyai roll-off yang lebih cepat untuk memberikan respons frekuensi yang lebih rata dalam jalur lulus. Dalam keadaan ini, pembilang ditambah menjadi 0.45 atau lebih.

Sebagai contoh, apabila gelombang segi empat ditunjukkan pada osiloskop, ia mempunyai masa naik 10-90% sebanyak 1ns. Apakah lebar jalur (bandwidth) kira-kira bagi osiloskop tersebut?

Dengan menggantikan nombor-nombor ini ke dalam formula di atas,

$BW = \frac{3.5}{10^{-9}} = 3.5 \times 10^{-9} = 350MHz$