Ang Rise Time: Ano ito? (Ekwasyon ug Paunsa Mokompyut)

Larangan: Basic Electrical Basikong Elektikal

China

unsa ang rise time

Unsa ang Rise Time?

Ang rise time gitakda isip ang oras nga gikinahanglan aron ang signal makapasa gikan sa nailhan nga mas mababa nga halaga hangtod sa nailhan nga mas taas nga halaga. Sa analog ug digital electronics, ang nailhan nga mas mababa nga halaga ug nailhan nga mas taas nga halaga mao ang 10% ug 90% sa final o steady-state value. Busa ang rise time tipikal nga gitakda isip pila ka oras gikinahanglan aron ang signal makapasa gikan sa 10% hangtod sa 90% sa iyang final value.

Ang rise time usa ka essential parameter sa mga analog ug digital systems. Iya nagdescribe sa oras nga gikinahanglan aron ang output makataas gikan sa usa ka level hangtod sa uban sa analog system, na may daghang real-world implications. Ang rise time nagsulti kung pila ka oras ang signal nagdula sa intermediate state tali sa duha ka valid logic levels sa digital system.

Sa control theory, ang rise time gitakda isip ang oras nga gikinahanglan aron ang response makataas gikan sa X% hangtod sa Y% sa iyang final value. Ang halaga sa X ug Y magkakaiba depende sa klase sa system.

Ang rise time para sa underdamped second-order systems mao ang 0% hangtod sa 100%, para sa critically damped systems mao ang 5% hangtod sa 95%, ug para sa overdamped systems mao ang 10% hangtod sa 90%.

Rise Time Equation

Para sa pagkuha sa calculation sa time domain analysis, kami mosangpot sa first-order system ug second-order system.

Busa, aron makalkula sa formula sa rise time, kami mosangpot sa first-order ug second-order systems.

Rise Time of a First Order System

Ang first-order system gitimbang gamit ang sumusunod nga closed-loop transfer function.

$G(s) = \frac{1}{Ts+1} = \frac{b}{s+a}$

Sa transfer function, ang T gitakda isip time constant. Ang mga katangian sa first-order system sa time domain gigamit gamay nga oras nga T.

Ngayon, ipasabot nga ang reference input sa closed-loop system mao ang unit step function. Ug gidefine kini pinaagi sa Laplace transform isip;

$R(s) = \frac{1}{s}$

Busa, ang output signal mahimong maipahayag isip;

$C(s) = G(s) R(s)$

$C(s) = \frac{1}{Ts+1} \times \frac{1}{s}$

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}} \times \frac{1}{s}$

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}$

Pasabot kini ang ekwasyon gamit ang partial fraction;

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

Karon, pagsulayi ang mga balore sa A1 ug A2;

$\frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}} = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}$

$A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s = \frac{1}{T}$

Para sa s=0;

$A_1(0+\frac{1}{T}) + A_2 (0) = \frac{1}{T}$

$A_1 \frac{1}{T} = \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

Para sa s=-1/T;

$A_1(\frac{-1}{T} + \frac{1}{T}) + A_2 (\frac{-1}{T}) = \frac{1}{T}$

$A_1 (0) - A_2 \frac{1}{T} = \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

Ania,

$C(s) = \frac{1}{s} + \frac{-1}{s+\frac{1}{T}}$

Pagkuha sa inverse Laplace;

$C(t) = L^{-1} \left[ \frac{1}{s} -\frac{1}{s+\frac{1}{T}} \right]$

$C(t) = 1-e^{\frac{-t}{T}}$

Karon, atong pagkalkula sa rise time tali sa 10% ug 90% sa final value.

$C(t_{10}) = 0.10 \quad and \quad C(t_{90}) = 0.90$

$0.10 = 1 - e^{\frac{t_{10}}{T}}$

$e^{\frac{t_{10}}{T}} = 1-0.10$

$e^{\frac{t_{10}}{T}} = 0.9$

$\frac{-t_{10}}{T} = ln(0.9)$

$t_{10} = -T ln(0.9)$

$t_{10} = -T (-0.1053)$

$t_{10} = 0.1053T$

Gayod;

$0.90 = 1 - e^{\frac{t_{90}}{T}}$

$e^{\frac{t_{90}}{T}} = 1 - 0.9$

$e^{\frac{t_{90}}{T}} = 0.1$

$\frac{-t_{90}}{T} = ln(0.1)$

$t_{90} = -T (-2.3025)$

$t_{90} = 2.3025T$

Karon, para sa rise time tr;

$t_r = t_{90} - t_{10}$

$t_r = 2.3025T - 0.1053T$

$t_r = 2.197 T$

$t_r \approx 2.2T = \frac{2.2}{a}$

Panahon sa Pagtumuo sa Ikalawang Klase nga Sistema

Sa ikalawang klase nga sistema, ang panahon sa pagtumuo gitantiya gikan sa 0% hangtod 100% para sa underdamped nga sistema, 10% hangtod 90% para sa overdamped nga sistema, ug 5% hangtod 95% para sa critically damped nga sistema.

Ania, atong itarong ang pagsulay sa panahon sa pagtumuo sa ikalawang klase nga sistema. Ug ang ekuwasyon para sa ikalawang klase nga sistema mao kini;

$C(t) = 1-\frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi)$

Ang panahon sa pagtumuo gigamit isip tr.

$C(t) = C(t_r) = 1$

$1 = 1 - \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi)$

$\frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi) = 0$

$sin(\omega_d t_r + \phi) = 0$

$sin(\omega_d t_r + \phi) = sin(\pi)$

$(\omega_d t_r + \phi) = (\pi)$

$\omega_d t_r = \pi - \phi$

$t_r = \frac{\pi - \phi}{\omega_d}$

Kung diin,

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$\phi = tan^{-1} (\frac{\sqrt{1-\zeta^2})}{\zeta}$

Ania, ang final nga formula sa rise time mao kini;

$t_r = \frac{\pi - tan^{-1} (\frac{\sqrt{1-\zeta^2})}{\zeta}}{\omega_n \sqrt{1-\zeta^2} }$

Unsaon Ang Pagkuha Sa Rise Time?

Unang Klase nga Sistema

Pwede usab nimo sukolon ang rise time sa unang klase nga sistema. Gitakda ang transfer function sa unang klase nga sistema sa ekwasyon sa ubos.

$G(s) = \frac{5}{s+2}$

Pangitaa ang transfer function sa standard nga form sa transfer function.

$G(s) = \frac{b}{s+a}$

Konsekwentemente; a=2 ug b=5;

Ang equation sa rise time alang sa unang order system mao kini;

$t_r = \frac{2.2}{a}$

$t_r = \frac{2.2}{2}$

$t_r = 1.1 sec$

Pangutana sa Segundo-Order System

Pangita ang rise time sa segundo-order system nga may natural frequency nga 5 rad/sec ug damping ratio nga 0.6.

$\omega_n = 5 rad/sec$

$\zeta = 0.6$

Ang ekwasyon sa rise time para sa second order system mao kini;

$t_r = \frac{\pi - \phi}{\omega_d}$

Karon, kinahanglan nato makuha ang balore sa ф ug ωd.

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-\zeta^2}}{\zeta} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-0.6 ^2}}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-0.36}}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{0.8}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} (1.33)$

$\phi = 0.9272 rad$

Kini, alangdon sa ωd,

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$\omega_d = 5 \times 0.8$

$\omega_d = 4 rad/sec$

Ibutang ang mga balore sa ekuasyon sa rise time;

$t_r = \frac{3.14-0.9272}{4}$

$t_r = \frac{2.2128}{4}$

$t_r = 0.5532 sec$

Asa kini ang Rise Time 10% hangtud 90%?

Wala gyud kiniyari nga gipangutana ang oras sa pagtaas gikan sa 10% hangtud 90%.

Apan sa daghang mga kaso, ang oras sa pagtaas gisukod gikan sa mga balore naa.

Gigamit nato ang mga balore kay ang mga signal mahimong magdugay o magbutang og mga kaibahan sa unang bahin ug huling bahin sa ilang final nga balore.

Tumong, tingali ang pattern sa pag-switch sa ubos:

switching pattern — Pattern sa Pag-switch

Kini nag-ila sa usa ka halaga nga mahitungod sa zero ngadto sa usa ka panahon samtang nagsugod ug nahimong final value.

Dili maayo nga pagkalkula sa “rise time” gikan sa panahon nga ang halaga mao ang zero, tungod kay dili kini makapresenta sa panahon nga gikinahanglan aron ang signal magtaas sa kahisgutan nga estado (mahinungdan na adunay trigger nga nangyari sa unang bahin sa Tr).

Sa hulagway, gigamit nato ang 90% bisan og 100% tungod kay madalas ang mga signal dili mobati sa ilang final value.

Parehas sa pamaagi sa logarithmic graph, dili kini mobati sa 100%, ang gradient sa graph naglubog sa panahon.

Busa, gi-summary: ang switching devices adunay lain-laing switching patterns sa unang ug huling yugto.

Apan sa transisyon sa pagitan niining mga yugto, parehas ang tanang devices sa rise pattern. Ug ang pagkuha sa 10% hangtod 90% sa kahisgutan nga transition kasagaran naghatag og fair representation sa rise time sa wide range sa devices.

Busa, sa daghang kondisyon, nagkalkula kita sa rise time gikan 10% hangtod 90%.

Rise Time vs Fall Time

Ang fall time gitakda isip ang panahon nga gikinahanglan sa signal para mobaba (mokontra) gikan sa ispesipikong halaga (X) hangtod sa uban pa ispesipikong halaga (Y).

Sa daghang kaso, ang taas nga ispesipikong halaga (X) mao ang 90% sa peak value ug ang mas mababa nga ispesipikong halaga mao ang 10% sa peak value. Ang diagram nga nagpakita sa fall time gihatag sa ubos.

rise time vs fall time — Rise Time vs Fall Time

Busa, sa usa ka sense, ang fall time mahimong mapangita ang inverse sa rise time, sa termino sa pamaagi sa pagkalkula.

Pero importante ang pagpahibalo nga ang panahon sa pagkabag-o sa baba wala gyud naka siguro nga sama sa panahon sa pagkabag-o sa taas.

Kung wala ka'y simetrikong balod (tulad sa sine wave), ang panahon sa pagkabag-o sa taas ug sa baba independente.

Wala usab'y generalisadong relasyon tali sa panahon sa pagkabag-o sa taas ug sa baba. Ang duha ka kantidad mahaloman sa signal analysis sa control systems ug digital electronics.

Panahon sa Pagkabag-o sa Taas ug Bandwidth

Para masuksok ang signal praktikal, gamiton ang oscilloscope. Kon natun-an nato ang rise time sa signal, makita nato ang bandwidth sa signal para sa testing.

Kini makatabang sa pili ug oscilloscope nga mas dako o sama sa bandwidth. Ug makatabang sa accurate display results sa oscilloscope.

Kon natun-an nato ang rise time sa signal, makita nato paano mapapabilin sa oscilloscope ang signal ug ania ang iyang rise time.

Ang relasyon tali sa bandwidth (BW) ug rise time (tr) gitumong sa formula sa ubos.

$BW \approx \frac{0.35}{t_r}$

Ang formula sa ubos nagpresupuesto nga ang rise time gisuksok sa range sa 10% hangtod 90% sa final value.

Ang convenient units sa bandwidth mao ang MHz o GHz ug sa rise time μs o ns.

Kon simple ang frequency response sa input amplifiers sa oscilloscope, ang numerator 0.35 maghatag og accurate result.

Pero daghan sa mga oscilloscope adunay mas rapido roll-off aron maflat ang frequency response sa passband. Sa kondisyon niini, ang numerator naaasoy sa 0.45 o mas dako pa.

Pangutana, kung ang usa ka square wave adunay display sa isang oscilloscope, adunay 10-90% rise time nga 1ns. Ano ang masamok nga bandwidth sa oscilloscope?

Pagsubay sa pormula sa itaas,

$BW = \frac{3.5}{10^{-9}} = 3.5 \times 10^{-9} = 350MHz$