Stigningstid: Hvad er det? (Ligning og hvordan man beregner den)

Felt: Grundlæggende elektricitet

China

hvad er stigningstid

Hvad er stigningstid?

Stigningstiden defineres som den tid, det tager en signal at gå fra en angivet lav værdi til en angivet høj værdi. I analoge og digitale elektroniksystemer er de angivne lavere og højere værdier typisk 10% og 90% af den endelige eller stabile værdi. Så stigningstiden defineres typisk som den tid, det tager for et signal at gå fra 10% til 90% af dets endelige værdi.

Stigningstiden er en vigtig parameter i analoge og digitale systemer. Den beskriver den tid, det tager for outputtet at stige fra et niveau til et andet i et analogt system, hvilket har mange reelle konsekvenser. Stigningstiden fortæller os, hvor lang tid et signal bruger i det midlertidige tilstand mellem to gyldige logiske niveauer i et digitalt system.

I kontrollerteori defineres stigningstiden som den tid, det tager for responsen at stige fra X% til Y% af dens endelige værdi. Værdien af X og Y varierer afhængigt af systemtypen.

Stigningstiden for underdæmpede andenordenssystemer er 0% til 100%, for kritisk dæmpede systemer er det 5% til 95%, og for overdæmpede systemer er det 10% til 90%.

Ligning for stigningstid

For beregning i tidsdomæneanalyse betragter vi førstestørrelses- og andenstørrelsessystemer.

Så for at beregne formelen for stigningstid, betragter vi førstestørrelses- og andenstørrelsessystemer.

Stigningstid for et førstestørrelsessystem

Førstestørrelsessystemet betragtes ved følgende lukket løkke overførselsfunktion.

$G(s) = \frac{1}{Ts+1} = \frac{b}{s+a}$

I overføringsfunktionen er T defineret som en tidskonstant. De tidsdomæneegenskaber for det førsteordens system beregnes i forhold til tidskonstanten T.

Antag nu, at referencen indgang til det lukkede kredsløb er en enhedstrappefunktion. Og den er defineret i forhold til Laplace-transformeringen som;

$R(s) = \frac{1}{s}$

Så vil udgangssignalet blive defineret som;

$C(s) = G(s) R(s)$

$C(s) = \frac{1}{Ts+1} \times \frac{1}{s}$

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}} \times \frac{1}{s}$

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}$

Løs denne ligning ved hjælp af partiel brøkudvikling;

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

Find nu værdierne af A1 og A2;

$\frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}} = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}$

$A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s = \frac{1}{T}$

For s=0;

$A_1(0+\frac{1}{T}) + A_2 (0) = \frac{1}{T}$

$A_1 \frac{1}{T} = \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

For s=-1/T;

$A_1(\frac{-1}{T} + \frac{1}{T}) + A_2 (\frac{-1}{T}) = \frac{1}{T}$

$A_1 (0) - A_2 \frac{1}{T} = \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

Derfor,

$C(s) = \frac{1}{s} + \frac{-1}{s+\frac{1}{T}}$

Ved at tage den inverse Laplace-transformation;

$C(t) = L^{-1} \left[ \frac{1}{s} -\frac{1}{s+\frac{1}{T}} \right]$

$C(t) = 1-e^{\frac{-t}{T}}$

Nu beregner vi stigningstiden mellem 10% og 90% af den endelige værdi.

$C(t_{10}) = 0.10 \quad and \quad C(t_{90}) = 0.90$

$0.10 = 1 - e^{\frac{t_{10}}{T}}$

$e^{\frac{t_{10}}{T}} = 1-0.10$

$e^{\frac{t_{10}}{T}} = 0.9$

$\frac{-t_{10}}{T} = ln(0.9)$

$t_{10} = -T ln(0.9)$

$t_{10} = -T (-0.1053)$

$t_{10} = 0.1053T$

På samme måde;

$0.90 = 1 - e^{\frac{t_{90}}{T}}$

$e^{\frac{t_{90}}{T}} = 1 - 0.9$

$e^{\frac{t_{90}}{T}} = 0.1$

$\frac{-t_{90}}{T} = ln(0.1)$

$t_{90} = -T (-2.3025)$

$t_{90} = 2.3025T$

Nu, for stigningstid tr;

$t_r = t_{90} - t_{10}$

$t_r = 2.3025T - 0.1053T$

$t_r = 2.197 T$

$t_r \approx 2.2T = \frac{2.2}{a}$

Stigningstid for et andenordens system

I et andenordens system beregnes stigningstiden fra 0% til 100% for underdæmpede systemer, 10% til 90% for overdæmpede systemer og 5% til 95% for kritisk dæmpede systemer.

Her vil vi diskutere beregningen af stigningstiden for et andenordens system. Og ligningen for et andenordens system er;

$C(t) = 1-\frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi)$

Stigningstiden angives med tr.

$C(t) = C(t_r) = 1$

$1 = 1 - \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi)$

$\frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi) = 0$

$sin(\omega_d t_r + \phi) = 0$

$sin(\omega_d t_r + \phi) = sin(\pi)$

$(\omega_d t_r + \phi) = (\pi)$

$\omega_d t_r = \pi - \phi$

$t_r = \frac{\pi - \phi}{\omega_d}$

Hvor,

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$\phi = tan^{-1} (\frac{\sqrt{1-\zeta^2})}{\zeta}$

Derfor er den endelige formel for stigningstid:

$t_r = \frac{\pi - tan^{-1} (\frac{\sqrt{1-\zeta^2})}{\zeta}}{\omega_n \sqrt{1-\zeta^2} }$

Hvordan beregnes stigningstid?

Førsteordens system

For eksempel, find stigningstiden for et førsteordens system. Overførselsfunktionen for et førsteordens system vises i ligningen nedenfor.

$G(s) = \frac{5}{s+2}$

Sammenlign overførselsfunktionen med standardformen for overførselsfunktion.

$G(s) = \frac{b}{s+a}$

Så; a=2 og b=5;

Risestidsligningen for et førsteordens system er;

$t_r = \frac{2.2}{a}$

$t_r = \frac{2.2}{2}$

$t_r = 1.1 sec$

Andenordens system

Find stigningstiden for et andenordens system med en naturlig frekvens på 5 rad/sec og en dempeforhold på 0.6.

$\omega_n = 5 rad/sec$

$\zeta = 0.6$

Ligningen for stigningstid i et andenordens system er;

$t_r = \frac{\pi - \phi}{\omega_d}$

Nu skal vi finde værdien af ф og ωd.

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-\zeta^2}}{\zeta} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-0.6 ^2}}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-0.36}}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{0.8}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} (1.33)$

$\phi = 0.9272 rad$

Nu, for ωd,

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$\omega_d = 5 \times 0.8$

$\omega_d = 4 rad/sec$

Indsæt disse værdier i ligningen for stigningstid;

$t_r = \frac{3.14-0.9272}{4}$

$t_r = \frac{2.2128}{4}$

$t_r = 0.5532 sec$

Hvorfor er stigningstiden 10% til 90%?

For at beregne stigningstiden er det ikke nødvendigt, at vi måler tiden mellem 10% og 90%.

Men i de fleste tilfælde beregnes stigningstiden mellem disse værdier.

Vi bruger disse værdier, fordi signalerne kan have meget forskellige bølgeformer i den første og sidste del af deres endelige værdier.

For eksempel, tag følgende skiftmønster:

Dette var på en værdi nær nul i en periode, før den steg og nåede sin endelige værdi.

Det ville ikke være passende at beregne "stigningstiden" fra det tidspunkt, hvor værdien var nul, da dette ikke ville være repræsentativt for tiden, der gik med, at signalet steg under denne midlertidige tilstand (der var tydeligvis en form for udløser, der skete ved begyndelsen af Tr).

På slutningen bruger vi 90% i stedet for 100%, fordi signaler ofte aldrig når deres endelige værdi.

Ligesom et logaritmisk diagram ser ud, vil det aldrig helt nå 100%, med gradienten af diagrammet, der falder over tid.

Så for at resumere: Skiftende enheder har forskellige skiftmønstre i start- og slutfasen.

Men under overgangen mellem disse faser har alle enheder et lignende stigningsmønster. Og måling af 10% til 90% af denne overgang giver typisk en fair repræsentation af stigningstiden over en bred vifte af enheder.

Derfor beregner vi i de fleste tilfælde stigningstiden mellem 10% og 90%.

Stigningstid vs Faldtid

Faldtid defineres som tiden, det tager et signal at falde (formindske) fra en specificeret værdi (X) til en anden specificeret værdi (Y).

I de fleste tilfælde er den øvre specificerede værdi (X) 90% af toppenværdien, og den nedre specificerede værdi er 10% af toppenværdien. Et diagram, der illustrerer faldtid, vises nedenfor.

rise time vs fall time — Stigningstid vs Faldtid

Så på en måde kan faldtiden betragtes som det modsatte af stigningstiden, i forhold til hvordan den beregnes.

Det er dog vigtigt at understrege, at faldetid ikke nødvendigvis er lig med stigningstiden.

Medmindre du har en symmetrisk bølge (såsom en sinusbølge), er stigningstiden og faldetiden uafhængige.

Og der findes ingen generaliseret forhold mellem stigningstiden og faldetiden. Begge størrelser spiller en vital rolle i signalanalyse i styresystemer og digital elektronik.

Stigningstid og Båndbredde

For at måle signalet praktisk bruger vi et oscilloskop. Hvis vi kender signalets stigningstid, kan vi finde signalets båndbredde til test.

Dette vil hjælpe med at vælge et oscilloskop med større eller ligeblandet båndbredde. Og det vil give præcise visningsresultater i oscilloskopet.

Hvis vi kender signalets stigningstid, kan vi finde, hvor meget oscilloskopet vil bremse signalet og tilføje til dets stigningstid.

Forholdet mellem båndbredde (BW) og stigningstid (tr) udtrykkes som følgende formel.

$BW \approx \frac{0.35}{t_r}$

Den ovenstående formel antager, at stigningstiden er målt i området fra 10% til 90% af den endelige værdi.

De bekvemme enheder for båndbredde er MHz eller GHz, og for stigningstid μs eller ns.

Hvis et oscilloskops inputforstærkere har en simpel frekvensrespons, giver tælleren 0.35 et præcist resultat.

Men mange oscilloskoper har hurtigere afløb for at give en fladere frekvensrespons i passbandet. Under denne betingelse øges tælleren til 0.45 eller mere.

For eksempel, når en firkantbølge vises på et oscilloskop, har den en stigningstid på 10-90% på 1ns. Hvad vil den tilnærmelsesvise båndbredde af oscilloskopet være?

Ved at indsætte disse tal i formlen ovenfor,

$BW = \frac{3.5}{10^{-9}} = 3.5 \times 10^{-9} = 350MHz$