زمان صعود: چیست؟ (معادله و نحوه محاسبه آن)

فیلد: مقدماتی برق

China

چه چیزی به زمان صعود می‌گویند

زمان صعود به عنوان زمانی تعریف می‌شود که سیگنال برای عبور از یک مقدار پایین مشخص به یک مقدار بالا مشخص نیاز دارد. در الکترونیک آنالوگ و دیجیتال، مقادیر پایین و بالا مشخص شده ۱۰٪ و ۹۰٪ مقدار نهایی یا حالت پایدار هستند. بنابراین زمان صعود معمولاً به عنوان زمانی تعریف می‌شود که سیگنال برای رسیدن از ۱۰٪ به ۹۰٪ مقدار نهایی خود نیاز دارد.

زمان صعود یک پارامتر ضروری در سیستم‌های آنالوگ و دیجیتال است. این پارامتر زمانی را که خروجی برای صعود از یک سطح به سطح دیگر در یک سیستم آنالوگ نیاز دارد، توصیف می‌کند که این موضوع بسیاری از کاربردهای واقعی را در بر می‌گیرد. زمان صعود به ما می‌گوید که چقدر سیگنال در حالت میانی بین دو سطح منطقی معتبر در یک سیستم دیجیتال می‌ماند.

در نظریه کنترل، زمان صعود به عنوان زمانی تعریف می‌شود که پاسخ برای صعود از X٪ به Y٪ مقدار نهایی خود نیاز دارد. مقادیر X و Y بر اساس نوع سیستم متفاوت هستند.

زمان صعود برای سیستم‌های مرتبه دوم تحت‌دامپ شده ۰٪ تا ۱۰۰٪، برای سیستم‌های بحرانی دامپ شده ۵٪ تا ۹۵٪، و برای سیستم‌های فراتر از دامپ شدن ۱۰٪ تا ۹۰٪ است.

معادله زمان صعود

برای محاسبه در تحلیل حوزه زمان، ما سیستم مرتبه اول و سیستم مرتبه دوم را در نظر می‌گیریم.

بنابراین، برای محاسبه فرمول زمان صعود، ما سیستم‌های مرتبه اول و مرتبه دوم را در نظر می‌گیریم.

زمان صعود یک سیستم مرتبه اول

سیستم مرتبه اول با تابع انتقال حلقه بسته زیر در نظر گرفته می‌شود.

$G(s) = \frac{1}{Ts+1} = \frac{b}{s+a}$

در تابع انتقال، T به عنوان یک ثابت زمانی تعریف می‌شود. ویژگی‌های دامنه زمانی سیستم مرتبه اول بر حسب ثابت زمانی T محاسبه می‌شوند.

حال فرض کنید که ورودی مرجع سیستم حلقه بسته یک تابع پله واحد است. و آن به صورت تبدیل لاپلاس تعریف می‌شود؛

$R(s) = \frac{1}{s}$

بنابراین، سیگنال خروجی به صورت زیر تعریف می‌شود؛

$C(s) = G(s) R(s)$

$C(s) = \frac{1}{Ts+1} \times \frac{1}{s}$

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}} \times \frac{1}{s}$

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}$

این معادله را با استفاده از کسرهای جزئی حل کنید؛

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

اکنون، مقادیر A۱ و A۲ را پیدا کنید؛

$\frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}} = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}$

$A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s = \frac{1}{T}$

برای s=0؛

$A_1(0+\frac{1}{T}) + A_2 (0) = \frac{1}{T}$

$A_1 \frac{1}{T} = \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

برای s=-1/T؛

$A_1(\frac{-1}{T} + \frac{1}{T}) + A_2 (\frac{-1}{T}) = \frac{1}{T}$

$A_1 (0) - A_2 \frac{1}{T} = \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

بنابراین،

$C(s) = \frac{1}{s} + \frac{-1}{s+\frac{1}{T}}$

گرفتن تبدیل لاپلاس معکوس؛

$C(t) = L^{-1} \left[ \frac{1}{s} -\frac{1}{s+\frac{1}{T}} \right]$

$C(t) = 1-e^{\frac{-t}{T}}$

اکنون، زمان صعود بین ۱۰٪ و ۹۰٪ مقدار نهایی را محاسبه می‌کنیم.

$C(t_{10}) = 0.10 \quad and \quad C(t_{90}) = 0.90$

$۰.۱۰ = ۱ - e^{\frac{t_{۱۰}}{T}}$

$e^{\frac{t_{۱۰}}{T}} = ۱-۰.۱۰$

$e^{\frac{t_{10}}{T}} = 0.9$

$\frac{-t_{10}}{T} = ln(0.9)$

$t_{10} = -T ln(0.9)$

$t_{10} = -T (-0.1053)$

$t_{10} = 0.1053T$

به طور مشابه؛

$0.90 = 1 - e^{\frac{t_{90}}{T}}$

$e^{\frac{t_{90}}{T}} = 1 - 0.9$

$e^{\frac{t_{90}}{T}} = 0.1$

$\frac{-t_{90}}{T} = ln(0.1)$

$t_{90} = -T (-2.3025)$

$t_{90} = 2.3025T$

حالا، برای زمان صعود tr;

$t_r = t_{90} - t_{10}$

$t_r = 2.3025T - 0.1053T$

$t_r = 2.197 T$

$t_r \approx 2.2T = \frac{2.2}{a}$

زمان صعود سیستم مرتبه دوم

در یک سیستم مرتبه دوم، زمان صعود از ۰٪ تا ۱۰۰٪ برای سیستم کم‌دامنه، از ۱۰٪ تا ۹۰٪ برای سیستم بسیار دامنه‌دار و از ۵٪ تا ۹۵٪ برای سیستم حاشیه‌ای محاسبه می‌شود.

در اینجا، به محاسبه زمان صعود برای یک سیستم مرتبه دوم پرداخته خواهد شد. و معادله برای یک سیستم مرتبه دوم به صورت زیر است؛

$C(t) = 1-\frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi)$

زمان صعود با t_r نشان داده می‌شود.

$C(t) = C(t_r) = 1$

$۱ = ۱ - \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{۱-\zeta^۲}} \sin(\omega_d t_r + \phi)$

$\frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{۱-\zeta^۲}} \sin(\omega_d t_r + \phi) = ۰$

$sin(\omega_d t_r + \phi) = 0$

$sin(\omega_d t_r + \phi) = sin(\pi)$

$(\omega_d t_r + \phi) = (\pi)$

$\omega_d t_r = \pi - \phi$

$t_r = \frac{\pi - \phi}{\omega_d}$

که در آن،

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$\phi = tan^{-1} (\frac{\sqrt{1-\zeta^2})}{\zeta}$

بنابراین، فرمول نهایی زمان صعود عبارت است از؛

$t_r = \frac{\pi - tan^{-1} (\frac{\sqrt{1-\zeta^2})}{\zeta}}{\omega_n \sqrt{1-\zeta^2} }$

چگونه می‌توان زمان صعود را محاسبه کرد؟

سیستم مرتبه اول

به عنوان مثال، زمان صعود یک سیستم مرتبه اول را پیدا کنید. تابع انتقال یک سیستم مرتبه اول در معادله زیر نشان داده شده است.

$G(s) = \frac{5}{s+2}$

تابع انتقال را با فرم استاندارد تابع انتقال مقایسه کنید.

$G(s) = \frac{b}{s+a}$

بنابراین؛ a=2 و b=5؛

معادله زمان بالاری برای یک سیستم مرتبه اول عبارت است از؛

$t_r = \frac{2.2}{a}$

$t_r = \frac{2.2}{2}$

$t_r = 1.1 sec$

سیستم مرتبه دوم

زمان صعود سیستم مرتبه دوم با فرکانس طبیعی ۵ رادیان بر ثانیه و نسبت میرایی ۰.۶ را پیدا کنید.

$\omega_n = 5 rad/sec$

$\zeta = 0.6$

معادله زمان صعود برای سیستم مرتبه دوم به شرح زیر است؛

$t_r = \frac{\pi - \phi}{\omega_d}$

حالا، باید مقدار فی و ωd را پیدا کنیم.

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-\zeta^2}}{\zeta} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-0.6 ^2}}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-0.36}}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{0.8}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} (1.33)$

$\phi = 0.9272 rad$

اکنون، برای ωd،

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$\omega_d = 5 \times 0.8$

$\omega_d = 4 rad/sec$

این مقادیر را در معادله زمان صعود قرار دهید؛

$t_r = \frac{3.14-0.9272}{4}$

$t_r = \frac{2.2128}{4}$

$t_r = 0.5532 sec$

چرا زمان صعود از ۱۰٪ تا ۹۰٪ است؟

برای محاسبه زمان صعود، الزامی نیست که ما باید زمان بین ۱۰٪ تا ۹۰٪ را اندازه‌گیری کنیم.

اما در بیشتر موارد، زمان صعود بین این مقادیر محاسبه می‌شود.

ما از این مقادیر استفاده می‌کنیم زیرا سیگنال‌ها ممکن است دارای امواج بسیار متفاوت در بخش‌های اول و آخر مقادیر نهایی خود باشند.

به عنوان مثال، الگوی کلیدزنی زیر را در نظر بگیرید:

این مقدار برای مدتی حدود صفر بود و سپس افزایش یافته و به مقدار نهایی خود رسید.

محاسبه "زمان صعود" از زمانی که مقدار صفر بود، مناسب نخواهد بود، زیرا این نماینده زمان گذشته برای صعود سیگنال در حالت میانی (به وضوح تحریکی در شروع Tr رخ داده است) نخواهد بود.

در پایان، ما ۹۰٪ به جای ۱۰۰٪ استفاده می‌کنیم زیرا اغلب سیگنال‌ها هرگز به مقدار نهایی خود نمی‌رسند.

مانند نمودار لگاریتمی، آن هرگز به ۱۰۰٪ نمی‌رسد و شیب نمودار با گذشت زمان کاهش می‌یابد.

بنابراین خلاصه: دستگاه‌های تغییر دهنده دارای الگوهای تغییر دهنده مختلف در مرحله شروع و پایان هستند.

اما در طول انتقال بین این مراحل، تمام دستگاه‌ها الگوی صعود مشابهی دارند. و اندازه‌گیری ۱۰٪ تا ۹۰٪ از این انتقال معمولاً نماینده منصفانه‌ای از زمان صعود در محدوده وسیعی از دستگاه‌ها است.

بنابراین، در بیشتر شرایط، ما زمان صعود را بین ۱۰٪ تا ۹۰٪ محاسبه می‌کنیم.

زمان صعود در مقابل زمان سقوط

زمان سقوط به عنوان زمانی که سیگنال برای کاهش از یک مقدار مشخص (X) به یک مقدار مشخص دیگر (Y) می‌برد، تعریف می‌شود.

در بیشتر موارد، مقدار بالایی مشخص (X) ۹۰٪ از مقدار قله و مقدار پایینی مشخص ۱۰٪ از مقدار قله است. نموداری که زمان سقوط را نشان می‌دهد در زیر آورده شده است.

rise time vs fall time — زمان صعود در مقابل زمان سقوط

بنابراین در نوعی می‌توان زمان سقوط را معکوس زمان صعود، از نظر نحوه محاسبه، در نظر گرفت.

اما مهم است که بدانیم زمان سقوط لزوماً با زمان صعود برابر نیست.

مگر اینکه موج شما متقارن باشد (مانند موج سینوسی)، زمان صعود و زمان سقوط مستقل هستند.

و رابطه عمومی بین زمان صعود و زمان سقوط وجود ندارد. هر دو کمیت در تحلیل سیگنال‌ها در سیستم‌های کنترل و الکترونیک دیجیتال نقش حیاتی دارند.

زمان صعود و پهنای باند

برای اندازه‌گیری عملی سیگنال، از اسکیلوسکوپ استفاده می‌کنیم. اگر زمان صعود سیگنال را بدانیم، می‌توانیم پهنای باند سیگنال را برای تست پیدا کنیم.

این کمک می‌کند تا اسکیلوسکوپی با پهنای باند بیشتر یا مساوی انتخاب کنیم. و این باعث خواهد شد که نتایج نمایشی در اسکیلوسکوپ دقیق باشد.

اگر زمان صعود سیگنال را بدانیم، می‌توانیم بفهمیم اسکیلوسکوپ سیگنال را چقدر کند می‌کند و به زمان صعود آن چه قدر اضافه می‌کند.

رابطه بین پهنای باند (BW) و زمان صعود (tr) به صورت فرمول زیر بیان می‌شود.

$BW \approx \frac{0.35}{t_r}$

فرمول فوق فرض می‌کند که زمان صعود در محدوده ۱۰٪ تا ۹۰٪ از مقدار نهایی اندازه‌گیری شده است.

واحد مناسب برای پهنای باند مگاهرتز یا گیگاهرتز و برای زمان صعود میکروثانیه یا نانوثانیه است.

اگر تقویت‌کننده‌های ورودی اسکیلوسکوپ پاسخ فرکانسی ساده داشته باشند، صورت ۰.۳۵ نتیجه دقیقی می‌دهد.

اما بسیاری از اسکیلوسکوپ‌ها پاسخ فرکانسی سریع‌تری دارند تا پهنای باند عبوری تخت‌تری داشته باشند. در این شرایط، صورت به ۰.۴۵ یا بیشتر افزایش می‌یابد.

برای مثال، وقتی یک موج مربعی در یک اسکوپ نمایش داده می‌شود، زمان صعود ۱۰-۹۰٪ آن ۱ نانوثانیه است. پهنای باند تقریبی اسکوپ چقدر خواهد بود؟

با جایگزین کردن این اعداد در فرمول بالا،

$BW = \frac{3.5}{10^{-9}} = 3.5 \times 10^{-9} = 350MHz$

بیانیه: احترام به اصل، مقالات خوبی هستند که شایسته به اشتراک گذاشته شوند، در صورت وجود نقض حق تکثیر لطفاً تماس بگیرید تا حذف شود.

هدیه دادن و تشویق نویسنده

موضوعات:

سیستم‌های برق

سیستم‌های کنترل

درباره متخصصان

Electrical4u

China

توصیه شده

بیشتر

استانداردهای انتخاب بوشینگ ولتاژ بالا برای ترانسفورماتور قدرت

۱. ساختار و دسته‌بندی بوشینگ‌هاساختار و دسته‌بندی بوشینگ‌ها در جدول زیر نمایش داده شده است: شماره سریال ویژگی رده‌بندی دسته‌بندی ۱ ساختار عایق اصلی نوع ظرفیتیکاغذ ترکیب شده با رزینکاغذ ترکیب شده با روغن نوع غیر ظرفیتیعایق گازیعایق مایعرزین ریخته‌گریعایق مرکب ۲ ماده عایق خارجی سرامیککائوچوک سیلیکونی ۳ ماده پرکننده بین هسته کندانسور و آستین عایق خارجی نوع پر از روغننوع پر از گازنوع پر از پنبهنوع پر از روغن-پاستنوع پر از روغن-گاز ۴ رسانه کاربرد روغ

James

12/20/2025

راهنمای نصب و مدیریت ترانسفورماتورهای بزرگ قدرت

۱. کشش مکانیکی مستقیم ترانسفورماتورهای بزرگ قدرتهنگام حمل ترانسفورماتورهای بزرگ قدرت با استفاده از کشش مکانیکی مستقیم، کارهای زیر باید به درستی انجام شود:بررسی ساختار، عرض، شیب، دامنه، زاویه پیچش و ظرفیت تحمل بار جاده‌ها، پل‌ها، لوله‌های عبور آب، چنارستان‌ها و غیره در طول مسیر؛ تقویت آنها در صورت لزوم.مرور موانع هوایی در طول مسیر مانند خطوط برق و خطوط ارتباطی.در زمان بارگیری، تخلیه و حمل ترانسفورماتورها، باید از شوک یا لرزش شدید خودداری شود. هنگام استفاده از کشش مکانیکی، نقطه نیروی کشش باید زیر

Vziman

12/20/2025

۵ تکنیک تشخیص خطا برای ترانسفورماتورهای بزرگ قدرت

روش‌های تشخیص خطا در ترانسفورماتور۱. روش نسبت برای تجزیه و تحلیل گازهای محلولبرای بیشتر ترانسفورماتورهای قدرت غوطه‌ور در روغن، گازهای قابل اشتعالی تحت فشار حرارتی و الکتریکی در ظرف ترانسفورماتور تولید می‌شوند. گازهای قابل اشتعال محلول در روغن می‌توانند برای تعیین مشخصات تجزیه حرارتی سیستم عایق‌بندی روغن-کاغذ ترانسفورماتور بر اساس محتوای گازهای خاص و نسبت‌های آنها استفاده شوند. این فناوری ابتدا برای تشخیص خطا در ترانسفورماتورهای غوطه‌ور در روغن استفاده شد. بعداً، باراکلو و دیگران یک روش تشخیص خطا

Vziman

12/20/2025

۱۷ سوال رایج درباره ترانسفورماتورهای قدرت

۱ چرا هسته ترانسفورماتور باید به زمین متصل شود؟در حالت عادی کارکرد ترانسفورماتورهای قدرت، هسته باید دارای یک اتصال زمین قابل اعتماد باشد. در صورت عدم اتصال به زمین، ولتاژ شناور بین هسته و زمین ایجاد شده و منجر به تخلیه قطع‌قطع جرقه می‌شود. اتصال تک‌نقطه‌ای به زمین از ایجاد پتانسیل شناور در هسته جلوگیری می‌کند. با این حال، در صورت وجود دو یا چند نقطه اتصال به زمین، اختلاف پتانسیل نامساوی بین بخش‌های هسته، جریان‌های گردابی را بین نقاط اتصال به زمین ایجاد می‌کند و باعث ایجاد خطا در گرمایش به دلیل ا

Vziman

12/20/2025