Tõusuaeg: Mida see on? (Valem ja kuidas seda arvutada)

Väli: Põhiline Elekter

China

what is rise time

Mis on tõusuaeg?

Tõusuaeg määratletakse kui aeg, mis kulub signaali liikumiseks määratud madalast väärtusest määratud kõrgesse väärtusse. Analogses ja digitaalses elektronikas on määratud madal väärtus ja määratud kõrge väärtus vastavalt lõpliku või tasakaalu väärtuse 10% ja 90%. Seega määratletakse tõusuaeg tavaliselt nii, et see näitab, kui kaua signaal kulub oma lõpliku väärtuse 10% kuni 90%.

Tõusuaeg on oluline parameeter analoogsetes ja digitaalsetes süsteemides. See kirjeldab aega, mille jooksul väljund tõuseb ühest tasemest teise analoogsüsteemis, mis omab palju reaalmaailmas tegelikke tagajärgi. Tõusuaeg näitab, kui kaua signaal viib kahe kehtiva loogika taseme vahel digitaalses süsteemis.

Reguleerimisteoorias defineeritakse tõusuaeg kui aeg, mille jooksul vastus tõuseb X% kuni Y% oma lõplikust väärtusest. X ja Y väärtused varieeruvad süsteemi tüübile sõltuvalt.

Alladamperdatud teist järku süsteemide tõusuaeg on 0% kuni 100%, kriitiliselt damperdatud süsteemide puhul 5% kuni 95% ja üledamperdatud süsteemide puhul 10% kuni 90%.

Tõusuaega valemid

Ajapiirkonna analüüsi arvutamisel arvestame esimest järku süsteemi ja teist järku süsteemi.

Seega, tõusuaega valemite arvutamiseks arvestame esimest järku ja teist järku süsteeme.

Esimese järku süsteemi tõusuaeg

Esimest järku süsteemi arvestatakse järgmise sulgitud kerega siirdotefunktsiooniga.

$G(s) = \frac{1}{Ts+1} = \frac{b}{s+a}$

Siirtofunktsioonis on T määratud kui aegkonstant. Esimest järku süsteemi ajadomeenide omadused arvutatakse aegkonstandi T suhtes.

Nüüd eeldame, et sulgeline süsteemi viite sisend on ühikastumefunktsioon. See on defineeritud Laplace'i teisenduse kaudu järgmiselt:

$R(s) = \frac{1}{s}$

Seega, väljundsignaal on defineeritud järgmiselt:

$C(s) = G(s) R(s)$

$C(s) = \frac{1}{Ts+1} \times \frac{1}{s}$

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}} \times \frac{1}{s}$

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}$

Lahenda seda võrrandit osaliste murdude abil;

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

Nüüd leidke A1 ja A2 väärtused;

$\frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}} = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}$

$A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s = \frac{1}{T}$

Kui s=0;

$A_1(0+\frac{1}{T}) + A_2 (0) = \frac{1}{T}$

$A_1 \frac{1}{T} = \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

Kui s=-1/T;

$A_1(\frac{-1}{T} + \frac{1}{T}) + A_2 (\frac{-1}{T}) = \frac{1}{T}$

$A_1 (0) - A_2 \frac{1}{T} = \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

Seega,

$C(s) = \frac{1}{s} + \frac{-1}{s+\frac{1}{T}}$

Võttes Laplace'i pöördteisenduse:

$C(t) = L^{-1} \left[ \frac{1}{s} -\frac{1}{s+\frac{1}{T}} \right]$

$C(t) = 1-e^{\frac{-t}{T}}$

Nüüd arvutame tõusuaega 10% ja 90% lõpliku väärtuse vahel.

$C(t_{10}) = 0.10 \quad and \quad C(t_{90}) = 0.90$

$0.10 = 1 - e^{\frac{t_{10}}{T}}$

$e^{\frac{t_{10}}{T}} = 1-0.10$

$e^{\frac{t_{10}}{T}} = 0.9$

$\frac{-t_{10}}{T} = ln(0.9)$

$t_{10} = -T ln(0.9)$

$t_{10} = -T (-0.1053)$

$t_{10} = 0.1053T$

Samamoodi;

$0.90 = 1 - e^{\frac{t_{90}}{T}}$

$e^{\frac{t_{90}}{T}} = 1 - 0.9$

$e^{\frac{t_{90}}{T}} = 0.1$

$\frac{-t_{90}}{T} = ln(0.1)$

$t_{90} = -T (-2.3025)$

$t_{90} = 2.3025T$

Nüüd, tõusuaegale tr;

$t_r = t_{90} - t_{10}$

$t_r = 2.3025T - 0.1053T$

$t_r = 2.197 T$

$t_r \approx 2.2T = \frac{2.2}{a}$

Teisest järku süsteemi tõusuaeg

Teisest järku süsteemis arvutatakse tõusuaeg alamdamatud süsteemi puhul 0% kuni 100%, ülealdatud süsteemi puhul 10% kuni 90% ja kriitiliselt aldatusel süsteemil 5% kuni 95%.

Siin arutame teisest järku süsteemi tõusuaega. Teisest järku süsteemi võrrand on järgmine:

$C(t) = 1-\frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi)$

Tõusuaeg tähistatakse t_r-ga.

$C(t) = C(t_r) = 1$

$1 = 1 - \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi)$

$\frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi) = 0$

$\sin(\omega_d t_r + \phi) = 0$

$\sin(\omega_d t_r + \phi) = \sin(\pi)$

$(\omega_d t_r + \phi) = (\pi)$

$\omega_d t_r = \pi - \phi$

$t_r = \frac{\pi - \phi}{\omega_d}$

Kus,

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$\phi = tan^{-1} (\frac{\sqrt{1-\zeta^2})}{\zeta}$

Seega on lõplik valem tõusuajaks järgmine:

$t_r = \frac{\pi - tan^{-1} (\frac{\sqrt{1-\zeta^2})}{\zeta}}{\omega_n \sqrt{1-\zeta^2} }$

Kuidas arvutada tõusuaja?

Esimese järku süsteem

Näiteks, leidke esimese järku süsteemi tõusuaja. Esimese järku süsteemi ülekandefunktsioon on näidatud allolevas võrrandis.

$G(s) = \frac{5}{s+2}$

Võrdle siirdfunktsiooni standardse siirdfunktsiooniga.

$G(s) = \frac{b}{s+a}$

Nii et; a=2 ja b=5;

Esimene järku süsteemi tõusuaeg on järgmine:

$t_r = \frac{2.2}{a}$

$t_r = \frac{2.2}{2}$

$t_r = 1.1 sec$

Teist järku süsteem

Leidke teist järku süsteemi tõusuaeg, kui selle loomulik sagedus on 5 rad/sec ja dempingukordaja on 0.6.

$\omega_n = 5 rad/sec$

$\zeta = 0.6$

Teise järku süsteemi tõusuaeg on antud valemiga:

$t_r = \frac{\pi - \phi}{\omega_d}$

Nüüd peame leidma väärtused ф ja ωd.

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-\zeta^2}}{\zeta} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-0.6 ^2}}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-0.36}}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{0.8}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} (1.33)$

$\phi = 0.9272 rad$

Nüüd, ωd jaoks,

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$\omega_d = 5 \times 0.8$

$\omega_d = 4 rad/sec$

Sisestage need väärtused tõusuaja võrrandisse;

$t_r = \frac{3.14-0.9272}{4}$

$t_r = \frac{2.2128}{4}$

$t_r = 0.5532 sec$

Miks tõusuaeg on 10% kuni 90%?

Tõusuaega arvutamisel pole kohustuslik, et me peame mõõtma aega 10% kuni 90% vahel.

Kuid enamikul juhtudel arvutatakse tõusuaeg nende väärtuste vahel.

Me kasutame neid väärtusi, sest signaalidel võivad olla väga erinevad lainekujud nende lõplike väärtuste esimeses ja viimasel osal.

Näiteks vaadake allolevat lülitumismustrit:

See on oli mõnda aega umbes nulli väärtuses, enne kui see tõusis ja jõudis oma lõpliku väärtuseni.

Ei ole sobiv "tõusuaja" arvutamine hetkest, mil väärtus oli null, sest see ei ole esindav signaali tõusuks kulunud aja kohta selle vahemikuna (ilmselt toimus mingi käivitamistundlik alguses Tr).

Lõpus kasutame 90% asemel 100%, sest sageli signaalid ei jõua oma lõpliku väärtuseni.

Sarnaselt logaritmgraafika nägemisele, see ei jõua kunagi täpselt 100%-ni, graafiku joone tõus väheneb ajas.

Nii et kokkuvõttes: lülitustehnikad erinevad lülitumismustrites alguses ja lõpus.

Kuid nende perioodide vahel, kõik seadmed jagavad sarnast tõusu musterit. Ja 10% kuni 90% selle ülemineku mõõtmist tavaliselt annab õiget esitust tõusuajale laia valikutehnikade hulgas.

Seega, enamikus tingimustes arvutame tõusuaja 10% kuni 90% vahel.

Tõusuaja vs Laskuaja

Laskuaeg defineeritakse kui aeg, mida signaal kulutab langemisel (vähendamisel) ühest määratud väärtusest (X) teise määratud väärtuseni (Y).

rise time vs fall time

Tõusuaja vs Laskuaja

Nii et mingi mõttes võib laskuaega pidada tõusuaja vastandina, kuidas seda arvutatakse.

On kuidagi oluline rõhutada, et langedaaeg ei pruugi olla vajalikult võrdne tõusuaegadega.

Kui sul on sümmeetriline lain (nt siinuslain), siis tõusu- ja langedaaeg on sõltumatud.

Ei ole üldistatud seost tõusu- ja langedaega vahel. Mõlemad suurused mängivad olulist rolli signaalide analüüsil juhtimissüsteemides ja digitaalses elektronikas.

Tõusaeg ja laiendus

Praktiliselt signaali mõõtmiseks kasutame oskilloskoopit. Kui me teame signaali tõusuaega, saame leida signaali laienduse testimiseks.

See aitab valida oskilloskoobi, mille laiendus on suurem või võrdne. See tagab täpse näitamise oskilloskoopis.

Kui me teame signaali tõusuaega, saame arvutada, kui palju oskilloskoop signaali aeglustab ja lisab sellele tõusuaega.

Laienduse (BW) ja tõusuaega (tr) vaheline seos väljendub järgmise valemiga.

$BW \approx \frac{0.35}{t_r}$

Ülaltoodud valem eeldab, et tõusuaeg mõõdetakse 10% kuni 90% lõpliku väärtuse vahel.

Laienduse mugavad ühikud on MHz või GHz ja tõusuaega μs või ns.

Kui oskilloskoobi sisendsüsteemidel on lihtne sagedusspetsifikatsioon, siis nimetaja 0.35 annab täpse tulemuse.

Aga paljud oskilloskoobid omavad kiiremat langust, et anda tasapinnasema sagedusspetsifikatsiooni läbilaskealas. Sellisel korral tõuseb nimetaja 0.45 või rohkemale.

Näiteks, kui ruutlaine on näidatud oskilloskoopil, selle tõusuaeg 10-90% on 1ns. Mis on oskilloskoopi ligikaudne laiusspektris?

Kui need numbrid asendatakse ülalmainitud valemisse,

$BW = \frac{3.5}{10^{-9}} = 3.5 \times 10^{-9} = 350MHz$

Deklaratsioon: Austa originaali, heade artiklite väärtus on jagamises, kui on rakendatud autoriõiguse rikkumine, siis palun teavitage, et kustutataks.

Anna vihje ja julgesta autorit!

Teemad:

Elektrisüsteemid

Juhtimissüsteemid

Ekspertide kohta

Electrical4u

China

Eraldusvaldkond

Basic Electrical

Professionaalne artikkel

607