상승 시간: 무엇인가? (식 및 계산 방법)

필드: 기본 전기학

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상승 시간이란 무엇인가

상승 시간이란?

상승 시간은 신호가 지정된 낮은 값에서 지정된 높은 값으로 이동하는 데 걸리는 시간으로 정의됩니다. 아날로그 및 디지털 전자 기술에서 지정된 낮은 값과 지정된 높은 값은 최종 또는 안정 상태 값의 10%와 90%입니다. 따라서 상승 시간은 일반적으로 신호가 그 최종 값의 10%에서 90%까지 도달하는 데 얼마나 걸리는지를 나타냅니다.

상승 시간은 아날로그 및 디지털 시스템에서 중요한 매개변수입니다. 아날로그 시스템에서는 출력이 한 수준에서 다른 수준으로 상승하는 데 걸리는 시간을 설명하며, 이는 많은 실제 적용 사례를 가지고 있습니다. 디지털 시스템에서는 상승 시간이 두 유효한 논리 수준 사이의 중간 상태에서 신호가 얼마나 오래 머무는지를 알려줍니다.

제어 이론에서 상승 시간은 응답이 최종 값의 X%에서 Y%로 상승하는 데 걸리는 시간으로 정의됩니다. X와 Y의 값은 시스템의 유형에 따라 다릅니다.

과감쇠 2차 시스템의 상승 시간은 0%에서 100%, 임계 감쇠 시스템은 5%에서 95%, 과감쇠 시스템은 10%에서 90%입니다.

상승 시간 공식

시간 영역 분석에서 계산을 위해 1차 시스템과 2차 시스템을 고려합니다.

따라서 상승 시간을 계산하기 위한 공식을 구하려면 1차 시스템과 2차 시스템을 고려해야 합니다.

1차 시스템의 상승 시간

다음 폐루프 전달 함수를 통해 1차 시스템을 고려합니다.

$G(s) = \frac{1}{Ts+1} = \frac{b}{s+a}$

전달 함수에서 T는 시간 상수로 정의됩니다. 일차 시스템의 시간 영역 특성은 시간 상수 T에 대한 계산으로 이루어집니다.

이제 폐루프 시스템의 참조 입력이 단위 계단 함수라고 가정해봅시다. 이를 라플라스 변환으로 정의하면 다음과 같습니다.

$R(s) = \frac{1}{s}$

따라서 출력 신호는 다음과 같이 정의됩니다.

$C(s) = G(s) R(s)$

$C(s) = \frac{1}{Ts+1} \times \frac{1}{s}$

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}} \times \frac{1}{s}$

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}$

부분 분수를 사용하여 이 방정식을 풉니다.

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

이제 A₁과 A₂의 값을 찾아봅시다.

$\frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}} = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}$

$A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s = \frac{1}{T}$

s=0일 때;

$A_1(0+\frac{1}{T}) + A_2 (0) = \frac{1}{T}$

$A_1 \frac{1}{T} = \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

s=-1/T일 때;

$A_1(\frac{-1}{T} + \frac{1}{T}) + A_2 (\frac{-1}{T}) = \frac{1}{T}$

$A_1 (0) - A_2 \frac{1}{T} = \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

따라서,

$C(s) = \frac{1}{s} + \frac{-1}{s+\frac{1}{T}}$

라플라스 역변환을 취하면;

$C(t) = L^{-1} \left[ \frac{1}{s} -\frac{1}{s+\frac{1}{T}} \right]$

$C(t) = 1-e^{\frac{-t}{T}}$

이제, 최종값의 10%와 90% 사이의 상승 시간을 계산합니다.

$C(t_{10}) = 0.10 \quad and \quad C(t_{90}) = 0.90$

$0.10 = 1 - e^{\frac{t_{10}}{T}}$

$e^{\frac{t_{10}}{T}} = 1-0.10$

$e^{\frac{t_{10}}{T}} = 0.9$

$\frac{-t_{10}}{T} = ln(0.9)$

$t_{10} = -T ln(0.9)$

$t_{10} = -T (-0.1053)$

$t_{10} = 0.1053T$

비슷하게;

$0.90 = 1 - e^{\frac{t_{90}}{T}}$

$e^{\frac{t_{90}}{T}} = 1 - 0.9$

$e^{\frac{t_{90}}{T}} = 0.1$

$\frac{-t_{90}}{T} = ln(0.1)$

$t_{90} = -T (-2.3025)$

$t_{90} = 2.3025T$

이제 상승 시간 tr에 대해;

$t_r = t_{90} - t_{10}$

$t_r = 2.3025T - 0.1053T$

$t_r = 2.197 T$

$t_r \approx 2.2T = \frac{2.2}{a}$

두 번째 차수 시스템의 상승 시간

두 번째 차수 시스템에서 상승 시간은 과도한 감쇠 시스템의 경우 0%에서 100%로, 과감쇠 시스템의 경우 10%에서 90%로, 임계 감쇠 시스템의 경우 5%에서 95%로 계산됩니다.

여기서 우리는 두 번째 차수 시스템의 상승 시간 계산에 대해 논의할 것입니다. 그리고 두 번째 차수 시스템의 방정식은 다음과 같습니다.

$C(t) = 1-\frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi)$

상승 시간은 t_r으로 표시됩니다.

$C(t) = C(t_r) = 1$

$1 = 1 - \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi)$

$\frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi) = 0$

$\sin(\omega_d t_r + \phi) = 0$

$\sin(\omega_d t_r + \phi) = \sin(\pi)$

$(\omega_d t_r + \phi) = (\pi)$

$\omega_d t_r = \pi - \phi$

$t_r = \frac{\pi - \phi}{\omega_d}$

여기서,

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$\phi = tan^{-1} (\frac{\sqrt{1-\zeta^2})}{\zeta}$

따라서 상승 시간의 최종 공식은 다음과 같습니다.

$t_r = \frac{\pi - tan^{-1} (\frac{\sqrt{1-\zeta^2})}{\zeta}}{\omega_n \sqrt{1-\zeta^2} }$

상승 시간 계산 방법

1차 시스템

예를 들어 1차 시스템의 상승 시간을 찾습니다. 1차 시스템의 전달 함수는 아래의 식에 표시되어 있습니다.

$G(s) = \frac{5}{s+2}$

전달 함수를 표준 전달 함수 형태와 비교하세요.

$G(s) = \frac{b}{s+a}$

따라서; a=2이고 b=5입니다.

1차 시스템의 상승 시간 방정식은 다음과 같습니다.

$t_r = \frac{2.2}{a}$

$t_r = \frac{2.2}{2}$

$t_r = 1.1 sec$

2차 시스템

자연 주파수가 5 rad/sec이고 감쇠 비율이 0.6인 2차 시스템의 상승 시간을 구하십시오.

$\omega_n = 5 rad/sec$

$\zeta = 0.6$

두 번째 차수 시스템의 상승 시간 방정식은 다음과 같습니다.

$t_r = \frac{\pi - \phi}{\omega_d}$

이제, ф와 ωd의 값을 찾아야 합니다.

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-\zeta^2}}{\zeta} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-0.6 ^2}}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-0.36}}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{0.8}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} (1.33)$

$\phi = 0.9272 rad$

이제, ωd에 대해,

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$\omega_d = 5 \times 0.8$

$\omega_d = 4 rad/sec$

이 값을 상승 시간의 방정식에 대입합니다.

$t_r = \frac{3.14-0.9272}{4}$

$t_r = \frac{2.2128}{4}$

$t_r = 0.5532 sec$

왜 상승 시간이 10%에서 90%까지인가?

상승 시간을 계산할 때 반드시 10%부터 90%까지의 시간을 측정해야 하는 것은 아닙니다.

하지만 대부분의 경우 이러한 값들 사이에서 상승 시간이 계산됩니다.

우리는 이러한 값을 사용하는 이유는 신호가 그들의 최종 값의 가장 처음과 마지막 부분에서 매우 다른 파형을 가질 수 있기 때문입니다.

예를 들어, 다음 스위칭 패턴을 살펴보세요:

이 값은 일정 시간 동안 거의 0에 가까웠다가 상승하여 최종 값을 도달했습니다.

값이 0일 때부터 "상승 시간"을 계산하는 것은 적절하지 않습니다. 이는 신호가 중간 상태에서 상승하는데 걸리는 시간을 대표하지 않기 때문입니다 (분명히 Tr의 시작 시점에서 어떤 트리거가 발생한 것으로 보입니다).

신호가 종종 최종 값에 도달하지 않기 때문에, 마지막 단계에서는 100% 대신 90%를 사용합니다.

로그 그래프와 유사하게, 그래프의 기울기가 시간이 지남에 따라 감소하면서 100%에 도달하지 않습니다.

요약하자면: 스위칭 장치는 시작 단계와 종료 단계에서 다른 스위칭 패턴을 가집니다.

그러나 이러한 단계 사이의 전환 과정에서는 모든 장치가 유사한 상승 패턴을 나타냅니다. 그리고 이 전환 과정의 10%부터 90%까지를 측정하면 다양한 장치에 걸쳐 공정한 상승 시간을 나타낼 수 있습니다.

따라서 대부분의 경우, 우리는 10%와 90% 사이의 상승 시간을 계산합니다.

상승 시간 대비 하강 시간

하강 시간은 신호가 특정 값(X)에서 다른 특정 값(Y)으로 감소하는 데 걸리는 시간으로 정의됩니다.

대부분의 경우, 상위 특정 값(X)은 피크 값의 90%이고, 하위 특정 값은 피크 값의 10%입니다. 하강 시간을 설명하는 다이어그램은 아래에 표시되어 있습니다.

하강 시간은 상승 시간과 반대되는 개념으로, 계산 방법이 유사합니다.

하지만 하강 시간이 상승 시간과 반드시 같다는 것은 강조할 필요가 없습니다.

대칭적인 파형(예: 사인파)이 아닌 한, 상승 시간과 하강 시간은 독립적입니다.

상승 시간과 하강 시간 사이에는 일반화된 관계가 없습니다. 두 값 모두 제어 시스템과 디지털 전자 기기에서 신호 분석에 중요한 역할을 합니다.

상승 시간과 대역폭

실제로 신호를 측정하기 위해 오실로스코프를 사용합니다. 신호의 상승 시간을 알고 있다면 테스트를 위한 신호의 대역폭을 찾을 수 있습니다.

이는 더 큰 또는 같은 대역폭을 가진 오실로스코프를 선택하는 데 도움이 되며, 오실로스코프에서 정확한 표시 결과를 제공합니다.

신호의 상승 시간을 알면 오실로스코프가 신호를 얼마나 느리게 만들고 그 상승 시간에 얼마나 추가되는지를 알 수 있습니다.

대역폭(BW)과 상승 시간(tr) 간의 관계는 아래의 공식으로 표현됩니다.

$BW \approx \frac{0.35}{t_r}$

위의 공식은 상승 시간이 최종 값의 10%에서 90% 범위에서 측정되었다고 가정합니다.

대역폭의 편리한 단위는 MHz 또는 GHz이고, 상승 시간은 μs 또는 ns입니다.

오실로스코프의 입력 증폭기가 단순한 주파수 응답을 가지면, 분모 0.35는 정확한 결과를 제공합니다.

그러나 많은 오실로스코프는 통과 대역에서 더 평평한 주파수 응답을 제공하기 위해 더 빠른 롤오프를 가지고 있습니다. 이 경우, 분모는 0.45 이상으로 증가합니다.

예를 들어, 오실로스코프에 사각파가 표시될 때 상승 시간이 1ns인 경우, 오실로스코프의 대역폭은 대략적으로 얼마일까요?

위 공식에 이 숫자들을 대입하면,

$BW = \frac{3.5}{10^{-9}} = 3.5 \times 10^{-9} = 350MHz$

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