Doba stoupání: Co to je? (Rovnice a jak ji vypočítat)

Pole: Základní elektrotechnika

China

co je rise time

Co je rise time?

Rise time se definuje jako doba, která je potřebná pro signál, aby překonal určenou nízkou hodnotu a dosáhl určené vysoké hodnoty. V analogové a digitální elektronice jsou tato určená nižší a vyšší hodnota 10 % a 90 % konečné nebo stacionární hodnoty. Tedy rise time je obvykle definován jako doba, po kterou trvá, než signál přejde z 10 % na 90 % své konečné hodnoty.

Rise time je klíčový parametr v analogových a digitálních systémech. Popisuje dobu, po kterou trvá, než výstup v analogovém systému stoupne z jedné úrovně na druhou, což má mnoho praktických implikací. Rise time nám říká, jak dlouho signál stráví v mezistavu mezi dvěma platnými logickými úrovněmi v digitálním systému.

V teorii řízení se rise time definuje jako doba, po kterou trvá, než odpověď stoupne od X % na Y % své konečné hodnoty. Hodnoty X a Y se liší podle typu systému.

Rise time pro podkriticky tlumené systémy druhého řádu je 0 % až 100 %, pro kriticky tlumené systémy 5 % až 95 % a pro nadkriticky tlumené systémy 10 % až 90 %.

Rovnice pro rise time

Pro výpočet v časové doméně bereme v úvahu systémy prvního a druhého řádu.

Tedy pro výpočet vzorce pro rise time bereme v úvahu systémy prvního a druhého řádu.

Rise time pro systém prvního řádu

Systém prvního řádu se uvažuje pomocí následující uzavřené přenosové funkce.

$G(s) = \frac{1}{Ts+1} = \frac{b}{s+a}$

V přenosové funkci je T definováno jako časová konstanta. Časové charakteristiky prvního řádu jsou vypočítány v termínech časové konstanty T.

Nyní předpokládejme, že referenční vstup uzavřené smyčky je jednotková skoková funkce. A je definován v termínech Laplaceovy transformace jako:

$R(s) = \frac{1}{s}$

Tedy výstupní signál bude definován jako:

$C(s) = G(s) R(s)$

$C(s) = \frac{1}{Ts+1} \times \frac{1}{s}$

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}} \times \frac{1}{s}$

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}$

Vyřešte tuto rovnici pomocí parciálních zlomků;

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

Nyní najděte hodnoty A1 a A2;

$\frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}} = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}$

$A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s = \frac{1}{T}$

Pro s=0;

$A_1(0+\frac{1}{T}) + A_2 (0) = \frac{1}{T}$

$A_1 \frac{1}{T} = \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

Pro s=-1/T;

$A_1(\frac{-1}{T} + \frac{1}{T}) + A_2 (\frac{-1}{T}) = \frac{1}{T}$

$A_1 (0) - A_2 \frac{1}{T} = \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

Proto

$C(s) = \frac{1}{s} + \frac{-1}{s+\frac{1}{T}}$

Vzít inverzní Laplaceovu transformaci;

$C(t) = L^{-1} \left[ \frac{1}{s} -\frac{1}{s+\frac{1}{T}} \right]$

$C(t) = 1-e^{\frac{-t}{T}}$

Nyní vypočítáme čas stoupání mezi 10% a 90% konečné hodnoty.

$C(t_{10}) = 0.10 \quad and \quad C(t_{90}) = 0.90$

$0.10 = 1 - e^{\frac{t_{10}}{T}}$

$e^{\frac{t_{10}}{T}} = 1-0.10$

$e^{\frac{t_{10}}{T}} = 0.9$

$\frac{-t_{10}}{T} = ln(0.9)$

$t_{10} = -T ln(0.9)$

$t_{10} = -T (-0.1053)$

$t_{10} = 0.1053T$

Podobně;

$0.90 = 1 - e^{\frac{t_{90}}{T}}$

$e^{\frac{t_{90}}{T}} = 1 - 0.9$

$e^{\frac{t_{90}}{T}} = 0.1$

$\frac{-t_{90}}{T} = ln(0.1)$

$t_{90} = -T (-2.3025)$

$t_{90} = 2.3025T$

Nyní pro čas stoupání tr;

$t_r = t_{90} - t_{10}$

$t_r = 2.3025T - 0.1053T$

$t_r = 2.197 T$

$t_r \approx 2.2T = \frac{2.2}{a}$

Doba vzestupu systému druhého řádu

V systému druhého řádu se doba vzestupu počítá od 0 % do 100 % pro podkriticky tlumený systém, od 10 % do 90 % pro přetlumený systém a od 5 % do 95 % pro kriticky tlumený systém.

Zde diskutujeme o výpočtu doby vzestupu pro systém druhého řádu. A rovnice pro systém druhého řádu je:

$C(t) = 1-\frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi)$

Doba vzestupu je označena jako tr.

$C(t) = C(t_r) = 1$

$1 = 1 - \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi)$

$\frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi) = 0$

$sin(\omega_d t_r + \phi) = 0$

$sin(\omega_d t_r + \phi) = sin(\pi)$

$(\omega_d t_r + \phi) = (\pi)$

$\omega_d t_r = \pi - \phi$

$t_r = \frac{\pi - \phi}{\omega_d}$

Kde,

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$\phi = tan^{-1} (\frac{\sqrt{1-\zeta^2})}{\zeta}$

Proto je konečný vzorec pro dobu stoupání;

$t_r = \frac{\pi - tan^{-1} (\frac{\sqrt{1-\zeta^2})}{\zeta}}{\omega_n \sqrt{1-\zeta^2} }$

Jak vypočítat dobu stoupání?

Systém prvního řádu

Například, najděte dobu stoupání systému prvního řádu. Přenosová funkce systému prvního řádu je uvedena v následujícím rovnici.

$G(s) = \frac{5}{s+2}$

Porovnejte přenosovou funkci se standardní formou přenosové funkce.

$G(s) = \frac{b}{s+a}$

Tedy; a=2 a b=5;

Rovnice pro dobu stoupání prvního řádu je;

$t_r = \frac{2.2}{a}$

$t_r = \frac{2.2}{2}$

$t_r = 1.1 sec$

Soustava druhého řádu

Určete dobu stoupání soustavy druhého řádu s přirozenou frekvencí 5 rad/s a tlumením 0,6.

$\omega_n = 5 rad/sec$

$\zeta = 0.6$

Rovnice pro dobu vzestupu pro systém druhého řádu je:

$t_r = \frac{\pi - \phi}{\omega_d}$

Nyní potřebujeme najít hodnoty φ a ωd.

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-\zeta^2}}{\zeta} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-0.6 ^2}}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-0.36}}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{0.8}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} (1.33)$

$\phi = 0.9272 rad$

Nyní pro ωd,

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$\omega_d = 5 \times 0.8$

$\omega_d = 4 rad/sec$

Tyto hodnoty dosaďte do rovnice pro čas stoupání;

$t_r = \frac{3.14-0.9272}{4}$

$t_r = \frac{2.2128}{4}$

$t_r = 0.5532 sec$

Proč je čas stoupání 10% až 90%?

Pro výpočet času stoupání není nutné měřit čas mezi 10% a 90%.

Většinou se však čas stoupání počítá mezi těmito hodnotami.

Tyto hodnoty používáme, protože signály mohou mít velmi odlišné tvary v prvních a posledních částech svých konečných hodnot.

Například u následujícího přepínacího vzoru:

Tato hodnota byla po nějakou dobu přibližně nulová, než se začala zvyšovat a dosáhla své konečné hodnoty.

Nebýt vhodné spočítat „čas stoupání“ od okamžiku, kdy byla hodnota nulová, protože toto by nebylo reprezentativní pro čas, který trvá, než signál stoupne během tohoto mezipřechodového stavu (zjevně došlo k nějakému spouštěcímu události na začátku Tr).

Na konci používáme 90 % místo 100 %, protože často signály nikdy nedosahují své konečné hodnoty.

Podobně jako vypadá logaritmický graf, nikdy nedosáhne 100 %, s gradientem grafu, který se s časem snižuje.

Abychom to shrnuli: přepínací prvky mají různé přepínací vzory na počátečních a koncových stádiích.

Ale během přechodu mezi těmito stádii mají všechny prvky podobný vzor stoupání. A měření 10 % až 90 % tohoto přechodu obvykle dává spravedlivý obraz času stoupání u široké škály prvků.

Proto ve většině případů počítáme čas stoupání mezi 10 % a 90 %.

Čas stoupání vs. čas klesání

Čas klesání je definován jako čas, během kterého signál klesá (sníží) ze specifikované hodnoty (X) na jinou specifikovanou hodnotu (Y).

Většinou je horní specifikovaná hodnota (X) 90 % vrcholové hodnoty a dolní specifikovaná hodnota 10 % vrcholové hodnoty. Níže je znázorněn diagram ilustrující čas klesání.

rise time vs fall time — Čas stoupání vs. čas klesání

Ve smyslu, jak se počítá, lze považovat čas klesání za inverzi času stoupání.

Je však důležité zdůraznit, že doba klesání není nutně rovna době stoupání.

Pokud nemáte symetrický průběh (jako sinusovou vlnu), jsou doba stoupání a doba klesání nezávislé.

A neexistuje žádný zobecněný vztah mezi dobou stoupání a dobou klesání. Oba parametry hrají klíčovou roli při analýze signálů v řídicích systémech a digitální elektronice.

Doba stoupání a pásma propusti

Pro praktický měření signálu používáme osciloskop. Pokud známe dobu stoupání signálu, můžeme najít jeho pásma propusti pro testování.

To nám pomůže vybrat osciloskop s větším nebo stejným pásmem propusti. A to poskytne přesné zobrazení výsledků na osciloskopu.

Pokud známe dobu stoupání signálu, můžeme zjistit, jak moc osciloskop zpomalí signál a přidá k jeho době stoupání.

Vztah mezi pásmem propusti (BW) a dobou stoupání (tr) je vyjádřen následujícím vzorcem.

$BW \approx \frac{0.35}{t_r}$

Výše uvedený vzorec předpokládá, že doba stoupání je měřena v rozsahu 10% až 90% konečné hodnoty.

Pohodlné jednotky pro pásmo propusti jsou MHz nebo GHz a pro dobu stoupání μs nebo ns.

Pokud mají vstupní zesilovače osciloskopu jednoduchou frekvenční charakteristiku, čitatel 0,35 dává přesný výsledek.

Mnoho osciloskopů však má rychlejší klesání, aby poskytlo plošší frekvenční charakteristiku v propustném pásmu. V této podmínce se čitatel zvýší na 0,45 nebo více.

Například, když je na osciloskopu zobrazen čtvercový signál, má vystupňovací dobu 10-90% 1 ns. Jaká bude přibližná pásma osciloskopu?

Dosazením těchto čísel do výše uvedeného vzorce,

$BW = \frac{3.5}{10^{-9}} = 3.5 \times 10^{-9} = 350MHz$