Tempus Ascensionis: Quid est? (Aequatio Et Modus Calculandi)

Campus: Electrica Elementaria

China

quid est tempus ascensionis

Quid est Tempus Ascensionis

Tempus ascensionis definitur ut tempus quod adsumitur signo ut transeat a valore specificato inferiori ad valorem specificatum superiorem. In electronica analogica et digitali, valor specificatus inferior et valor specificatus superior sunt decima pars et nona decima pars valoris finalis vel aequilibrii. Itaque tempus ascensionis saepe definitur ut quantitas temporis qua signum transit a decima parte ad nonam decimam partem valoris sui finalis.

Tempus ascensionis est parameter essentialis in systematis analogicis et digitalibus. Describit tempus quod adsumitur ut exitus ascendat ab uno gradu ad alterum in systemate analogico, quod habet multas implicationes in mundo reali. Tempus ascensionis nobis indicat quantum temporis signum in statu intermedio inter duos gradus logicos validos in systemate digitali consumit.

In theoria controlis, tempus ascensionis definitur ut tempus quod adsumitur ut responsus ascendat ab X% ad Y% valoris sui finalis. Valores X et Y variare possunt secundum genus systematis.

Tempus ascensionis pro systematibus secundi ordinis subdampnatis est 0% ad 100%, pro systematibus criticiter dampnatis est 5% ad 95%, et pro systematibus superdampnatis est 10% ad 90%.

Equatio Temporis Ascensionis

Pro calculo in analysi temporali, consideramus systema primi ordinis et systema secundi ordinis.

Itaque, ut formulam pro tempore ascensionis calculemus, consideramus systemata primi et secundi ordinis.

Tempus Ascensionis Systematis Primae Ordinis

Systema primae ordinis consideratur per functionem transferendi clausam sequentem.

$G(s) = \frac{1}{Ts+1} = \frac{b}{s+a}$

In functione transferendi, T definitur ut constans temporis. Caracteristica in dominio temporis systematis primi ordinis calculatur in terminis constantis temporis T.

Nunc, assumamus quod input referens systematis clausi circuitus sit functio gradus unitatis. Et est definita in terminis transformationis Laplace ut;

$R(s) = \frac{1}{s}$

Itaque, signalis output definietur ut;

$C(s) = G(s) R(s)$

$C(s) = \frac{1}{Ts+1} \times \frac{1}{s}$

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}} \times \frac{1}{s}$

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}$

Solve this equation using partial fraction;

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

Nunc, inveni valores A1 et A2;

$\frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}} = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}$

$A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s = \frac{1}{T}$

Pro s=0;

$A_1(0+\frac{1}{T}) + A_2 (0) = \frac{1}{T}$

$A_1 \frac{1}{T} = \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

Pro s=-1/T;

$A_1(\frac{-1}{T} + \frac{1}{T}) + A_2 (\frac{-1}{T}) = \frac{1}{T}$

$A_1 (0) - A_2 \frac{1}{T} = \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

Itaque,

$C(s) = \frac{1}{s} + \frac{-1}{s+\frac{1}{T}}$

Accipiens inversum Laplace;

$C(t) = L^{-1} \left[ \frac{1}{s} -\frac{1}{s+\frac{1}{T}} \right]$

$C(t) = 1-e^{\frac{-t}{T}}$

Nunc, tempus ascensionis inter decem et nonaginta per centum valoris finalis computamus.

$C(t_{10}) = 0.10 \quad and \quad C(t_{90}) = 0.90$

$0.10 = 1 - e^{\frac{t_{10}}{T}}$

$e^{\frac{t_{10}}{T}} = 1-0.10$

$e^{\frac{t_{10}}{T}} = 0.9$

$\frac{-t_{10}}{T} = ln(0.9)$

$t_{10} = -T ln(0.9)$

$t_{10} = -T (-0.1053)$

$t_{10} = 0.1053T$

Similiter;

$0.90 = 1 - e^{\frac{t_{90}}{T}}$

$e^{\frac{t_{90}}{T}} = 1 - 0.9$

$e^{\frac{t_{90}}{T}} = 0.1$

$\frac{-t_{90}}{T} = ln(0.1)$

$t_{90} = -T (-2.3025)$

$t_{90} = 2.3025T$

Nunc, pro tempore ascensionis tr;

$t_r = t_{90} - t_{10}$

$t_r = 2.3025T - 0.1053T$

$t_r = 2.197 T$

$t_r \approx 2.2T = \frac{2.2}{a}$

Tempus ascensionis systematis secundi ordinis

In systemate secundi ordinis, tempus ascensionis calculatur ab 0% ad 100% pro systemate subdampnato, ab 10% ad 90% pro systemate superdampnato, et ab 5% ad 95% pro systemate criticum dampnatum.

Hic, de calculo temporis ascensionis pro systemate secundi ordinis loquemur. Et aequatio pro systemate secundi ordinis est;

$C(t) = 1-\frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi)$

Tempus ascensionis denotatur per tr.

$C(t) = C(t_r) = 1$

$1 = 1 - \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi)$

$\frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi) = 0$

$\sin(\omega_d t_r + \phi) = 0$

$\sin(\omega_d t_r + \phi) = \sin(\pi)$

$(\omega_d t_r + \phi) = (\pi)$

$\omega_d t_r = \pi - \phi$

$t_r = \frac{\pi - \phi}{\omega_d}$

Ubi,

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$\phi = tan^{-1} (\frac{\sqrt{1-\zeta^2})}{\zeta}$

Itaque, formula finalis temporis ascensionis est;

$t_r = \frac{\pi - tan^{-1} (\frac{\sqrt{1-\zeta^2})}{\zeta}}{\omega_n \sqrt{1-\zeta^2} }$

Quomodo Tempus Ascensionis Calculatur?

Systema Primi Ordinis

Exempli gratia, tempus ascensionis systematis primi ordinis inveniendum est. Functio transferendi systematis primi ordinis in aequatione subiecta demonstratur.

$G(s) = \frac{5}{s+2}$

Compara functio transferendi cum forma standardi functionis transferendi.

$G(s) = \frac{b}{s+a}$

Itaque; a=2 et b=5;

Aequatio temporis ascensionis pro systemate primae ordinis est;

$t_r = \frac{2.2}{a}$

$t_r = \frac{2.2}{2}$

$t_r = 1.1 sec$

Systema Secundi Ordinis

Inveni tempus ascensionis systematis secundi ordinis cum frequentia naturali quinque rad/sec et ratio amortizandi sex decimae.

$\omega_n = 5 rad/sec$

$\zeta = 0.6$

Aequatio temporis ascensionis pro systemate secundi ordinis est;

$t_r = \frac{\pi - \phi}{\omega_d}$

Nunc, oportet valorem φ et ωd invenire.

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-\zeta^2}}{\zeta} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-0.6 ^2}}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-0.36}}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{0.8}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} (1.33)$

$\phi = 0.9272 rad$

Nunc, pro ωd,

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$\omega_d = 5 \times 0.8$

$\omega_d = 4 rad/sec$

Collocamus hos valores in aequatione temporis ascensionis

$t_r = \frac{3.14-0.9272}{4}$

$t_r = \frac{2.2128}{4}$

$t_r = 0.5532 sec$

Cur tempus ascendendi est 10% ad 90%?

Ad calculandum tempus ascendendi non est necessarium ut mensuremus tempus inter 10% et 90%.

Sed in plerisque casibus, tempus ascendendi computatur inter hos valores.

Hos valores utimur quia signa fortasse habeant formas undarum valde diversas in primis et novissimis partibus valorum finalium suorum.

Exempli gratia, accipe modum commutationis infra:

Hoc fuit ad valorem fere nullem aliquamdiu antequam crescendo attingeret suum finalem valorem.

Non esset conveniens calculare “tempus ascensionis” ex tempore quo valorem habuit nullum, quia hoc non repraesentaret tempus sumptum pro signali ut ascendat in hoc statu intermedio (manifeste fuit aliquid quod incepit initio Tr).

In parte finali, usamus 90% potius quam 100%, quia saepe signala numquam attingunt suum finalem valorem.

Similiter sicut graphus logarithmicus videtur, numquam penitus attinget 100%, cum gradient graphi decrescat per tempus.

Itaque ut summarizemus: dispositiva commutativa habent diversa commutativa schemata in partibus initiali et finali.

Sed in transitione inter has partes, omnia dispositiva habent similem modum ascensionis. Et mensurando 10% ad 90% huius transitionis, solet dare justam repraesentationem temporis ascensionis in lato gradu dispositivorum.

Unde, in plerisque conditionibus, calculamus tempus ascensionis inter 10% et 90%.

Tempus Ascensionis versus Tempus Descensionis

Tempus descensionis definitur ut tempus sumptum ab signalo ut descendat (decreascat) ab uno specifito valore (X) ad alterum specifitum valorem (Y).

In plerisque casibus, superior specifitus valor (X) est 90% valorem culminis, et inferior specifitus valor est 10% valorem culminis. Diagramma illustrans tempus descensionis monstratur infra.

rise time vs fall time — Tempus Ascensionis versus Tempus Descensionis

Itaque in quodam modo tempus descensionis potest considerari inversum temporis ascensionis, in terminis eiusmodi calculationis.

Sed tamen est importante sublinere quod tempus descensus non necessario aequale sit tempori ascensus.

Nisi sinusoidalem undam habeas (sicut undam sinalem), tempus ascensus et tempus descensus independentia sunt.

Et nulla relatio generalis inter tempus ascensus et tempus descensus invenitur. Ambae quantitates vitalem partem ludunt in analysi signorum in systematis controlis et electronica digitali.

Tempus Ascensus et Largitudo Bandae

Ut signum practicaliter mensuremus, oscilloscopium utimur. Si scimus tempus ascensus signi, largitudinem bandae pro testibus invenire possumus.

Hoc adiuvabit nos ad oscilloscopium cum maior vel aequali largitudine bandae eligendum. Et hoc accurata resultata ostendendi in oscilloscopio dabit.

Si scimus tempus ascensus signi, invenire possumus quantum oscilloscopium signum retardabit et ad eius tempus ascensus addet.

Relatio inter largitudinem bandae (BW) et tempus ascensus (tr) per formulam infra expressa est.

$BW \approx \frac{0.35}{t_r}$

Supra positae formulae assumptio est quod tempus ascensus in range 10% ad 90% valoris finalis metitur.

Convenientes unitates largitudinis bandae sunt MHz vel GHz, et pro tempore ascensus μs vel ns.

Si amplificatores input oscilloscopii simplicem responsionem frequentiae habent, numerus 0.35 resultatum accuratum dat.

Sed multi oscilloscopii celeriorem roll-off habent ut frequentiori response planiore in passband detur. In hac conditione, numerus ad 0.45 vel plus auctus est.

Exempli gratia, cum unda quadrata ostenditur in oscillographo, habet tempus ascensionis 10-90% de 1ns. Quod erit latitudo bandae approximativa oscillographi?

Substituendo hos numeros in formula supra,

$BW = \frac{3.5}{10^{-9}} = 3.5 \times 10^{-9} = 350MHz$