రైజ్ టైమ్: ఇది ఏం? (సమీకరణం మరియు దానిని ఎలా లెక్కించాలో)

ఫీల్డ్: ప్రాథమిక విద్యుత్‌కళా శాస్త్రం

China

శీర్షకాల సమయం ఏంటి

శీర్షకాల సమయం ఏంటి?

శీర్షకాల సమయం ఒక సిగ్నల్‌కు నిర్దిష్ట తక్కువ విలువ నుండి నిర్దిష్ట ఎక్కడి విలువ వరకు ప్రయాణించడానికి అవసరమైన సమయంగా నిర్వచించబడుతుంది. ఆనలాగ్ మరియు డిజిటల్ ఇలక్ట్రానిక్స్‌లో, నిర్దిష్ట తక్కువ విలువ మరియు నిర్దిష్ట ఎక్కడి విలువ అంతమైన లేదా స్థిరావస్థా విలువకు 10% మరియు 90% ఉంటాయ. కాబట్టి శీర్షకాల సమయం సాధారణంగా ఒక సిగ్నల్‌కు తన అంతమైన విలువకు 10% నుండి 90% వరకు ప్రయాణించడానికి ఎంత సమయం అవసరమైనది అని నిర్వచించబడుతుంది.

శీర్షకాల సమయం ఆనలాగ్ మరియు డిజిటల్ వ్యవస్థలో ఒక ముఖ్యమైన పారామెటర్. ఇది ఒక ఆనలాగ్ వ్యవస్థలో విక్ట్ ప్రయాణించడానికి ఎంత సమయం అవసరమైనది అని వివరిస్తుంది, ఇది అనేక నిజమైన పరిస్థితులలో దాదాపు భావాలను కలిగి ఉంటుంది. డిజిటల్ వ్యవస్థలో శీర్షకాల సమయం రెండు వాలిడ్ లాజిక్ లెవల్‌ల మధ్య మధ్యస్థ అవస్థలో ఎంత సమయం ఉంటుంది అని మానుతుంది.

నియంత్రణ సిద్ధాంతంలో, శీర్షకాల సమయం X% నుండి Y% వరకు ప్రయాణించడానికి అవసరమైన సమయంగా నిర్వచించబడుతుంది. X మరియు Y విలువలు వ్యవస్థా రకంపై మారుతాయి.

అంతరాతీత రెండవ తరం వ్యవస్థల శీర్షకాల సమయం 0% నుండి 100%, క్రిటికల్ లీ వ్యవస్థల శీర్షకాల సమయం 5% నుండి 95%, అతిప్రమాణం లీ వ్యవస్థల శీర్షకాల సమయం 10% నుండి 90%.

శీర్షకాల సమయం సమీకరణం

సమయ డొమైన్ విశ్లేషణలో లెక్కించడానికి, మనం మొదటి తరం వ్యవస్థ మరియు రెండవ తరం వ్యవస్థను పరిగణిస్తాము.

కాబట్టి, శీర్షకాల సమయం సూత్రాన్ని లెక్కించడానికి, మనం మొదటి తరం మరియు రెండవ తరం వ్యవస్థలను పరిగణిస్తాము.

మొదటి తరం వ్యవస్థ యొక్క శీర్షకాల సమయం

మొదటి తరం వ్యవస్థ క్లోజ్డ్ లూప్ ట్రాన్స్ఫర్ ఫంక్షన్ ద్వారా పరిగణించబడుతుంది.

$G(s) = \frac{1}{Ts+1} = \frac{b}{s+a}$

ట్రాన్స్‌ఫర్ ఫంక్షన్లో T ని సమయ ప్రమాణంగా నిర్వచించబడుతుంది. మొదటి తరం వ్యవస్థ యొక్క సమయ డొమేన్ లక్షణాలను సమయ ప్రమాణం T దృష్ట్యా లెక్కించబడతాయి.

ఇప్పుడు, బంధమైన వ్యవస్థ యొక్క రిఫరన్స్ ఇన్‌పుట్ ఒక యూనిట్ స్టెప్ ఫంక్షన్ అని భావించండి. ఇది లాప్లాస్ ట్రాన్స్‌ఫార్మ్ దృష్ట్యా నిర్వచించబడుతుంది.

$R(s) = \frac{1}{s}$

కాబట్టి, ఆవృతం సిగ్నల్ ఈ విధంగా నిర్వచించబడుతుంది.

$C(s) = G(s) R(s)$

$C(s) = \frac{1}{Ts+1} \times \frac{1}{s}$

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}} \times \frac{1}{s}$

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}$

ఈ సమీకరణాన్ని పాక్షిక భిన్నాలతో పరిష్కరించండి

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

ఇప్పుడు, A1 మరియు A2 విలువలను కనుగొనండి;

$\frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}} = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}$

$A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s = \frac{1}{T}$

s=0 అయితే;

$A_1(0+\frac{1}{T}) + A_2 (0) = \frac{1}{T}$

$A_1 \frac{1}{T} = \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

స్ విలువ -1/T అని ఉంటే;

$A_1(\frac{-1}{T} + \frac{1}{T}) + A_2 (\frac{-1}{T}) = \frac{1}{T}$

$A_1 (0) - A_2 \frac{1}{T} = \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

కాబట్టి,

$C(s) = \frac{1}{s} + \frac{-1}{s+\frac{1}{T}}$

లాప్లాస్ విలోమం తీసుకురావడం;

$C(t) = L^{-1} \left[ \frac{1}{s} -\frac{1}{s+\frac{1}{T}} \right]$

$C(t) = 1-e^{\frac{-t}{T}}$

ఇప్పుడు, మనం చివరి విలువలో 10% మరియు 90% మధ్య ఎగువని సమయం లెక్కించాము.

$C(t_{10}) = 0.10 \quad and \quad C(t_{90}) = 0.90$

$0.10 = 1 - e^{\frac{t_{10}}{T}}$

$e^{\frac{t_{10}}{T}} = 1-0.10$

$e^{\frac{t_{10}}{T}} = 0.9$

$\frac{-t_{10}}{T} = ln(0.9)$

$t_{10} = -T ln(0.9)$

$t_{10} = -T (-0.1053)$

$t_{10} = 0.1053T$

అదే విధంగా;

$0.90 = 1 - e^{\frac{t_{90}}{T}}$

$e^{\frac{t_{90}}{T}} = 1 - 0.9$

$ఈ^{\frac{ట్ర_{90}}{ట్ర}} = 0.1$

$\frac{-ట్ర_{90}}{ట్ర} = ln(0.1)$

$ట్ర_{90} = -ట్ర (-2.3025)$

$ట్ర_{90} = 2.3025ట్ర$

ఇప్పుడు, ఎగరికిన సమయం tr;

$t_r = t_{90} - t_{10}$

$t_r = 2.3025T - 0.1053T$

$t_r = 2.197 T$

$t_r \approx 2.2T = \frac{2.2}{a}$

ఒక రెండవ తరహున్న వ్యవస్థలో ప్రారంభ కాలం

రెండవ తరహున్న వ్యవస్థలో, ప్రారంభ కాలం అతిశీతోష వ్యవస్థలో 0% నుండి 100% వరకు, అతిశీతోష వ్యవస్థలో 10% నుండి 90% వరకు, మరియు క్రిటికల్ డాంప్‌డ్ వ్యవస్థలో 5% నుండి 95% వరకు లెక్కించబడుతుంది.

ఇక్కడ, మనం రెండవ తరహున్న వ్యవస్థలో ప్రారంభ కాలం లెక్కించడం గురించి చర్చ చేసుకుందాం. మరియు రెండవ తరహున్న వ్యవస్థ సమీకరణం;

$C(t) = 1-\frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi)$

ప్రారంభ కాలం tr చే సూచించబడుతుంది.

$C(t) = C(t_r) = 1$

$1 = 1 - \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi)$

$\frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi) = 0$

$సిన్(\omega_d t_r + \phi) = 0$

$సిన్(\omega_d t_r + \phi) = సిన్(\pi)$

$(\omega_d t_r + \phi) = (\pi)$

$\omega_d t_r = \pi - \phi$

$t_r = \frac{\pi - \phi}{\omega_d}$

ఇక్కడ,

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$\phi = tan^{-1} (\frac{\sqrt{1-\zeta^2})}{\zeta}$

కాబట్టి, అంతమైన కాలం సూత్రం;

$t_r = \frac{\pi - tan^{-1} (\frac{\sqrt{1-\zeta^2})}{\zeta}}{\omega_n \sqrt{1-\zeta^2} }$

రైజ్ టైమ్ ఎలా లెక్కించాలి?

ప్రథమ తరం వ్యవస్థ

ఉదాహరణకు, ఒక ప్రథమ తరం వ్యవస్థ యొక్క రైజ్ టైమ్ ను కనుగొనండి. ప్రథమ తరం వ్యవస్థ యొక్క ట్రాన్స్‌ఫర్ ఫంక్షన్ క్రింది సమీకరణంలో చూపబడింది.

$G(s) = \frac{5}{s+2}$

ప్రత్యేక రూపంలోని ట్రాన్స్‌ఫర్ ఫంక్షన్‌ను ఈ ట్రాన్స్‌ఫర్ ఫంక్షన్‌తో పోల్చండి.

$G(s) = \frac{b}{s+a}$

కాబట్టి; a=2 మరియు b=5;

ఒక వరుస వ్యవస్థా అభివృద్ధి కాలం సమీకరణం;

$t_r = \frac{2.2}{a}$

$t_r = \frac{2.2}{2}$

$t_r = 1.1 sec$

ప్రథమ క్రమ వ్యవస్థ

5 రేడియన్లు/సెకన్ నాట్యాల్ ఫ్రీక్వెన్సీ మరియు 0.6 డైమ్పింగ్ నిష్పత్తితో ఉన్న రెండవ క్రమ వ్యవస్థ యొక్క రైజ్ టైమ్‌ను కనుగొనండి.

$\omega_n = 5 rad/sec$

$\zeta = 0.6$

ఎడమ్ సిస్టమ్ యొక్క రైజ్ టైమ్ సమీకరణం;

$t_r = \frac{\pi - \phi}{\omega_d}$

ఇప్పుడు, మనం ఫై మరియు ωd విలువలను కనుగొనాలి.

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-\zeta^2}}{\zeta} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-0.6 ^2}}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-0.36}}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{0.8}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} (1.33)$

$\phi = 0.9272 rad$

ఇప్పుడు, ωd కోసం,

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$\omega_d = 5 \times 0.8$

$\omega_d = 4 rad/sec$

ఈ విలువలను ఎగ్రాయింగ్ టైమ్ సమీకరణంలో ప్రతిస్థాపించండి

$t_r = \frac{3.14-0.9272}{4}$

$t_r = \frac{2.2128}{4}$

$t_r = 0.5532 sec$

ప్రవాహ సమయం 10% నుండి 90% వరకు ఎందుకు?

ప్రవాహ సమయాన్ని లెక్కించడంలో 10% నుండి 90% వరకు సమయాన్ని కొన్నిసార్లు మాపం చేయడం అనుభవసిన కార్యం కాదు.

కానీ చాలా సందర్భాలలో, ఈ విలువల మధ్యలో ప్రవాహ సమయాన్ని లెక్కించబడుతుంది.

ఈ విలువలను మనం ఉపయోగిస్తాము, ఎందుకంటే సంకేతాలు వాటి చివరి విలువల తుది మరియు మొదటి భాగాలలో వివిధ తీర్మానాలను కలిగి ఉంటాయో అనే అవకాశం ఉంది.

ఉదాహరణకు, క్రింది స్విచ్ పాట్రన్ చూడండి:

చాలా సమయం ఆ విలువ సుమారు శూన్యంగా ఉన్నప్పుడే పెరిగి తన అంతిమ విలువను చేర్చింది.

విలువ శూన్యం కంటే లేకుండా "పెరిగించే సమయం" లెక్కించడం యొక్కటి ఈ మధ్యభాగంలో (స్పష్టంగా T_r మొదలుకొన్నప్పుడే ఏదైనా ట్రిగ్గర్ జరిగిందని తెలుసు) సంకేతం పెరిగించే సమయాన్ని సూచించదు.

చివరి వైపు, మనం 100% కాకుండా 90% ఉపయోగిస్తాము, ఎందుకంటే సాధారణంగా సంకేతాలు తమ అంతిమ విలువను ఎప్పుడూ చేర్చలేవు.

లాగరిథమిక గ్రాఫ్ వంటి దశలో, ఇది ఎప్పుడూ 100% చేరదు, గ్రాఫ్ విలువ సమయంలో తగ్గుతుంది.

కాబట్టి సారాంశంగా: స్విచ్ పరికరాలు మొదటి మరియు చివరి దశలలో విభిన్న స్విచింగ్ పాట్లను కలిగి ఉంటాయ.

కానీ ఈ దశల మధ్య మార్పు జరిగే సమయంలో, అన్ని పరికరాలు ఒకే రకమైన పెరిగించే పాటను కలిగి ఉంటాయ. మరియు 10% నుండి 90% వరకు మార్పు కొలిచడం ప్రామాణికంగా వివిధ పరికరాల మధ్య పెరిగించే సమయాన్ని సూచించే సరైన ప్రతినిధ్యాన్ని ఇస్తుంది.

కాబట్టి, అనేక పరిస్థితులలో, మనం 10% నుండి 90% మధ్య పెరిగించే సమయాన్ని లెక్కించాము.

పెరిగించే సమయం విరమించే సమయం

విరమించే సమయం అనేది సంకేతం ఒక నిర్దిష్ట విలువ (X) నుండి మరొక నిర్దిష్ట విలువ (Y) వరకు తగ్గించే సమయాన్ని సూచిస్తుంది.

చాలా సందర్భాలలో, మేలు నిర్దిష్ట విలువ (X) శిఖర విలువలో 90% మరియు క్రింది నిర్దిష్ట విలువ 10% ఉంటుంది. విరమించే సమయాన్ని చూపే డయాగ్రామ్ క్రింద చూపబడింది.

rise time vs fall time — పెరిగించే సమయం విరమించే సమయం

కాబట్టి, కేంద్రకంగా, విరమించే సమయం పెరిగించే సమయం యొక్క విలోమంగా లెక్కించబడుతుంది.

కానీ పడటం సమయం రాయటం సమయంతో సమానంగా ఉండదని హెచ్చరించాలనుకుంది.

అన్ని తరంగాలు (సైన్ వేవ్ వంటి) సౌష్ఠవం కలిగిన ఉన్నప్పుడే రాయటం సమయం మరియు పడటం సమయం స్వతంత్రంగా ఉంటాయ.

రాయటం సమయం మరియు పడటం సమయం మధ్య ఏ సామాన్యీకృత సంబంధం లేదు. రెండు పరిమాణాలు నియంత్రణ వ్యవస్థలో మరియు డిజిటల్ ఎలక్ట్రానిక్స్‌లో సంకేత విశ్లేషణకు ముఖ్యమైన పాత్ర పోషిస్తాయి.

రాయటం సమయం మరియు బ్యాండ్వైడ్థ్

సంకేతను వాస్తవంగా కొలిచేందుకు మేము ఒసిలోస్కోప్‌ను ఉపయోగిస్తాము. సంకేత యొక్క రాయటం సమయం తెలిసినట్లయితే, మేము టెస్టింగ్ కోసం సంకేత యొక్క బ్యాండ్వైడ్థ్‌ను కనుగొనవచ్చు.

ఈ విధంగా, మేము ఎక్కువ లేదా సమానమైన బ్యాండ్వైడ్థ్ గల ఒసిలోస్కోప్‌ని ఎంచుకోవచ్చు. మరియు ఇది ఒసిలోస్కోప్‌లో సరైన ప్రదర్శన ఫలితాలను ఇచ్చుతుంది.

మేము సంకేత యొక్క రాయటం సమయం తెలిసినట్లయితే, మేము ఒసిలోస్కోప్ ఎంత సంకేతను మధ్యం చేస్తుంది మరియు దాని రాయటం సమయాన్ని ఎంత జోడిస్తుందను కనుగొనవచ్చు.

బ్యాండ్వైడ్థ్ (BW) మరియు రాయటం సమయం (tr) మధ్య సంబంధం క్రింది సూత్రంలో ప్రకటించబడింది.

$BW \approx \frac{0.35}{t_r}$

ముందు సూత్రంలో రాయటం సమయం అంతమైన విలువలో 10% నుండి 90% వరకు కొలిచినట్లయితే అనుకుంటారు.

బ్యాండ్వైడ్థ్ యొక్క సులభమైన యూనిట్లు MHz లేదా GHz మరియు రాయటం సమయం యొక్క యూనిట్లు μs లేదా ns.

ఒసిలోస్కోప్ యొక్క ఇన్‌పుట్ అమ్ప్లిఫైర్లు సాధారణ ఫ్రీక్వెన్సీ ప్రతిసాదన కలిగినట్లయితే, లవం 0.35 సరైన ఫలితాన్ని ఇచ్చుతుంది.

కానీ అనేక ఒసిలోస్కోప్లు పాస్బ్యాండ్లో సమానమైన ఫ్రీక్వెన్సీ ప్రతిసాదనను ఇచ్చేందుకు దాదాపు వేగం విలువను పెంచుతాయి. ఈ పరిస్థితిలో, లవం 0.45 లేదా అంతకంటే ఎక్కువ ఉంటుంది.

ఉదాహరణకు, ఒక చతురస్ర తరంగాన్ని ఒసిలోస్కోప్‌లో చూపించబోతున్నప్పుడు, అది 1ns విలువ గల 10-90% రైజ్ టైమ్ కలిగి ఉంటుంది. ఒసిలోస్కోప్ యొక్క సుమారు బ్యాండ్విధ్ ఎంత ఉంటుంది?

ఈ సంఖ్యలను ముందు పేర్కొనిన సూత్రంలో ప్రతిస్థాపించడం ద్వారా,

$BW = \frac{3.5}{10^{-9}} = 3.5 \times 10^{-9} = 350MHz$