Thời gian tăng: Điều gì là nó? (Phương trình Và Cách Tính)

Trường dữ liệu: Điện Cơ Bản

China

thời gian tăng

Thời gian tăng là gì?

Thời gian tăng được định nghĩa là thời gian cần thiết để tín hiệu đi từ một giá trị thấp đã chỉ định đến một giá trị cao đã chỉ định. Trong điện tử tương tự và số, giá trị thấp và cao đã chỉ định là 10% và 90% của giá trị cuối cùng hoặc ổn định. Do đó, thời gian tăng thường được định nghĩa là thời gian mà tín hiệu mất để đi từ 10% đến 90% giá trị cuối cùng của nó.

Thời gian tăng là một tham số quan trọng trong các hệ thống tương tự và số. Nó mô tả thời gian mà đầu ra mất để tăng từ mức này sang mức khác trong hệ thống tương tự, điều này có nhiều ý nghĩa thực tế. Thời gian tăng cho biết tín hiệu mất bao lâu ở trạng thái trung gian giữa hai mức logic hợp lệ trong hệ thống số.

Trong lý thuyết điều khiển, thời gian tăng được định nghĩa là thời gian mà phản hồi mất để tăng từ X% đến Y% của giá trị cuối cùng. Giá trị X và Y thay đổi tùy theo loại hệ thống.

Thời gian tăng cho hệ thống bậc hai thiếu giảm chấn là từ 0% đến 100%, cho hệ thống giảm chấn tới hạn là từ 5% đến 95%, và cho hệ thống quá giảm chấn là từ 10% đến 90%.

Phương trình thời gian tăng

Để tính toán trong phân tích miền thời gian, chúng ta xem xét hệ thống bậc nhất và bậc hai.

Do đó, để tính công thức cho thời gian tăng, chúng ta xem xét hệ thống bậc nhất và bậc hai.

Thời gian tăng của hệ thống bậc nhất

Hệ thống bậc nhất được xem xét thông qua hàm chuyển vòng kín sau đây.

$G(s) = \frac{1}{Ts+1} = \frac{b}{s+a}$

Trong hàm truyền, T được định nghĩa là hằng số thời gian. Đặc tính miền thời gian của hệ thống bậc nhất được tính theo hằng số thời gian T.

Bây giờ, giả sử rằng đầu vào tham chiếu của hệ thống vòng kín là hàm bước đơn vị. Và nó được định nghĩa theo biến đổi Laplace như sau;

$R(s) = \frac{1}{s}$

Vì vậy, tín hiệu đầu ra sẽ được định nghĩa như sau;

$C(s) = G(s) R(s)$

$C(s) = \frac{1}{Ts+1} \times \frac{1}{s}$

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}} \times \frac{1}{s}$

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}$

Giải phương trình này bằng phân số riêng phần;

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

Bây giờ, hãy tìm các giá trị của A1 và A2;

$\frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}} = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}$

$A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s = \frac{1}{T}$

Đối với s=0;

$A_1(0+\frac{1}{T}) + A_2 (0) = \frac{1}{T}$

$A_1 \frac{1}{T} = \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

Đối với s=-1/T;

$A_1(\frac{-1}{T} + \frac{1}{T}) + A_2 (\frac{-1}{T}) = \frac{1}{T}$

$A_1 (0) - A_2 \frac{1}{T} = \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

Vì vậy,

$C(s) = \frac{1}{s} + \frac{-1}{s+\frac{1}{T}}$

Thực hiện biến đổi Laplace ngược;

$C(t) = L^{-1} \left[ \frac{1}{s} -\frac{1}{s+\frac{1}{T}} \right]$

$C(t) = 1-e^{\frac{-t}{T}}$

Bây giờ, chúng ta tính thời gian tăng từ 10% đến 90% của giá trị cuối cùng.

$C(t_{10}) = 0.10 \quad and \quad C(t_{90}) = 0.90$

$0.10 = 1 - e^{\frac{t_{10}}{T}}$

$e^{\frac{t_{10}}{T}} = 1-0.10$

$e^{\frac{t_{10}}{T}} = 0.9$

$\frac{-t_{10}}{T} = ln(0.9)$

$t_{10} = -T ln(0.9)$

$t_{10} = -T (-0.1053)$

$t_{10} = 0.1053T$

Tương tự;

$0.90 = 1 - e^{\frac{t_{90}}{T}}$

$e^{\frac{t_{90}}{T}} = 1 - 0.9$

$e^{\frac{t_{90}}{T}} = 0.1$

$\frac{-t_{90}}{T} = ln(0.1)$

$t_{90} = -T (-2.3025)$

$t_{90} = 2.3025T$

Bây giờ, cho thời gian tăng tr;

$t_r = t_{90} - t_{10}$

$t_r = 2.3025T - 0.1053T$

$t_r = 2.197 T$

$t_r \approx 2.2T = \frac{2.2}{a}$

Thời gian tăng của hệ thống bậc hai

Trong hệ thống bậc hai, thời gian tăng được tính từ 0% đến 100% cho hệ thống thiếu giảm, từ 10% đến 90% cho hệ thống quá giảm, và từ 5% đến 95% cho hệ thống giảm tới mức giới hạn.

Ở đây, chúng ta sẽ thảo luận về cách tính toán thời gian tăng cho hệ thống bậc hai. Và phương trình cho hệ thống bậc hai là;

$C(t) = 1-\frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi)$

Thời gian tăng được ký hiệu bằng tr.

$C(t) = C(t_r) = 1$

$1 = 1 - \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi)$

$\frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi) = 0$

$sin(\omega_d t_r + \phi) = 0$

$sin(\omega_d t_r + \phi) = sin(\pi)$

$(\omega_d t_r + \phi) = (\pi)$

$\omega_d t_r = \pi - \phi$

$t_r = \frac{\pi - \phi}{\omega_d}$

Trong đó,

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$\phi = tan^{-1} (\frac{\sqrt{1-\zeta^2})}{\zeta}$

Vì vậy, công thức cuối cùng của thời gian tăng là;

$t_r = \frac{\pi - tan^{-1} (\frac{\sqrt{1-\zeta^2})}{\zeta}}{\omega_n \sqrt{1-\zeta^2} }$

Cách tính thời gian tăng

Hệ thống bậc nhất

Ví dụ, tìm thời gian tăng của hệ thống bậc nhất. Hàm truyền của hệ thống bậc nhất được hiển thị trong phương trình dưới đây.

$G(s) = \frac{5}{s+2}$

So sánh hàm chuyển với dạng chuẩn của hàm chuyển.

$G(s) = \frac{b}{s+a}$

Vậy; a=2 và b=5;

Phương trình thời gian tăng cho hệ bậc nhất là;

$t_r = \frac{2.2}{a}$

$t_r = \frac{2.2}{2}$

$t_r = 1.1 sec$

Hệ thống bậc hai

Tìm thời gian tăng của hệ thống bậc hai có tần số tự nhiên là 5 rad/giây và tỷ lệ giảm chấn là 0.6.

$\omega_n = 5 rad/sec$

$\zeta = 0.6$

Phương trình thời gian lên cho hệ thống bậc hai là;

$t_r = \frac{\pi - \phi}{\omega_d}$

Bây giờ, chúng ta cần tìm giá trị của ф và ωd.

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-\zeta^2}}{\zeta} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-0.6 ^2}}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-0.36}}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{0.8}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} (1.33)$

$\phi = 0.9272 rad$

Bây giờ, cho ωd,

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$\omega_d = 5 \times 0.8$

$\omega_d = 4 rad/sec$

Đặt các giá trị này vào phương trình thời gian tăng;

$t_r = \frac{3.14-0.9272}{4}$

$t_r = \frac{2.2128}{4}$

$t_r = 0.5532 sec$

Tại sao thời gian tăng là 10% đến 90%?

Để tính thời gian tăng, không bắt buộc phải đo thời gian giữa 10% đến 90%.

Nhưng trong hầu hết các trường hợp, thời gian tăng được tính giữa các giá trị này.

Chúng ta sử dụng các giá trị này vì tín hiệu có thể có dạng sóng rất khác nhau ở phần đầu và cuối của giá trị cuối cùng của chúng.

Ví dụ, hãy xem mẫu chuyển mạch dưới đây:

Giá trị này đã ở mức gần như bằng không trong một thời gian trước khi tăng lên và đạt đến giá trị cuối cùng.

Sẽ không phù hợp để tính “thời gian tăng” từ khi giá trị bằng không, vì điều này sẽ không phản ánh chính xác thời gian mà tín hiệu tăng trong trạng thái trung gian (rõ ràng có một kích hoạt nào đó xảy ra ở đầu Tr).

Ở phần cuối, chúng ta sử dụng 90% thay vì 100% vì thường tín hiệu sẽ không bao giờ đạt đến giá trị cuối cùng.

Tương tự như cách biểu đồ logarit trông, nó sẽ không bao giờ thực sự đạt đến 100%, với độ dốc của biểu đồ giảm theo thời gian.

Vì vậy, để tóm tắt: các thiết bị chuyển mạch có các mẫu chuyển mạch khác nhau ở giai đoạn bắt đầu và kết thúc.

Nhưng trong quá trình chuyển tiếp giữa các giai đoạn này, tất cả các thiết bị đều có một mô hình tăng tương tự. Và việc đo lường từ 10% đến 90% của quá trình chuyển tiếp này thường cho một đại diện công bằng về thời gian tăng đối với một loạt rộng các thiết bị.

Do đó, trong hầu hết các điều kiện, chúng ta tính thời gian tăng từ 10% đến 90%.

Thời gian tăng so với thời gian giảm

Thời gian giảm được định nghĩa là thời gian mà tín hiệu mất để giảm (giảm xuống) từ một giá trị cụ thể (X) đến một giá trị cụ thể khác (Y).

Trong hầu hết các trường hợp, giá trị trên được chỉ định (X) là 90% của giá trị đỉnh và giá trị dưới được chỉ định là 10% của giá trị đỉnh. Một sơ đồ minh họa thời gian giảm được hiển thị bên dưới.

rise time vs fall time — Thời gian tăng so với thời gian giảm

Vì vậy, theo một cách nào đó, thời gian giảm có thể được coi là ngược lại của thời gian tăng, về cách tính toán.

Tuy nhiên, điều quan trọng cần nhấn mạnh là thời gian giảm không nhất thiết phải bằng thời gian tăng.

Trừ khi bạn có một sóng đối xứng (như sóng sin), thời gian tăng và thời gian giảm là độc lập.

Và không có mối quan hệ tổng quát nào giữa thời gian tăng và thời gian giảm. Cả hai đại lượng đều đóng vai trò quan trọng trong phân tích tín hiệu trong hệ thống điều khiển và điện tử số.

Thời gian tăng và băng thông

Để đo tín hiệu thực tế, chúng ta sử dụng máy đo dao động. Nếu chúng ta biết thời gian tăng của tín hiệu, chúng ta có thể tìm được băng thông của tín hiệu để kiểm tra.

Điều này sẽ giúp chọn một máy đo dao động có băng thông lớn hơn hoặc bằng. Và nó sẽ cho kết quả hiển thị chính xác trên máy đo dao động.

Nếu chúng ta biết thời gian tăng của tín hiệu, chúng ta có thể tìm hiểu mức độ mà máy đo dao động sẽ làm chậm tín hiệu và thêm vào thời gian tăng của nó.

Mối quan hệ giữa băng thông (BW) và thời gian tăng (tr) được biểu diễn bằng công thức dưới đây.

$BW \approx \frac{0.35}{t_r}$

Công thức trên giả định rằng thời gian tăng được đo trong khoảng từ 10% đến 90% giá trị cuối cùng.

Đơn vị thuận tiện cho băng thông là MHz hoặc GHz và cho thời gian tăng là μs hoặc ns.

Nếu các bộ khuếch đại đầu vào của máy đo dao động có phản hồi tần số đơn giản, tử số 0.35 cho kết quả chính xác.

Nhưng nhiều máy đo dao động có tốc độ giảm nhanh hơn để tạo ra phản hồi tần số phẳng hơn trong dải thông. Trong trường hợp này, tử số tăng lên 0.45 hoặc hơn.

Ví dụ, khi một sóng vuông được hiển thị trên máy đo dao động, nó có thời gian tăng từ 10-90% là 1ns. Băng thông xấp xỉ của máy đo dao động sẽ là bao nhiêu?

Bằng cách thay thế các con số này vào công thức trên,

$BW = \frac{3.5}{10^{-9}} = 3.5 \times 10^{-9} = 350MHz$