Panahon ng Pagtaas: Ano ito? (Pormula at Paano Ito Kalkulahin)

Larangan: Pangunahing Elektrikal

China

ano ang rise time

Ano ang Rise Time?

Ang rise time ay inilalarawan bilang ang oras na kinakailangan para sa isang signal na lumampas mula sa isang naka-spesipikong mababang halaga patungo sa isang naka-spesipikong mataas na halaga. Sa analog at digital na elektronika, ang naka-spesipikong mas mababang halaga at naka-spesipikong mas mataas na halaga ay 10% at 90% ng final o steady-state value. Kaya ang rise time ay karaniwang inilalarawan bilang kung gaano katagal para sa isang signal na pumunta mula 10% hanggang 90% ng final value nito.

Ang rise time ay isang mahalagang parameter sa mga analog at digital na sistema. Ito ay naglalarawan ng oras na kinakailangan para sa output na tumaas mula sa isang antas patungo sa isa pa sa isang analog system, na may maraming tunay na implikasyon sa mundo. Ang rise time ay nagbibigay alam kung gaano katagal ang isang signal na nananatili sa intermediate state sa pagitan ng dalawang valid logic levels sa isang digital system.

Sa control theory, ang rise time ay inilalarawan bilang ang oras na kinakailangan para sa response na tumaas mula X% hanggang Y% ng final value nito. Ang halaga ng X at Y ay nag-iiba depende sa uri ng sistema.

Ang rise time para sa underdamped second-order systems ay 0% hanggang 100%, para sa critically damped systems ito ay 5% hanggang 95%, at para sa overdamped systems ito ay 10% hanggang 90%.

Equation ng Rise Time

Para sa pagkalkula sa time domain analysis, inilalarawan natin ang first-order system at second-order system.

Kaya, para sa pagkalkula ng formula para sa rise time, inilalarawan natin ang first-order at second-order systems.

Rise Time ng First Order System

Ang first-order system ay inilalarawan sa pamamagitan ng sumusunod na closed-loop transfer function.

$G(s) = \frac{1}{Ts+1} = \frac{b}{s+a}$

Sa function ng paglilipat, ang T ay inilalarawan bilang isang time constant. Ang mga katangian sa time-domain ng unang order na sistema ay kalkulahin sa pamamagitan ng time constant T.

Ngayon, ipinapalagay natin na ang reference input ng closed-loop system ay isang unit step function. At ito ay inilalarawan sa pamamagitan ng Laplace transform bilang;

$R(s) = \frac{1}{s}$

Kaya, ang output signal ay inilalarawan bilang;

$C(s) = G(s) R(s)$

$C(s) = \frac{1}{Ts+1} \times \frac{1}{s}$

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}} \times \frac{1}{s}$

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}$

Solve this equation using partial fraction;

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

Ngayon, hanapin ang mga halaga ng A1 at A2;

$\frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}} = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}$

$A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s = \frac{1}{T}$

Para sa s=0;

$A_1(0+\frac{1}{T}) + A_2 (0) = \frac{1}{T}$

$A_1 \frac{1}{T} = \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

Para s=-1/T;

$A_1(\frac{-1}{T} + \frac{1}{T}) + A_2 (\frac{-1}{T}) = \frac{1}{T}$

$A_1 (0) - A_2 \frac{1}{T} = \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

Kaya,

$C(s) = \frac{1}{s} + \frac{-1}{s+\frac{1}{T}}$

Kumuha ng kabaligtaran ng Laplace;

$C(t) = L^{-1} \left[ \frac{1}{s} -\frac{1}{s+\frac{1}{T}} \right]$

$C(t) = 1-e^{\frac{-t}{T}}$

Ngayon, kalkulahin natin ang oras ng pagtaas sa pagitan ng 10% at 90% ng huling halaga.

$C(t_{10}) = 0.10 \quad and \quad C(t_{90}) = 0.90$

$0.10 = 1 - e^{\frac{t_{10}}{T}}$

$e^{\frac{t_{10}}{T}} = 1-0.10$

$e^{\frac{t_{10}}{T}} = 0.9$

$\frac{-t_{10}}{T} = ln(0.9)$

$t_{10} = -T ln(0.9)$

$t_{10} = -T (-0.1053)$

$t_{10} = 0.1053T$

Gaya gayon;

$0.90 = 1 - e^{\frac{t_{90}}{T}}$

$e^{\frac{t_{90}}{T}} = 1 - 0.9$

$e^{\frac{t_{90}}{T}} = 0.1$

$\frac{-t_{90}}{T} = ln(0.1)$

$t_{90} = -T (-2.3025)$

$t_{90} = 2.3025T$

Ngayon, para sa rise time tr;

$t_r = t_{90} - t_{10}$

$t_r = 2.3025T - 0.1053T$

$t_r = 2.197 T$

$t_r \approx 2.2T = \frac{2.2}{a}$

Pagtaas na Oras ng isang Ikalawang Uri ng Sistema

Sa isang ikalawang uri ng sistema, ang pagtaas na oras ay inukol mula 0% hanggang 100% para sa underdamped na sistema, 10% hanggang 90% para sa overdamped na sistema, at 5% hanggang 95% para sa critically damped na sistema.

Dito, ipag-uusap natin ang pagsusulit ng pagtaas na oras para sa ikalawang uri ng sistema. At ang ekwasyon para sa ikalawang uri ng sistema ay;

$C(t) = 1-\frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi)$

Ang pagtaas na oras ay tinutukoy gamit ang tr.

$C(t) = C(t_r) = 1$

$1 = 1 - \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi)$

$\frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi) = 0$

$\sin(\omega_d t_r + \phi) = 0$

$\sin(\omega_d t_r + \phi) = \sin(\pi)$

$(\omega_d t_r + \phi) = (\pi)$

$\omega_d t_r = \pi - \phi$

$t_r = \frac{\pi - \phi}{\omega_d}$

Kung saan,

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$\phi = tan^{-1} (\frac{\sqrt{1-\zeta^2})}{\zeta}$

Kaya, ang huling pormula para sa rise time ay;

$t_r = \frac{\pi - tan^{-1} (\frac{\sqrt{1-\zeta^2})}{\zeta}}{\omega_n \sqrt{1-\zeta^2} }$

Kamusta I-Compute ang Rise Time?

Unang Order na System

Halimbawa, hanapin ang rise time ng unang order na system. Ang transfer function ng unang order na system ay ipinapakita sa equation sa ibaba.

$G(s) = \frac{5}{s+2}$

Ipaghahambing ang function ng transfer sa standard na anyo ng function ng transfer.

$G(s) = \frac{b}{s+a}$

Kaya; a=2 at b=5;

Ang equation para sa rise time ng first order system ay;

$t_r = \frac{2.2}{a}$

$t_r = \frac{2.2}{2}$

$t_r = 1.1 sec$

Pangalawang Order na Sistema

Hahanapin ang oras ng pagtaas ng isang pangalawang order na sistema na may natural na pagsabog na 5 rad/sec at damping ratio na 0.6.

$\omega_n = 5 rad/sec$

$\zeta = 0.6$

Ang equation ng rise time para sa second order system ay;

$t_r = \frac{\pi - \phi}{\omega_d}$

Ngayon, kailangan nating hanapin ang halaga ng ф at ωd.

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-\zeta^2}}{\zeta} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-0.6 ^2}}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-0.36}}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{0.8}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} (1.33)$

$\phi = 0.9272 rad$

Ngayon, para sa ωd,

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$\omega_d = 5 \times 0.8$

$\omega_d = 4 rad/sec$

Ilagay ang mga halagang ito sa ekwasyon ng oras ng pagtaas;

$t_r = \frac{3.14-0.9272}{4}$

$t_r = \frac{2.2128}{4}$

$t_r = 0.5532 sec$

Bakit ang Rise Time ay 10% hanggang 90%?

Para makalkula ang rise time, hindi ito kailangan na sukatin natin ang oras mula 10% hanggang 90%.

Ngunit sa karamihan ng mga kaso, inaasahang ang rise time ay ikalkula sa pagitan ng mga halagang ito.

Ginagamit natin ang mga halagang ito dahil ang mga senyas ay maaaring may napakalaking pagkakaiba sa kanilang waveform sa unang bahagi at huling bahagi ng kanilang final values.

Halimbawa, tingnan natin ang switching pattern sa ibaba:

Ang halaga ay nasa halos sero sa ilang panahon bago ito tumaas at umabot sa kanyang huling halaga.

Hindi angkop na kalkulahin ang "rise time" mula sa oras na ang halaga ay nasa sero, dahil hindi ito representatibo ng oras na kinailangan para tumaas ang signal sa gitna ng estado (malinaw na mayroong isang trigger na nangyari sa simula ng Tr).

Sa huling bahagi, ginagamit natin ang 90% kaysa sa 100% dahil madalas ang mga signal ay hindi umabot sa kanilang huling halaga.

Kapareho ng hitsura ng logarithmic graph, hindi ito ganap na umabot sa 100%, kasama ang pagbabawas ng gradient ng graph sa loob ng panahon.

Kaya upang buodin: ang mga switching devices ay may iba't ibang switching patterns sa simula at dulo.

Ngunit sa paglipat sa pagitan ng mga yugto, ang lahat ng mga device ay may kaparehong rise pattern. At ang pagsukat ng 10% hanggang 90% ng transition na ito ay karaniwang nagbibigay ng maayos na representasyon ng rise time sa malawak na saklaw ng mga device.

Dahil dito, sa karamihan ng kondisyon, inaasahan natin ang rise time sa pagitan ng 10% at 90%.

Rise Time vs Fall Time

Ang fall time ay tinukoy bilang oras na kinailangan ng isang signal upang bumaba (bumaba) mula sa isang tiyak na halaga (X) hanggang sa isa pang tiyak na halaga (Y).

Sa karamihan ng mga kaso, ang itaas na tiyak na halaga (X) ay 90% ng peak value at ang mas mababang tiyak na halaga ay 10% ng peak value. Isang diagram na nagpapakita ng fall time ay ipinapakita sa ibaba.

rise time vs fall time — Rise Time vs Fall Time

Kaya sa isang paraan, ang fall time ay maaaring ituring bilang kabaligtaran ng rise time, sa kung paano ito kalkulahin.

Ngunit mahalagang pahabain na ang oras ng pagbagsak ay hindi kasunod-sunod na kapareho ng oras ng pag-akyat.

Maliban kung may simetriyang alon (tulad ng sine wave), ang oras ng pag-akyat at oras ng pagbagsak ay independiyente.

At walang pangkalahatang relasyon sa pagitan ng oras ng pag-akyat at oras ng pagbagsak. Ang parehong bilang ay may mahalagang papel para sa analisis ng signal sa mga sistema ng kontrol at digital electronics.

Oras ng Pag-akyat at Bandwidth

Para sukatin ang signal nang praktikal, ginagamit natin ang oscilloscope. Kung alam natin ang oras ng pag-akyat ng signal, maaari nating mahanap ang bandwidth ng signal para sa pagsusulit.

Tutulong ito upang pumili ng oscilloscope na may mas malaking o katumbas na bandwidth. At ito ay magbibigay ng tama at eksaktong resulta ng display sa oscilloscope.

Kung alam natin ang oras ng pag-akyat ng signal, maaari nating malaman kung gaano karaming papahaba ang signal ng oscilloscope at idadagdag sa oras ng pag-akyat nito.

Ang relasyon sa pagitan ng bandwidth (BW) at oras ng pag-akyat (tr) ay ipinahayag sa formula sa ibaba.

$BW \approx \frac{0.35}{t_r}$

Ang formula sa itaas ay nagpresuposyon na ang oras ng pag-akyat ay isinasukat sa saklaw ng 10% hanggang 90% ng huling halaga.

Ang convenient na yunit ng bandwidth ay MHz o GHz at para sa oras ng pag-akyat μs o ns.

Kung ang input amplifiers ng isang oscilloscope ay may simple frequency response, ang numerator na 0.35 ay nagbibigay ng tama at eksaktong resulta.

Ngunit maraming oscilloscopes ang may mas mabilis na roll-off upang magbigay ng mas flat na frequency response sa passband. Sa kondisyong ito, ang numerator ay tumaas hanggang 0.45 o higit pa.

Halimbawa, kapag isang square wave ang ipinapakita sa isang oscilloscope, mayroon itong 10-90% rise time na 1ns. Ano ang tinatayang bandwidth ng oscilloscope?

Sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga numerong ito sa pormulang nakasaad sa itaas,

$BW = \frac{3.5}{10^{-9}} = 3.5 \times 10^{-9} = 350MHz$