आरोहण समय: यह क्या है? (समीकरण और इसे कैसे गणना करें)

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आरोहण समय क्या है?

आरोहण समय को एक सिग्नल द्वारा निर्दिष्ट निम्न मान से निर्दिष्ट उच्च मान तक पार करने में लगने वाला समय के रूप में परिभाषित किया जाता है। एनालॉग और डिजिटल इलेक्ट्रॉनिक्स में, निर्दिष्ट निम्न मान और निर्दिष्ट उच्च मान अंतिम या स्थिरावस्था मान का 10% और 90% होता है। इसलिए आरोहण समय आमतौर पर एक सिग्नल द्वारा अपने अंतिम मान के 10% से 90% तक पहुंचने में कितना समय लगता है, इसकी परिभाषा की जाती है।

आरोहण समय एनालॉग और डिजिटल सिस्टमों में एक महत्वपूर्ण पैरामीटर है। यह एक एनालॉग सिस्टम में आउटपुट को एक स्तर से दूसरे स्तर तक बढ़ने में लगने वाला समय वर्णित करता है, जिसके वास्तविक दुनिया में कई प्रभाव होते हैं। डिजिटल सिस्टम में, आरोहण समय दो वैध लॉजिक स्तरों के बीच एक सिग्नल को बीच के स्थान में कितना समय बिताने का वर्णन करता है।

नियंत्रण सिद्धांत में, आरोहण समय को प्रतिक्रिया के X% से Y% तक अपने अंतिम मान तक पहुंचने में लगने वाला समय के रूप में परिभाषित किया जाता है। X और Y का मान सिस्टम के प्रकार पर निर्भर करता है।

अपरिपूर्ण द्वितीयक क्रम के सिस्टमों के लिए आरोहण समय 0% से 100% होता है, अतिपूर्ण क्रम के सिस्टमों के लिए 5% से 95% होता है, और अतिपूर्ण क्रम के सिस्टमों के लिए 10% से 90% होता है।

आरोहण समय समीकरण

समय क्षेत्र विश्लेषण में गणना के लिए, हम पहली क्रम और द्वितीय क्रम के सिस्टम को ध्यान में रखते हैं।

इसलिए, आरोहण समय के लिए सूत्र की गणना करने के लिए, हम पहली क्रम और द्वितीय क्रम के सिस्टम को ध्यान में रखते हैं।

पहली क्रम के सिस्टम का आरोहण समय

पहली क्रम के सिस्टम को निम्न बंद लूप ट्रांसफर फंक्शन द्वारा ध्यान में रखा जाता है।

$G(s) = \frac{1}{Ts+1} = \frac{b}{s+a}$

स्थानांतरण फलन में T को समय नियतांक के रूप में परिभाषित किया गया है। प्रथम-क्रम प्रणाली के समय-डोमेन विशेषताएं समय नियतांक T के पदों में गणना की जाती हैं।

अब, मान लीजिए कि बंद लूप प्रणाली का संदर्भ इनपुट एक इकाई स्टेप फंक्शन है। और इसे लाप्लास रूपांतरण के पदों में निम्न प्रकार परिभाषित किया गया है;

$R(s) = \frac{1}{s}$

इसलिए, आउटपुट सिग्नल निम्न प्रकार परिभाषित किया जाएगा;

$C(s) = G(s) R(s)$

$C(s) = \frac{1}{Ts+1} \times \frac{1}{s}$

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}} \times \frac{1}{s}$

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}$

आंशिक भिन्नों का उपयोग करके इस समीकरण को हल करें;

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

अब, A₁ और A₂ के मान ज्ञात कीजिए;

$\frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}} = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}$

$A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s = \frac{1}{T}$

s=0 के लिए;

$A_1(0+\frac{1}{T}) + A_2 (0) = \frac{1}{T}$

$A_1 \frac{1}{T} = \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

s=-1/T के लिए;

$A_1(\frac{-1}{T} + \frac{1}{T}) + A_2 (\frac{-1}{T}) = \frac{1}{T}$

$A_1 (0) - A_2 \frac{1}{T} = \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

इसलिए,

$C(s) = \frac{1}{s} + \frac{-1}{s+\frac{1}{T}}$

लाप्लास का व्युत्क्रम लेने पर;

$C(t) = L^{-1} \left[ \frac{1}{s} -\frac{1}{s+\frac{1}{T}} \right]$

$C(t) = 1-e^{\frac{-t}{T}}$

अब, हम अंतिम मान के 10% और 90% के बीच के उठन समय की गणना करते हैं।

$C(t_{10}) = 0.10 \quad and \quad C(t_{90}) = 0.90$

$0.10 = 1 - e^{\frac{t_{10}}{T}}$

$e^{\frac{t_{10}}{T}} = 1-0.10$

$e^{\frac{t_{10}}{T}} = 0.9$

$\frac{-t_{10}}{T} = ln(0.9)$

$t_{10} = -T ln(0.9)$

$t_{10} = -T (-0.1053)$

$t_{10} = 0.1053T$

इसी प्रकार;

$0.90 = 1 - e^{\frac{t_{90}}{T}}$

$e^{\frac{t_{90}}{T}} = 1 - 0.9$

$e^{\frac{t_{90}}{T}} = 0.1$

$\frac{-t_{90}}{T} = ln(0.1)$

$t_{90} = -T (-2.3025)$

$t_{90} = 2.3025T$

अब, उत्थान समय tr;

$t_r = t_{90} - t_{10}$

$t_r = 2.3025T - 0.1053T$

$t_r = 2.197 T$

$t_r \approx 2.2T = \frac{2.2}{a}$

द्वितीयक क्रम प्रणाली का उत्थान समय

द्वितीयक क्रम प्रणाली में, उत्थान समय अपर्याप्त डैम्प्ड प्रणाली के लिए 0% से 100% तक, अतिडैम्प्ड प्रणाली के लिए 10% से 90% तक, और समान डैम्प्ड प्रणाली के लिए 5% से 95% तक कैलकुलेट किया जाता है।

यहाँ, हम द्वितीयक क्रम प्रणाली के उत्थान समय की गणना पर चर्चा करेंगे। और द्वितीयक क्रम प्रणाली के लिए समीकरण है;

$C(t) = 1-\frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi)$

उत्थान समय को t_r से दर्शाया जाता है।

$C(t) = C(t_r) = 1$

$1 = 1 - \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi)$

$\frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi) = 0$

$साइन(\omega_d t_r + \phi) = 0$

$साइन(\omega_d t_r + \phi) = साइन(\pi)$

$(\omega_d t_r + \phi) = (\pi)$

$\omega_d t_r = \pi - \phi$

$t_r = \frac{\pi - \phi}{\omega_d}$

जहाँ,

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$\phi = tan^{-1} (\frac{\sqrt{1-\zeta^2})}{\zeta}$

इसलिए, राइज़ टाइम का अंतिम सूत्र है;

$t_r = \frac{\pi - tan^{-1} (\frac{\sqrt{1-\zeta^2})}{\zeta}}{\omega_n \sqrt{1-\zeta^2} }$

राइज़ टाइम कैसे कैलकुलेट करें?

पहली क्रम प्रणाली

उदाहरण के लिए, पहली क्रम प्रणाली का राइज़ टाइम ज्ञात करें। पहली क्रम प्रणाली का ट्रांसफर फंक्शन नीचे दिए गए समीकरण में दिखाया गया है।

$G(s) = \frac{5}{s+2}$

स्थानांतरण फंक्शन को मानक स्थानांतरण फंक्शन के रूप से तुलना कीजिए।

$G(s) = \frac{b}{s+a}$

इसलिए; a=2 और b=5;

पहले क्रम के प्रणाली के लिए उठने का समय समीकरण है;

$t_r = \frac{2.2}{a}$

$t_r = \frac{2.2}{2}$

$t_r = 1.1 sec$

द्वितीय क्रम प्रणाली

प्राकृतिक आवृत्ति 5 रेडियन/सेकंड और डैम्पिंग अनुपात 0.6 वाली द्वितीय क्रम प्रणाली का उत्थान समय ज्ञात कीजिए।

$\omega_n = 5 rad/sec$

$\zeta = 0.6$

द्वितीय क्रम प्रणाली के लिए उत्थान समय का समीकरण है;

$t_r = \frac{\pi - \phi}{\omega_d}$

अब, हमें फ़ाई और ओमेगाd का मान ज्ञात करना होगा।

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-\zeta^2}}{\zeta} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-0.6 ^2}}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-0.36}}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{0.8}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} (1.33)$

$\phi = 0.9272 rad$

अब, ωd के लिए,

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$\omega_d = 5 \times 0.8$

$\omega_d = 4 rad/sec$

इन मानों को उठाने के समय के समीकरण में रखें;

$t_r = \frac{3.14-0.9272}{4}$

$t_r = \frac{2.2128}{4}$

$t_r = 0.5532 sec$

क्यों राइज़ टाइम 10% से 90% तक होता है?

राइज़ टाइम की गणना करने के लिए, 10% से 90% तक समय मापना अनिवार्य नहीं है।

लेकिन अधिकांश मामलों में, राइज़ टाइम इन मानों के बीच ही गणना की जाती है।

हम इन मानों का उपयोग करते हैं क्योंकि सिग्नलों के अंतिम मानों के बहुत पहले और बहुत बाद में उनके तरंग रूप बहुत अलग हो सकते हैं।

उदाहरण के लिए, नीचे दिए गए स्विचिंग पैटर्न को देखें:

कुछ समय तक इसका मूल्य लगभग शून्य था, फिर बढ़कर अपने अंतिम मूल्य तक पहुंच गया।

जब मूल्य शून्य था, उस समय से "उत्थान समय" की गणना करना उचित नहीं होगा, क्योंकि यह इस बीच की स्थिति (स्पष्ट रूप से Tr की शुरुआत में कोई ट्रिगर हुआ था) के दौरान संकेत उत्थान के लिए लिए गए समय का प्रतिनिधित्व नहीं करेगा।

अंतिम भाग में, हम 100% के बजाय 90% का उपयोग करते हैं, क्योंकि अक्सर संकेत अपने अंतिम मूल्य तक कभी नहीं पहुंचते।

लघुगणकीय ग्राफ की तरह, यह कभी 100% तक नहीं पहुंचेगा, और ग्राफ की ढलान समय के साथ घटती जाती है।

इसलिए सारांश में: स्विचिंग डिवाइसों के शुरुआती और अंतिम चरणों में विभिन्न स्विचिंग पैटर्न होते हैं।

लेकिन इन चरणों के बीच के अंतरण के दौरान, सभी डिवाइसों के लिए एक समान उत्थान पैटर्न होता है। और इस अंतरण के 10% से 90% की माप आम तौर पर विस्तृत सीमा के डिवाइसों के लिए उत्थान समय का एक उचित प्रतिनिधित्व देती है।

इसलिए, अधिकांश स्थितियों में, हम 10% और 90% के बीच उत्थान समय की गणना करते हैं।

उत्थान समय बनाम गिरावट समय

गिरावट समय को एक संकेत के एक निर्दिष्ट मूल्य (X) से दूसरे निर्दिष्ट मूल्य (Y) तक गिरने (कम होने) में लगने वाला समय के रूप में परिभाषित किया जाता है।

अधिकांश मामलों में, ऊपरी निर्दिष्ट मूल्य (X) चरम मूल्य का 90% और निचला निर्दिष्ट मूल्य चरम मूल्य का 10% होता है। नीचे गिरावट समय को दर्शाने वाला एक आरेख दिखाया गया है।

rise time vs fall time — उत्थान समय बनाम गिरावट समय

इस तरह, गिरावट समय की गणना करने के तरीके में उत्थान समय का विपरीत माना जा सकता है।

लेकिन यह महत्वपूर्ण है कि गिरावट का समय आवर्तन समय के बराबर ज़रूरी नहीं है।

जब तक आपको एक सममित तरंग (जैसे, साइन तरंग) नहीं हो, आवर्तन समय और गिरावट का समय स्वतंत्र होते हैं।

और आवर्तन समय और गिरावट के समय के बीच कोई सामान्यीकृत संबंध नहीं है। दोनों मात्राएँ नियंत्रण प्रणालियों और डिजिटल इलेक्ट्रॉनिक्स में सिग्नल विश्लेषण के लिए महत्वपूर्ण भूमिका निभाती हैं।

आवर्तन समय और बैंडविड्थ

सिग्नल को व्यावहारिक रूप से मापने के लिए, हम ओसिलोस्कोप का उपयोग करते हैं। अगर हम जानते हैं कि सिग्नल का आवर्तन समय कितना है, तो हम परीक्षण के लिए सिग्नल का बैंडविड्थ ज्ञात कर सकते हैं।

यह ओसिलोस्कोप को चुनने में मदद करेगा, जिसका बैंडविड्थ अधिक या बराबर होगा। और यह ओसिलोस्कोप में सटीक दिखावट देगा।

अगर हम जानते हैं कि सिग्नल का आवर्तन समय कितना है, तो हम जान सकते हैं कि ओसिलोस्कोप सिग्नल को कितना धीमा करेगा और इसके आवर्तन समय में कितना जोड़ देगा।

बैंडविड्थ (BW) और आवर्तन समय (tr) के बीच का संबंध नीचे दिए गए सूत्र से व्यक्त किया जाता है।

$BW \approx \frac{0.35}{t_r}$