Temps d'ascens: Què és? (Equació i com calcular-lo)

Camp: Electricitat bàsica

China

què és el temps de pujada

Què és el temps de pujada?

El temps de pujada es defineix com el temps que triga un senyal a creuar d'un valor baix especificat a un valor alt especificat. En electrònica analògica i digital, els valors especificats inferior i superior són el 10% i el 90% del valor final o estacionari. Així doncs, el temps de pujada es defineix típicament com el temps que triga un senyal a anar del 10% al 90% del seu valor final.

El temps de pujada és un paràmetre essencial en sistemes analògics i digitals. Descriu el temps que triga la sortida a pujar d'un nivell a un altre en un sistema analògic, amb moltes implicacions en el món real. El temps de pujada ens indica quant de temps passa un senyal en l'estat intermedi entre dos nivells lògics vàlids en un sistema digital.

En la teoria de control, el temps de pujada es defineix com el temps que triga la resposta a pujar des de X% a Y% del seu valor final. Els valors de X i Y varien segons el tipus de sistema.

El temps de pujada per als sistemes de segon ordre subamortits és del 0% al 100%, per als sistemes críticament amortits és del 5% al 95%, i per als sistemes sobreamortits és del 10% al 90%.

Equació del temps de pujada

Per al càlcul en l'anàlisi de domini temporal, considerem el sistema de primer ordre i el sistema de segon ordre.

Així doncs, per calcular la fórmula del temps de pujada, considerem sistemes de primer i segon ordre.

Temps de pujada d'un sistema de primer ordre

El sistema de primer ordre es considera a través de la següent funció de transferència tancada.

$G(s) = \frac{1}{Ts+1} = \frac{b}{s+a}$

En la funció de transferència, T es defineix com una constant de temps. Les característiques en el domini del temps del sistema d'ordre primer es calculen en termes de la constant de temps T.

Ara, assumim que la entrada de referència del sistema tancat és una funció de pas unitari. I es defineix en termes de transformada de Laplace com:

$R(s) = \frac{1}{s}$

Per tant, la senyal de sortida es definirà com:

$C(s) = G(s) R(s)$

$C(s) = \frac{1}{Ts+1} \times \frac{1}{s}$

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}} \times \frac{1}{s}$

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}$

Resolgueu aquesta equació utilitzant fraccions parcials;

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

Ara, trobeu els valors de A1 i A2;

$\frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}} = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}$

$A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s = \frac{1}{T}$

Per s=0;

$A_1(0+\frac{1}{T}) + A_2 (0) = \frac{1}{T}$

$A_1 \frac{1}{T} = \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

Per s=-1/T;

$A_1(\frac{-1}{T} + \frac{1}{T}) + A_2 (\frac{-1}{T}) = \frac{1}{T}$

$A_1 (0) - A_2 \frac{1}{T} = \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

Per tant,

$C(s) = \frac{1}{s} + \frac{-1}{s+\frac{1}{T}}$

Prengent la transformada de Laplace inversa;

$C(t) = L^{-1} \left[ \frac{1}{s} -\frac{1}{s+\frac{1}{T}} \right]$

$C(t) = 1-e^{\frac{-t}{T}}$

Ara, calculem el temps d'ascens entre el 10% i el 90% del valor final.

$C(t_{10}) = 0.10 \quad i \quad C(t_{90}) = 0.90$

$0.10 = 1 - e^{\frac{t_{10}}{T}}$

$e^{\frac{t_{10}}{T}} = 1-0.10$

$e^{\frac{t_{10}}{T}} = 0.9$

$\frac{-t_{10}}{T} = ln(0.9)$

$t_{10} = -T ln(0.9)$

$t_{10} = -T (-0.1053)$

$t_{10} = 0.1053T$

De la mateixa manera;

$0.90 = 1 - e^{\frac{t_{90}}{T}}$

$e^{\frac{t_{90}}{T}} = 1 - 0.9$

$e^{\frac{t_{90}}{T}} = 0.1$

$\frac{-t_{90}}{T} = ln(0.1)$

$t_{90} = -T (-2.3025)$

$t_{90} = 2.3025T$

Ara, per al temps de pujada tr;

$t_r = t_{90} - t_{10}$

$t_r = 2.3025T - 0.1053T$

$t_r = 2.197 T$

$t_r \approx 2.2T = \frac{2.2}{a}$

Temps d'ascens d'un sistema de segon ordre

En un sistema de segon ordre, el temps d'ascens es calcula del 0% al 100% per a un sistema subamortit, del 10% al 90% per a un sistema sobreamortit, i del 5% al 95% per a un sistema críticament amortit.

Aquí, discutirem el càlcul del temps d'ascens per a un sistema de segon ordre. I l'equació per a un sistema de segon ordre és:

$C(t) = 1-\frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi)$

El temps d'ascens es denota com tr.

$C(t) = C(t_r) = 1$

$1 = 1 - \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi)$

$\frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi) = 0$

$sin(\omega_d t_r + \phi) = 0$

$sin(\omega_d t_r + \phi) = sin(\pi)$

$(\omega_d t_r + \phi) = (\pi)$

$\omega_d t_r = \pi - \phi$

$t_r = \frac{\pi - \phi}{\omega_d}$

On,

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$\phi = tan^{-1} (\frac{\sqrt{1-\zeta^2})}{\zeta}$

Per tant, la fórmula final del temps de pujada és;

$t_r = \frac{\pi - tan^{-1} (\frac{\sqrt{1-\zeta^2})}{\zeta}}{\omega_n \sqrt{1-\zeta^2} }$

Com Calcular el Temps de Pujada?

Sistema d'Ordre Un

Per exemple, trobeu el temps de pujada d'un sistema d'ordre un. La funció de transferència d'un sistema d'ordre un es mostra en l'equació següent.

$G(s) = \frac{5}{s+2}$

Compareu la funció de transferència amb la forma estàndard de la funció de transferència.

$G(s) = \frac{b}{s+a}$

Així doncs; a=2 i b=5;

L'equació del temps de pujada per a un sistema d'ordre u és;

$t_r = \frac{2.2}{a}$

$t_r = \frac{2.2}{2}$

$t_r = 1.1 sec$

Sistema d'ordre dos

Troba el temps de pujada d'un sistema d'ordre dos amb una freqüència natural de 5 rad/sec i un coeficient d'amortigament de 0.6.

$\omega_n = 5 rad/sec$

$\zeta = 0.6$

L'equació del temps de pujada per a un sistema d'ordre dos és;

$t_r = \frac{\pi - \phi}{\omega_d}$

Ara, hem de trobar el valor de ф i ωd.

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-\zeta^2}}{\zeta} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-0.6 ^2}}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-0.36}}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{0.8}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} (1.33)$

$\phi = 0.9272 rad$

Ara, per ωd,

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$\omega_d = 5 \times 0.8$

$\omega_d = 4 rad/sec$

Introduïu aquests valors en l'equació del temps de pujada;

$t_r = \frac{3.14-0.9272}{4}$

$t_r = \frac{2.2128}{4}$

$t_r = 0.5532 sec$

Per què el temps de pujada és del 10% al 90%?

Per calcular el temps de pujada, no és obligatori que mesurém el temps entre el 10% i el 90%.

Però en la majoria de casos, el temps de pujada es calcula entre aquests valors.

Utilitzem aquests valors perquè els senyals poden tenir ones molt diferents en les primeres i últimes parts dels seus valors finals.

Per exemple, prenem el patró de commutació següent:

Aquest valor va ser aproximadament zero durant un cert temps abans de començar a pujar i arribar al seu valor final.

No seria apropiat calcular el "temps d'ascens" des del moment en què el valor era zero, ja que això no seria representatiu del temps necessari per a la senyal per a pujar durant aquest estat intermedi (clarament hi havia algun disparador que es va produir al principi de Tr).

Al final, utilitzem el 90% en lloc del 100% perquè sovint les senyals mai arriben al seu valor final.

Similar a com és el gràfic logarítmic, mai arribarà al 100%, amb la pendient del gràfic disminuint amb el temps.

Per resumir: els dispositius de commutació tenen patrons de commutació diferents als inicis i finals.

Però durant la transició entre aquests estats, tots els dispositius tenen un patró d'ascens similar. I mesurar el 10% al 90% d'aquesta transició normalment proporciona una representació justa del temps d'ascens en una ampla gamma de dispositius.

Per tant, en la majoria de les condicions, calculem el temps d'ascens entre el 10% i el 90%.

Temps d'ascens vs Temps de descens

El temps de descens es defineix com el temps que triga una senyal per baixar (disminuir) d'un valor especificat (X) a un altre valor especificat (Y).

En la majoria de casos, el valor superior especificat (X) és el 90% del valor màxim i el valor inferior especificat és el 10% del valor màxim. Un diagrama que il·lustra el temps de descens es mostra a continuació.

rise time vs fall time — Temps d'ascens vs Temps de descens

D'alguna manera, el temps de descens pot considerar-se l'invers del temps d'ascens, en termes de com es calcula.

Cal important subratllar que el temps de caiguda no és necessàriament igual al temps d'ascens.

A menys que tingueu una ona simètrica (com una ona sinusoïdal), el temps d'ascens i el temps de caiguda són independents.

I no hi ha cap relació generalitzada entre el temps d'ascens i el temps de caiguda. Ambdues magnituds juguen un paper vital en l'anàlisi de senyals en sistemes de control i electrònica digital.

Temps d'ascens i amplada de banda

Per mesurar el senyal de manera pràctica, utilitzem un oscil·loscopi. Si coneixem el temps d'ascens del senyal, podem trobar l'amplada de banda del senyal per a la prova.

Això ens ajudarà a triar un oscil·loscopi amb una amplada de banda més gran o igual. I proporcionarà resultats de visualització precisos en l'oscil·loscopi.

Si coneixem el temps d'ascens del senyal, podem saber quant retardarà l'oscil·loscopi el senyal i quan augmentarà el seu temps d'ascens.

La relació entre l'amplada de banda (BW) i el temps d'ascens (tr) es expressa amb la fórmula següent.

$BW \approx \frac{0.35}{t_r}$

La fórmula anterior assumeix que el temps d'ascens es mesura en el rang del 10% al 90% del valor final.

Les unitats convenients per a l'amplada de banda són MHz o GHz i per al temps d'ascens μs o ns.

Si els amplificadors d'entrada d'un oscil·loscopi tenen una resposta de freqüència simple, el numerador 0,35 dóna un resultat precís.

Però molts oscil·loscopis tenen una disminució més ràpida per donar una resposta de freqüència més plana en la banda passant. En aquesta condició, el numerador s'incrementa a 0,45 o més.

Per exemple, quan es mostra una ona quadrada en un oscil·loscopi, té un temps d'ascens del 10-90% de 1ns. Quina serà la llargària d'ona aproximada de l'oscil·loscopi?

Substituint aquests números a la fórmula anterior,

$BW = \frac{3.5}{10^{-9}} = 3.5 \times 10^{-9} = 350MHz$