Tiempo de subida: ¿Qué es? (Ecuación y cómo calcularlo)

Campo: Electricidad Básica

China

qué es el tiempo de subida

¿Qué es el tiempo de subida?

El tiempo de subida se define como el tiempo que tarda una señal en pasar de un valor bajo especificado a un valor alto especificado. En electrónica analógica y digital, los valores inferiores y superiores especificados son el 10% y el 90% del valor final o de estado estable. Por lo tanto, el tiempo de subida se define típicamente como el tiempo que tarda una señal en pasar del 10% al 90% de su valor final.

El tiempo de subida es un parámetro esencial en sistemas analógicos y digitales. Describe el tiempo que tarda la salida en aumentar de un nivel a otro en un sistema analógico, lo cual tiene muchas implicaciones en la vida real. El tiempo de subida nos indica cuánto tiempo pasa una señal en el estado intermedio entre dos niveles lógicos válidos en un sistema digital.

En la teoría de control, el tiempo de subida se define como el tiempo que tarda la respuesta en aumentar desde el X% hasta el Y% de su valor final. Los valores de X e Y varían según el tipo de sistema.

El tiempo de subida para sistemas de segundo orden subamortiguados es del 0% al 100%, para sistemas críticamente amortiguados es del 5% al 95%, y para sistemas sobreamortiguados es del 10% al 90%.

Ecuación del tiempo de subida

Para el cálculo en el análisis de dominio de tiempo, consideramos el sistema de primer orden y el sistema de segundo orden.

Por lo tanto, para calcular la fórmula del tiempo de subida, consideramos sistemas de primer y segundo orden.

Tiempo de subida de un sistema de primer orden

El sistema de primer orden se considera mediante la siguiente función de transferencia en bucle cerrado.

$G(s) = \frac{1}{Ts+1} = \frac{b}{s+a}$

En la función de transferencia, T se define como una constante de tiempo. Las características en el dominio del tiempo del sistema de primer orden se calculan en términos de la constante de tiempo T.

Ahora, suponga que la entrada de referencia del sistema en bucle cerrado es una función escalón unitario. Y se define en términos de la transformada de Laplace como;

$R(s) = \frac{1}{s}$

Por lo tanto, la señal de salida se definirá como;

$C(s) = G(s) R(s)$

$C(s) = \frac{1}{Ts+1} \times \frac{1}{s}$

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}} \times \frac{1}{s}$

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}$

Resuelva esta ecuación usando fracciones parciales;

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

Ahora, encuentre los valores de A1 y A2;

$\frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}} = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}$

$A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s = \frac{1}{T}$

Para s=0;

$A_1(0+\frac{1}{T}) + A_2 (0) = \frac{1}{T}$

$A_1 \frac{1}{T} = \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

Para s=-1/T;

$A_1(\frac{-1}{T} + \frac{1}{T}) + A_2 (\frac{-1}{T}) = \frac{1}{T}$

$A_1 (0) - A_2 \frac{1}{T} = \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

Por lo tanto,

$C(s) = \frac{1}{s} + \frac{-1}{s+\frac{1}{T}}$

Tomando la transformada inversa de Laplace;

$C(t) = L^{-1} \left[ \frac{1}{s} -\frac{1}{s+\frac{1}{T}} \right]$

$C(t) = 1-e^{\frac{-t}{T}}$

Ahora, calculamos el tiempo de subida entre el 10% y el 90% del valor final.

$C(t_{10}) = 0.10 \quad and \quad C(t_{90}) = 0.90$

$0.10 = 1 - e^{\frac{t_{10}}{T}}$

$e^{\frac{t_{10}}{T}} = 1-0.10$

$e^{\frac{t_{10}}{T}} = 0.9$

$\frac{-t_{10}}{T} = ln(0.9)$

$t_{10} = -T ln(0.9)$

$t_{10} = -T (-0.1053)$

$t_{10} = 0.1053T$

De manera similar;

$0.90 = 1 - e^{\frac{t_{90}}{T}}$

$e^{\frac{t_{90}}{T}} = 1 - 0.9$

$e^{\frac{t_{90}}{T}} = 0.1$

$\frac{-t_{90}}{T} = ln(0.1)$

$t_{90} = -T (-2.3025)$

$t_{90} = 2.3025T$

Ahora, para el tiempo de subida tr;

$t_r = t_{90} - t_{10}$

$t_r = 2.3025T - 0.1053T$

$t_r = 2.197 T$

$t_r \approx 2.2T = \frac{2.2}{a}$

Tiempo de subida de un sistema de segundo orden

En un sistema de segundo orden, el tiempo de subida se calcula desde el 0% al 100% para el sistema subamortiguado, del 10% al 90% para el sistema sobreamortiguado y del 5% al 95% para el sistema críticamente amortiguado.

Aquí, discutiremos el cálculo del tiempo de subida para un sistema de segundo orden. Y la ecuación para un sistema de segundo orden es;

$C(t) = 1-\frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi)$

El tiempo de subida se denota como tr.

$C(t) = C(t_r) = 1$

$1 = 1 - \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \sin(\omega_d t_r + \phi)$

$\frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \sin(\omega_d t_r + \phi) = 0$

$\sin(\omega_d t_r + \phi) = 0$

$\sin(\omega_d t_r + \phi) = \sin(\pi)$

$(\omega_d t_r + \phi) = (\pi)$

$\omega_d t_r = \pi - \phi$

$t_r = \frac{\pi - \phi}{\omega_d}$

Donde,

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$\phi = tan^{-1} (\frac{\sqrt{1-\zeta^2})}{\zeta}$

Por lo tanto, la fórmula final del tiempo de subida es;

$t_r = \frac{\pi - tan^{-1} (\frac{\sqrt{1-\zeta^2})}{\zeta}}{\omega_n \sqrt{1-\zeta^2} }$

Cómo calcular el tiempo de subida?

Sistema de primer orden

Por ejemplo, encuentre el tiempo de subida de un sistema de primer orden. La función de transferencia de un sistema de primer orden se muestra en la ecuación siguiente.

$G(s) = \frac{5}{s+2}$

Compare la función de transferencia con la forma estándar de la función de transferencia.

$G(s) = \frac{b}{s+a}$

Por lo tanto; a=2 y b=5;

La ecuación del tiempo de subida para un sistema de primer orden es;

$t_r = \frac{2.2}{a}$

$t_r = \frac{2.2}{2}$

$t_r = 1.1 sec$

Sistema de segundo orden

Encuentre el tiempo de subida de un sistema de segundo orden con una frecuencia natural de 5 rad/s y una relación de amortiguamiento de 0.6.

$\omega_n = 5 rad/sec$

$\zeta = 0.6$

La ecuación del tiempo de subida para un sistema de segundo orden es;

$t_r = \frac{\pi - \phi}{\omega_d}$

Ahora, necesitamos encontrar el valor de ф y ωd.

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-\zeta^2}}{\zeta} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-0.6 ^2}}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-0.36}}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{0.8}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} (1.33)$

$\phi = 0.9272 rad$

Ahora, para ωd,

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$\omega_d = 5 \times 0.8$

$\omega_d = 4 rad/sec$

Introduzca estos valores en la ecuación del tiempo de subida;

$t_r = \frac{3.14-0.9272}{4}$

$t_r = \frac{2.2128}{4}$

$t_r = 0.5532 sec$

¿Por qué el tiempo de subida es del 10% al 90%?

Para calcular el tiempo de subida, no es obligatorio medir el tiempo entre el 10% y el 90%.

Sin embargo, en la mayoría de los casos, el tiempo de subida se calcula entre estos valores.

Utilizamos estos valores porque las señales pueden tener formas de onda muy diferentes en las primeras y últimas porciones de sus valores finales.

Por ejemplo, considere el patrón de conmutación siguiente:

Esto estuvo en un valor aproximado de cero durante algún tiempo antes de subir y alcanzar su valor final.

No sería apropiado calcular el “tiempo de subida” desde que el valor estaba en cero, ya que esto no representaría el tiempo que tomó para que la señal subiera durante este estado intermedio (claramente hubo algún disparador que ocurrió al inicio de Tr).

En el extremo final, usamos el 90% en lugar del 100% porque a menudo las señales nunca llegan a su valor final.

Similar a cómo se ve un gráfico logarítmico, nunca llegará exactamente al 100%, con la pendiente del gráfico disminuyendo con el tiempo.

Para resumir: los dispositivos de conmutación tienen diferentes patrones de conmutación en las etapas de inicio y finalización.

Pero durante la transición entre estas etapas, todos los dispositivos tienen un patrón de subida similar. Y medir del 10% al 90% de esta transición generalmente da una representación justa del tiempo de subida en una amplia gama de dispositivos.

Por lo tanto, en la mayoría de las condiciones, calculamos el tiempo de subida entre el 10% y el 90%.

Tiempo de Subida vs Tiempo de Descenso

El tiempo de descenso se define como el tiempo que toma una señal para caer (disminuir) de un valor especificado (X) a otro valor especificado (Y).

En la mayoría de los casos, el valor superior especificado (X) es el 90% del valor pico y el valor inferior especificado es el 10% del valor pico. Un diagrama que ilustra el tiempo de descenso se muestra a continuación.

rise time vs fall time — Tiempo de Subida vs Tiempo de Descenso

Así, en cierto sentido, el tiempo de descenso puede considerarse el inverso del tiempo de subida, en términos de cómo se calcula.

Es importante subrayar que el tiempo de caída no es necesariamente igual al tiempo de subida.

A menos que tengas una onda simétrica (como una onda sinusoidal), el tiempo de subida y el tiempo de caída son independientes.

Y no existe una relación generalizada entre el tiempo de subida y el tiempo de caída. Ambas cantidades desempeñan un papel vital en el análisis de señales en sistemas de control y electrónica digital.

Tiempo de subida y ancho de banda

Para medir la señal de manera práctica, usamos un osciloscopio. Si conocemos el tiempo de subida de la señal, podemos encontrar el ancho de banda de la señal para las pruebas.

Esto ayudará a elegir un osciloscopio con un ancho de banda mayor o igual. Y proporcionará resultados de visualización precisos en el osciloscopio.

Si conocemos el tiempo de subida de la señal, podemos determinar cuánto ralentizará el osciloscopio la señal y cuánto añadirá a su tiempo de subida.

La relación entre el ancho de banda (BW) y el tiempo de subida (tr) se expresa con la fórmula siguiente.

$BW \approx \frac{0.35}{t_r}$

La fórmula anterior asume que el tiempo de subida se mide en el rango del 10% al 90% del valor final.

Las unidades convenientes para el ancho de banda son MHz o GHz y para el tiempo de subida μs o ns.

Si los amplificadores de entrada de un osciloscopio tienen una respuesta de frecuencia simple, el numerador 0.35 da un resultado preciso.

Pero muchos osciloscopios tienen un desvanecimiento más rápido para dar una respuesta de frecuencia más plana en la banda de paso. En esta condición, el numerador aumenta a 0.45 o más.

Por ejemplo, cuando una onda cuadrada se muestra en un osciloscopio, tiene un tiempo de subida del 10-90% de 1ns. ¿Cuál será la ancho de banda aproximado del osciloscopio?

Al sustituir estos números en la fórmula anterior,

$BW = \frac{3.5}{10^{-9}} = 3.5 \times 10^{-9} = 350MHz$