Tempo de Subida: O que é? (Equação e Como Calculá-lo)

Campo: Eletricidade Básica

China

o que é tempo de subida

O que é Tempo de Subida?

O tempo de subida é definido como o tempo necessário para um sinal passar de um valor baixo especificado para um valor alto especificado. Em eletrônica analógica e digital, os valores baixo e alto especificados são 10% e 90% do valor final ou de estado estacionário. Portanto, o tempo de subida é tipicamente definido como o tempo que leva para um sinal ir de 10% a 90% de seu valor final.

O tempo de subida é um parâmetro essencial em sistemas analógicos e digitais. Ele descreve o tempo necessário para a saída subir de um nível para outro em um sistema analógico, o que tem muitas implicações no mundo real. O tempo de subida nos informa quanto tempo um sinal permanece no estado intermediário entre dois níveis lógicos válidos em um sistema digital.

Na teoria de controle, o tempo de subida é definido como o tempo necessário para a resposta subir de X% a Y% de seu valor final. Os valores de X e Y variam de acordo com o tipo de sistema.

O tempo de subida para sistemas de segunda ordem subamortecidos é de 0% a 100%, para sistemas criticamente amortecidos é de 5% a 95%, e para sistemas superamortecidos é de 10% a 90%.

Equação do Tempo de Subida

Para o cálculo na análise no domínio do tempo, consideramos o sistema de primeira ordem e o sistema de segunda ordem.

Portanto, para calcular a fórmula do tempo de subida, consideramos sistemas de primeira e segunda ordem.

Tempo de Subida de um Sistema de Primeira Ordem

O sistema de primeira ordem é considerado pela seguinte função de transferência em malha fechada.

$G(s) = \frac{1}{Ts+1} = \frac{b}{s+a}$

Na função de transferência, T é definido como uma constante de tempo. As características no domínio do tempo do sistema de primeira ordem são calculadas em termos da constante de tempo T.

Agora, suponha que a entrada de referência do sistema de malha fechada seja uma função degrau unitário. E é definida em termos da transformada de Laplace como;

$R(s) = \frac{1}{s}$

Portanto, o sinal de saída será definido como;

$C(s) = G(s) R(s)$

$C(s) = \frac{1}{Ts+1} \times \frac{1}{s}$

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}} \times \frac{1}{s}$

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}$

Resolva esta equação usando frações parciais;

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

Agora, encontre os valores de A1 e A2;

$\frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}} = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}$

$A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s = \frac{1}{T}$

Para s=0;

$A_1(0+\frac{1}{T}) + A_2 (0) = \frac{1}{T}$

$A_1 \frac{1}{T} = \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

Para s=-1/T;

$A_1(\frac{-1}{T} + \frac{1}{T}) + A_2 (\frac{-1}{T}) = \frac{1}{T}$

$A_1 (0) - A_2 \frac{1}{T} = \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

Portanto,

$C(s) = \frac{1}{s} + \frac{-1}{s+\frac{1}{T}}$

Tomando a transformada inversa de Laplace;

$C(t) = L^{-1} \left[ \frac{1}{s} -\frac{1}{s+\frac{1}{T}} \right]$

$C(t) = 1-e^{\frac{-t}{T}}$

Agora, calculamos o tempo de subida entre 10% e 90% do valor final.

$C(t_{10}) = 0,10 \quad e \quad C(t_{90}) = 0,90$

$0,10 = 1 - e^{\frac{t_{10}}{T}}$

$e^{\frac{t_{10}}{T}} = 1-0,10$

$e^{\frac{t_{10}}{T}} = 0.9$

$\frac{-t_{10}}{T} = ln(0.9)$

$t_{10} = -T ln(0.9)$

$t_{10} = -T (-0.1053)$

$t_{10} = 0.1053T$

De forma semelhante;

$0.90 = 1 - e^{\frac{t_{90}}{T}}$

$e^{\frac{t_{90}}{T}} = 1 - 0.9$

$e^{\frac{t_{90}}{T}} = 0.1$

$\frac{-t_{90}}{T} = ln(0.1)$

$t_{90} = -T (-2.3025)$

$t_{90} = 2.3025T$

Agora, para o tempo de subida tr;

$t_r = t_{90} - t_{10}$

$t_r = 2.3025T - 0.1053T$

$t_r = 2.197 T$

$t_r \approx 2.2T = \frac{2.2}{a}$

Tempo de Subida de um Sistema de Segunda Ordem

Em um sistema de segunda ordem, o tempo de subida é calculado de 0% a 100% para o sistema subamortecido, de 10% a 90% para o sistema superamortecido e de 5% a 95% para o sistema criticamente amortecido.

Aqui, discutiremos o cálculo do tempo de subida para um sistema de segunda ordem. E a equação para um sistema de segunda ordem é;

$C(t) = 1-\frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi)$

O tempo de subida é denotado por tr.

$C(t) = C(t_r) = 1$

$1 = 1 - \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi)$

$\frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi) = 0$

$\sin(\omega_d t_r + \phi) = 0$

$\sin(\omega_d t_r + \phi) = \sin(\pi)$

$(\omega_d t_r + \phi) = (\pi)$

$\omega_d t_r = \pi - \phi$

$t_r = \frac{\pi - \phi}{\omega_d}$

Onde,

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$\phi = tan^{-1} (\frac{\sqrt{1-\zeta^2})}{\zeta}$

Portanto, a fórmula final do tempo de subida é;

$t_r = \frac{\pi - tan^{-1} (\frac{\sqrt{1-\zeta^2})}{\zeta}}{\omega_n \sqrt{1-\zeta^2} }$

Como Calcular o Tempo de Subida?

Sistema de Primeira Ordem

Por exemplo, encontre o tempo de subida de um sistema de primeira ordem. A função de transferência de um sistema de primeira ordem é mostrada na equação abaixo.

$G(s) = \frac{5}{s+2}$

Compare a função de transferência com a forma padrão da função de transferência.

$G(s) = \frac{b}{s+a}$

Portanto; a=2 e b=5;

A equação do tempo de subida para um sistema de primeira ordem é;

$t_r = \frac{2.2}{a}$

$t_r = \frac{2.2}{2}$

$t_r = 1.1 sec$

Sistema de Segunda Ordem

Encontre o tempo de subida de um sistema de segunda ordem com uma frequência natural de 5 rad/s e uma razão de amortecimento de 0,6.

$\omega_n = 5 rad/sec$

$\zeta = 0.6$

A equação do tempo de subida para um sistema de segunda ordem é:

$t_r = \frac{\pi - \phi}{\omega_d}$

Agora, precisamos encontrar o valor de ф e ωd.

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-\zeta^2}}{\zeta} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-0.6 ^2}}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-0.36}}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{0.8}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} (1.33)$

$\phi = 0.9272 rad$

Agora, para ωd,

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$\omega_d = 5 \times 0.8$

$\omega_d = 4 rad/sec$

Coloque esses valores na equação do tempo de subida;

$t_r = \frac{3.14-0.9272}{4}$

$t_r = \frac{2.2128}{4}$

$t_r = 0.5532 sec$

Por que o Tempo de Subida é de 10% a 90%?

Para calcular o tempo de subida, não é obrigatório medir o tempo entre 10% e 90%.

Mas na maioria dos casos, o tempo de subida é calculado entre esses valores.

Usamos esses valores porque os sinais podem ter formas de onda muito diferentes nas primeiras e últimas porções de seus valores finais.

Por exemplo, considere o padrão de comutação abaixo:

Este valor foi de aproximadamente zero por algum tempo antes de subir e atingir seu valor final.

Não seria apropriado calcular o “tempo de subida” a partir do momento em que o valor estava em zero, pois isso não seria representativo do tempo necessário para o sinal subir durante este estado intermediário (claramente houve algum gatilho que ocorreu no início de Tr).

No final, usamos 90% em vez de 100% porque, muitas vezes, os sinais nunca atingem seu valor final.

De maneira semelhante a como um gráfico logarítmico se apresenta, ele nunca chegará a 100%, com a inclinação do gráfico diminuindo ao longo do tempo.

Portanto, para resumir: dispositivos de comutação têm diferentes padrões de comutação nas fases inicial e final.

Mas durante a transição entre essas fases, todos os dispositivos têm um padrão de subida similar. E medir 10% a 90% dessa transição geralmente fornece uma representação justa do tempo de subida em uma ampla variedade de dispositivos.

Portanto, em condições normais, calculamos o tempo de subida entre 10% e 90%.

Tempo de Subida vs Tempo de Descida

O tempo de descida é definido como o tempo necessário para um sinal cair (diminuir) de um valor especificado (X) para outro valor especificado (Y).

Na maioria dos casos, o valor superior especificado (X) é 90% do valor de pico e o valor inferior especificado é 10% do valor de pico. Um diagrama ilustrando o tempo de descida é mostrado abaixo.

rise time vs fall time — Tempo de Subida vs Tempo de Descida

Portanto, em certo sentido, o tempo de descida pode ser considerado o inverso do tempo de subida, em termos de como é calculado.

Mas é importante ressaltar que o tempo de queda não é necessariamente igual ao tempo de subida.

A menos que você tenha uma onda simétrica (como uma onda senoidal), o tempo de subida e o tempo de queda são independentes.

E não existe uma relação generalizada entre o tempo de subida e o tempo de queda. Ambos os valores desempenham um papel vital na análise de sinais em sistemas de controle e eletrônica digital.

Tempo de Subida e Largura de Banda

Para medir o sinal de forma prática, usamos um osciloscópio. Se conhecemos o tempo de subida do sinal, podemos encontrar a largura de banda do sinal para testes.

Isso ajudará a escolher um osciloscópio com largura de banda maior ou igual. E isso fornecerá resultados de exibição precisos no osciloscópio.

Se conhecemos o tempo de subida do sinal, podemos descobrir quanto o osciloscópio irá retardar o sinal e adicionar ao seu tempo de subida.

A relação entre a largura de banda (BW) e o tempo de subida (tr) é expressa pela fórmula abaixo.

$BW \approx \frac{0.35}{t_r}$

A fórmula acima assume que o tempo de subida é medido no intervalo de 10% a 90% do valor final.

As unidades convenientes para a largura de banda são MHz ou GHz e para o tempo de subida μs ou ns.

Se os amplificadores de entrada do osciloscópio têm uma resposta de frequência simples, o numerador 0,35 fornece um resultado preciso.

Mas muitos osciloscópios têm um declínio mais rápido para fornecer uma resposta de frequência mais plana na faixa de passagem. Nessa condição, o numerador aumenta para 0,45 ou mais.

Por exemplo, quando uma onda quadrada é exibida em um osciloscópio, ela tem um tempo de subida de 10-90% de 1ns. Qual será a largura de banda aproximada do osciloscópio?

Ao substituir esses números na fórmula acima,

$BW = \frac{3.5}{10^{-9}} = 3.5 \times 10^{-9} = 350MHz$

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