রাইজ টাইম: এটি কী? (সমীকরণ এবং কিভাবে এটি গণনা করা হয়)

ফিল্ড: মৌলিক তড়িৎ

China

উত্থান সময় কি

উত্থান সময় হল একটি সিগনাল নির্দিষ্ট কম মান থেকে নির্দিষ্ট উচ্চ মানে পৌঁছাতে যে সময় লাগে। অনালগ ও ডিজিটাল ইলেকট্রনিক্সে, নির্দিষ্ট কম মান এবং নির্দিষ্ট উচ্চ মান হল চূড়ান্ত বা স্থিতিশীল মানের ১০% এবং ৯০%। তাই উত্থান সময় সাধারণত একটি সিগনাল তার চূড়ান্ত মানের ১০% থেকে ৯০% পর্যন্ত পৌঁছাতে কত সময় লাগে তা দ্বারা সংজ্ঞায়িত হয়।

উত্থান সময় অনালগ ও ডিজিটাল সিস্টেমে একটি গুরুত্বপূর্ণ প্যারামিটার। এটি একটি অনালগ সিস্টেমে আউটপুট একটি স্তর থেকে অন্য স্তরে উঠতে কত সময় লাগে তা বর্ণনা করে, যা বাস্তব জীবনে অনেক প্রভাব ফেলে। ডিজিটাল সিস্টেমে উত্থান সময় একটি সিগনাল দুটি বৈধ লজিক স্তরের মধ্যবর্তী অবস্থায় কত সময় থাকে তা বলে দেয়।

নিয়ন্ত্রণ তত্ত্বে, উত্থান সময় হল একটি প্রতিক্রিয়া X% থেকে Y% এ পৌঁছাতে যে সময় লাগে তাকে বলা হয়। X এবং Y এর মান সিস্টেমের ধরনের উপর নির্ভর করে পরিবর্তিত হয়।

অপর্যাপ্ত দমিত দ্বিতীয়-ক্রম সিস্টেমের উত্থান সময় ০% থেকে ১০০%, সম্পূর্ণ দমিত সিস্টেমের উত্থান সময় ৫% থেকে ৯৫%, এবং অতিরিক্ত দমিত সিস্টেমের উত্থান সময় ১০% থেকে ৯০%।

উত্থান সময়ের সমীকরণ

সময় ডোমেইন বিশ্লেষণের হিসাবের জন্য, আমরা প্রথম-ক্রম সিস্টেম এবং দ্বিতীয়-ক্রম সিস্টেম বিবেচনা করি।

তাই, উত্থান সময়ের সূত্র গণনা করার জন্য, আমরা প্রথম-ক্রম এবং দ্বিতীয়-ক্রম সিস্টেম বিবেচনা করি।

প্রথম-ক্রম সিস্টেমের উত্থান সময়

প্রথম-ক্রম সিস্টেম নিম্নলিখিত বন্ধ লুপ ট্রান্সফার ফাংশন দ্বারা বিবেচিত হয়।

$G(s) = \frac{1}{Ts+1} = \frac{b}{s+a}$

ট্রান্সফার ফাংশনে T কে একটি টাইম কনস্ট্যান্ট হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। প্রথম ক্রমের সিস্টেমের টাইম-ডোমেইন বৈশিষ্ট্যগুলি টাইম কনস্ট্যান্ট T এর দিকে গণনা করা হয়।

এখন, ধরুন যে বন্ধ লুপ সিস্টেমের রেফারেন্স ইনপুট একটি একক স্টেপ ফাংশন। এবং এটি লাপ্লাস ট্রান্সফরমের মাধ্যমে সংজ্ঞায়িত করা হয়;

$R(s) = \frac{1}{s}$

সুতরাং, আউটপুট সিগনালটি নিম্নরূপে সংজ্ঞায়িত হবে;

$C(s) = G(s) R(s)$

$C(s) = \frac{1}{Ts+1} \times \frac{1}{s}$

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}} \times \frac{1}{s}$

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}$

এই সমীকরণটিকে আংশিক ভগ্নাংশ ব্যবহার করে সমাধান করুন;

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

এখন, A₁ এবং A₂ এর মান খুঁজুন;

$\frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}} = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}$

$A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s = \frac{1}{T}$

s=0 হলে;

$A_1(0+\frac{1}{T}) + A_2 (0) = \frac{1}{T}$

$A_1 \frac{1}{T} = \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

s=-1/T এর জন্য;

$A_1(\frac{-1}{T} + \frac{1}{T}) + A_2 (\frac{-1}{T}) = \frac{1}{T}$

$A_1 (0) - A_2 \frac{1}{T} = \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

তাই,

$C(s) = \frac{1}{s} + \frac{-1}{s+\frac{1}{T}}$

লাপ্লাসের বিপরীত নিয়ে আসা হল;

$C(t) = L^{-1} \left[ \frac{1}{s} -\frac{1}{s+\frac{1}{T}} \right]$

$C(t) = 1-e^{\frac{-t}{T}}$

এখন, আমরা চূড়ান্ত মানের ১০% থেকে ৯০% এর মধ্যে উত্থান সময় গণনা করি।

$C(t_{10}) = 0.10 \quad and \quad C(t_{90}) = 0.90$

$0.10 = 1 - e^{\frac{t_{10}}{T}}$

$e^{\frac{t_{10}}{T}} = 1-0.10$

$e^{\frac{t_{10}}{T}} = 0.9$

$\frac{-t_{10}}{T} = ln(0.9)$

$t_{10} = -T ln(0.9)$

$t_{10} = -T (-0.1053)$

$t_{10} = 0.1053T$

একইভাবে;

$0.90 = 1 - e^{\frac{t_{90}}{T}}$

$e^{\frac{t_{90}}{T}} = 1 - 0.9$

$e^{\frac{t_{90}}{T}} = 0.1$

$\frac{-t_{90}}{T} = ln(0.1)$

$t_{90} = -T (-2.3025)$

$t_{90} = 2.3025T$

এখন, উত্থান সময় tr;

$t_r = t_{90} - t_{10}$

$t_r = 2.3025T - 0.1053T$

$t_r = 2.197 T$

$t_r \approx 2.2T = \frac{2.2}{a}$

দ্বিতীয় ক্রমের সিস্টেমের উত্থান সময়

একটি দ্বিতীয় ক্রমের সিস্টেমে, উত্থান সময় গণনা করা হয় ০% থেকে ১০০% পর্যন্ত অন্তর্ভুক্ত সিস্টেমের জন্য, ১০% থেকে ৯০% পর্যন্ত অতি-অবস্থিত সিস্টেমের জন্য, এবং ৫% থেকে ৯৫% পর্যন্ত সমানভাবে অবস্থিত সিস্টেমের জন্য।

এখানে, আমরা একটি দ্বিতীয় ক্রমের সিস্টেমের উত্থান সময় গণনার বিষয়টি আলোচনা করব। এবং দ্বিতীয় ক্রমের সিস্টেমের সমীকরণটি হল;

$C(t) = 1-\frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi)$

উত্থান সময়কে tr দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।

$C(t) = C(t_r) = 1$

$1 = 1 - \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi)$

$\frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi) = 0$

$\sin(\omega_d t_r + \phi) = 0$

$\sin(\omega_d t_r + \phi) = \sin(\pi)$

$(\omega_d t_r + \phi) = (\pi)$

$\omega_d t_r = \pi - \phi$

$t_r = \frac{\pi - \phi}{\omega_d}$

যেখানে,

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$\phi = tan^{-1} (\frac{\sqrt{1-\zeta^2})}{\zeta}$

তাই, উত্থান সময়ের চূড়ান্ত সূত্রটি হল;

$t_r = \frac{\pi - tan^{-1} (\frac{\sqrt{1-\zeta^2})}{\zeta}}{\omega_n \sqrt{1-\zeta^2} }$

উত্থান সময় কিভাবে গণনা করবেন?

প্রথম ক্রমের সিস্টেম

উদাহরণস্বরূপ, একটি প্রথম ক্রমের সিস্টেমের উত্থান সময় খুঁজুন। প্রথম ক্রমের সিস্টেমের ট্রান্সফার ফাংশন নিম্নলিখিত সমীকরণে দেখানো হয়।

$G(s) = \frac{5}{s+2}$

ট্রান্সফার ফাংশনটিকে ট্রান্সফার ফাংশনের মানক আকারের সাথে তুলনা করুন।

$G(s) = \frac{b}{s+a}$

সুতরাং; a=2 এবং b=5;

প্রথম ক্রমের পদ্ধতির জন্য উত্থান সময়ের সমীকরণটি হল;

$t_r = \frac{2.2}{a}$

$t_r = \frac{2.2}{2}$

$t_r = 1.1 sec$

দ্বিতীয়-ক্রম সিস্টেম

একটি দ্বিতীয়-ক্রম সিস্টেমের উত্থান সময় নির্ণয় করুন, যার প্রাকৃতিক ফ্রিকোয়েন্সি ৫ রেডিয়ান/সেকেন্ড এবং ড্যাম্পিং অনুপাত ০.৬।

$\omega_n = 5 rad/sec$

$\zeta = 0.6$

দ্বিতীয় ক্রমের সিস্টেমের উত্থান সময়ের সমীকরণটি হল;

$t_r = \frac{\pi - \phi}{\omega_d}$

এখন, আমাদের ফাই (φ) এবং ওমেগা ডি (ωd) এর মান খুঁজে পেতে হবে।

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-\zeta^2}}{\zeta} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-0.6 ^2}}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-0.36}}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{0.8}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} (1.33)$

$\phi = 0.9272 rad$

এখন, ωd এর জন্য,

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$\omega_d = 5 \times 0.8$

$\omega_d = 4 rad/sec$

এই মানগুলি উত্থান সময়ের সমীকরণে বসান;

$t_r = \frac{3.14-0.9272}{4}$

$t_r = \frac{2.2128}{4}$

$t_r = 0.5532 sec$

কেন উত্থান সময় ১০% থেকে ৯০%?

উত্থান সময় গণনা করার জন্য আমাদের ১০% থেকে ৯০% পর্যন্ত সময় মাপা অবশ্যই হওয়া দরকার নয়।

তবে বেশিরভাগ ক্ষেত্রে এই মানগুলির মধ্যে উত্থান সময় গণনা করা হয়।

আমরা এই মানগুলি ব্যবহার করি কারণ সিগনালগুলি তাদের চূড়ান্ত মানের খুব প্রথম ও শেষ অংশে খুব ভিন্ন তরঙ্গরূপ থাকতে পারে।

উদাহরণস্বরূপ, নিম্নলিখিত সুইচিং প্যাটার্নটি বিবেচনা করুন:

এই মানটি কিছু সময় প্রায় শূন্য থেকে উত্থিত হয়ে তার চূড়ান্ত মানে পৌঁছেছে।

শূন্য থেকে মান বের করার জন্য "উত্থান সময়" গণনা করা উপযুক্ত হবে না, কারণ এটি সংকেতটি এই মধ্যবর্তী অবস্থায় (স্পষ্টভাবে Tr এর শুরুতে কোনও ট্রিগার ঘটেছে) উত্থিত হওয়ার সময় প্রতিনিধিত্ব করবে না।

আমরা শেষ পর্যায়ে 90% ব্যবহার করি 100% এর পরিবর্তে কারণ অনেক সংকেত তাদের চূড়ান্ত মানে পৌঁছাতে পারে না।

লগারিদমিক গ্রাফের মতো, এটি 100% পৌঁছাতে পারে না, সময়ের সাথে গ্রাফের ঢাল হ্রাস পায়।

সুতরাং, সংক্ষেপে: সুইচিং ডিভাইসগুলি শুরু ও শেষ পর্যায়ে ভিন্ন সুইচিং প্যাটার্ন রয়েছে।

তবে এই পর্যায়গুলির মধ্যে সংক্রমণের সময়, সব ডিভাইসের একটি সমান উত্থান প্যাটার্ন রয়েছে। এবং এই সংক্রমণের 10% থেকে 90% মাপা প্রায়শই বিভিন্ন ডিভাইসের উত্থান সময়ের একটি সুন্দর প্রতিনিধিত্ব দেয়।

অতএব, বেশিরভাগ পরিস্থিতিতে, আমরা 10% থেকে 90% এর মধ্যে উত্থান সময় গণনা করি।

উত্থান সময় বনাম পতন সময়

পতন সময় হল একটি সংকেত নির্দিষ্ট মান (X) থেকে অন্য একটি নির্দিষ্ট মান (Y) পর্যন্ত পতন (হ্রাস) হওয়ার সময়।

বেশিরভাগ ক্ষেত্রে, উপরের নির্দিষ্ট মান (X) শীর্ষ মানের 90% এবং নিচের নির্দিষ্ট মান 10% শীর্ষ মানের 10%। নিচে পতন সময় প্রদর্শন করা একটি ডায়াগ্রাম দেখানো হল।

rise time vs fall time — উত্থান সময় বনাম পতন সময়

সুতরাং, কিছু ধারণায় পতন সময় উত্থান সময়ের বিপরীত, গণনার দিক থেকে বিবেচনা করা যেতে পারে।

কিন্তু এটি জানানোর প্রয়োজন যে পতন সময় অবশ্যই উত্থান সময়ের সমান হওয়া দরকার নয়।

তুমি যদি একটি সুষম তরঙ্গ (যেমন একটি সাইন তরঙ্গ) না থাক, তাহলে উত্থান সময় এবং পতন সময় স্বাধীন।

এবং উত্থান সময় এবং পতন সময়ের মধ্যে কোনো সাধারণীকৃত সম্পর্ক নেই। উভয় পরিমাণই নিয়ন্ত্রণ পদ্ধতি এবং ডিজিটাল ইলেকট্রনিক্সের সিগন্যাল বিশ্লেষণে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে।

উত্থান সময় এবং ব্যান্ডউইডথ

সিগন্যাল প্রায়শই মাপা হয় একটি অসিলোস্কোপ ব্যবহার করে। যদি আমরা সিগন্যালের উত্থান সময় জানি, তাহলে আমরা টেস্টিং-এর জন্য সিগন্যালের ব্যান্ডউইডথ খুঁজে পেতে পারি।

এটি একটি বড় বা সমান ব্যান্ডউইডথ সম্পন্ন অসিলোস্কোপ বেছে নেওয়ার সাহায্য করবে। এবং এটি অসিলোস্কোপে সঠিক প্রদর্শন ফলাফল দেবে।

যদি আমরা সিগন্যালের উত্থান সময় জানি, তাহলে আমরা জানতে পারি যে অসিলোস্কোপ সিগন্যালটিকে কতটা ধীর করবে এবং তার উত্থান সময়ে কতটা যোগ করবে।

ব্যান্ডউইডথ (BW) এবং উত্থান সময় (tr) এর মধ্যে সম্পর্ক নিচের সূত্রে প্রকাশ করা হয়।

$BW \approx \frac{0.35}{t_r}$

উপরের সূত্রটি ধরে নেয় যে উত্থান সময় ১০% থেকে ৯০% পর্যন্ত চূড়ান্ত মানের পরিসরে মাপা হয়।

ব্যান্ডউইডথের সুবিধাজনক একক হল MHz বা GHz এবং উত্থান সময়ের জন্য μs বা ns।

যদি একটি অসিলোস্কোপের ইনপুট অ্যাম্প্লিফায়ারগুলির একটি সহজ ফ্রিকোয়েন্সি প্রতিক্রিয়া থাকে, তাহলে সূচক ০.৩৫ একটি সঠিক ফলাফল দেয়।

কিন্তু অনেক অসিলোস্কোপে পাসব্যান্ডে একটি সমতল ফ্রিকোয়েন্সি প্রতিক্রিয়া দেওয়ার জন্য দ্রুত রোল-অফ থাকে। এই শর্তে, সূচক বৃদ্ধি পায় ০.৪৫ বা তার বেশি।

উদাহরণস্বরূপ, যখন একটি আয়তক্ষেত্রাকার তরঙ্গ একটি অসিলোস্কোপে প্রদর্শিত হয়, তাতে ১ ন্যানোসেকেন্ড (ns) এর ১০-৯০% উত্থান সময় থাকে। অসিলোস্কোপের আনুমানিক ব্যান্ডওয়্যাদ কত হবে?

এই সংখ্যাগুলি উপরের সূত্রে প্রতিস্থাপন করলে,

$BW = \frac{3.5}{10^{-9}} = 3.5 \times 10^{-9} = 350MHz$