Nousema-aika: Mikä se on? (Yhtälö ja kuinka sitä lasketaan)

Kenttä: Perus sähkötiede

China

what is rise time

Mikä on nousuaika?

Nousuaika määritellään aikana, joka kuluu signaalille siirtyäkseen määritetystä alhaalisesta arvosta määritettyyn yläarvoon. Analogi- ja digielektroniikassa määritetyt alhaaliset ja yläarvot ovat lopullisen tai tasapainotilan 10 % ja 90 %. Siksi nousuaika määritellään yleensä aikana, joka kuluu sille, että signaali kulkee 10 %:sta 90 %:iin lopullisesta arvostaan.

Nousuaika on tärkeä parametri analogi- ja digijärjestelmissä. Se kuvaa aikaa, joka kuluu tulosteelle noustaakseen yhdestä tasosta toiseen analogijärjestelmässä, jolla on monia käytännön vaikutuksia. Nousuaika kertoo meille, kuinka kauan signaali viettää välitilassaan kahden kelvollisen loogisen tason välillä digijärjestelmässä.

Ohjausteoriassa nousuaika määritellään aikana, joka kuluu vastausta varten nousemaan X %:sta Y %:iin lopullisesta arvostaan. X:n ja Y:n arvot vaihtelevat järjestelmän tyypin mukaan.

Alidampitun toisen asteen järjestelmien nousuaika on 0 %:sta 100 %:iin, kriittisesti dampitujen järjestelmien nousuaika on 5 %:sta 95 %:iin, ja ylidampitun järjestelmien nousuaika on 10 %:sta 90 %:iin.

Nousuaikan yhtälö

Ajan alueanalyysin laskennassa otamme huomioon ensimmäisen asteen järjestelmän ja toisen asteen järjestelmän.

Jotta voimme laskea nousuaikan kaavan, otamme huomioon ensimmäisen ja toisen asteen järjestelmät.

Ensimmäisen asteen järjestelmän nousuaika

Ensimmäisen asteen järjestelmä kuvataan seuraavalla suljetulla siirtokuvauksella.

$G(s) = \frac{1}{Ts+1} = \frac{b}{s+a}$

Siirtofunktiona T on määritelty aikavakiona. Ensimmäisen asteen järjestelmän aika-alan ominaisuudet lasketaan aikavakiota T käyttäen.

Oletetaan nyt, että suljetun silmukan viitekäsky on yksikköaskelfunktio. Se on määritelty Laplace-muunnoksen avulla seuraavasti:

$R(s) = \frac{1}{s}$

Tällöin ulostuloviesti määritellään seuraavasti:

$C(s) = G(s) R(s)$

$C(s) = \frac{1}{Ts+1} \times \frac{1}{s}$

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}} \times \frac{1}{s}$

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}$

Ratkaise tämä yhtälö osamurtojen avulla;

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

Nyt, löydä arvot A1 ja A2;

$\frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}} = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}$

$A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s = \frac{1}{T}$

Kun s=0;

$A_1(0+\frac{1}{T}) + A_2 (0) = \frac{1}{T}$

$A_1 \frac{1}{T} = \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

Kun s=-1/T;

$A_1(\frac{-1}{T} + \frac{1}{T}) + A_2 (\frac{-1}{T}) = \frac{1}{T}$

$A_1 (0) - A_2 \frac{1}{T} = \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

Siksi,

$C(s) = \frac{1}{s} + \frac{-1}{s+\frac{1}{T}}$

Ottaen käänteislaplacen;

$C(t) = L^{-1} \left[ \frac{1}{s} -\frac{1}{s+\frac{1}{T}} \right]$

$C(t) = 1-e^{\frac{-t}{T}}$

Nyt laskemme nousuaikaa 10% ja 90% lopullisesta arvosta.

$C(t_{10}) = 0.10 \quad and \quad C(t_{90}) = 0.90$

$0.10 = 1 - e^{\frac{t_{10}}{T}}$

$e^{\frac{t_{10}}{T}} = 1-0.10$

$e^{\frac{t_{10}}{T}} = 0.9$

$\frac{-t_{10}}{T} = ln(0.9)$

$t_{10} = -T ln(0.9)$

$t_{10} = -T (-0.1053)$

$t_{10} = 0.1053T$

Vastaavasti;

$0.90 = 1 - e^{\frac{t_{90}}{T}}$

$e^{\frac{t_{90}}{T}} = 1 - 0.9$

$e^{\frac{t_{90}}{T}} = 0.1$

$\frac{-t_{90}}{T} = ln(0.1)$

$t_{90} = -T (-2.3025)$

$t_{90} = 2.3025T$

Nyt nostoaika tr;

$t_r = t_{90} - t_{10}$

$t_r = 2.3025T - 0.1053T$

$t_r = 2.197 T$

$t_r \approx 2.2T = \frac{2.2}{a}$

Toisen asteen järjestelmän nousuaika

Toisen asteen järjestelmässä nousuaika lasketaan 0%:sta 100%:iin alidampatuissa järjestelmissä, 10%:sta 90%:iin ylidampatuissa järjestelmissä ja 5%:sta 95%:iin kriittisesti dampatuissa järjestelmissä.

Tässä keskustelemme toisen asteen järjestelmän nousuaikan laskennasta. Toisen asteen järjestelmän yhtälö on seuraava:

$C(t) = 1-\frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi)$

Nousuaikaa merkitään tr.

$C(t) = C(t_r) = 1$

$1 = 1 - \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi)$

$\frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi) = 0$

$\sin(\omega_d t_r + \phi) = 0$

$\sin(\omega_d t_r + \phi) = \sin(\pi)$

$(\omega_d t_r + \phi) = (\pi)$

$\omega_d t_r = \pi - \phi$

$t_r = \frac{\pi - \phi}{\omega_d}$

Mikä tahansa,

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$\phi = tan^{-1} (\frac{\sqrt{1-\zeta^2})}{\zeta}$

Siksi nousemisajan lopullinen kaava on;

$t_r = \frac{\pi - tan^{-1} (\frac{\sqrt{1-\zeta^2})}{\zeta}}{\omega_n \sqrt{1-\zeta^2} }$

Miten lasketaan nousema-aika?

Ensimmäisen asteen järjestelmä

Esimerkiksi ensimmäisen asteen järjestelmän nousema-ajan laskeminen. Ensimmäisen asteen järjestelmän siirtofunktio on nähtävissä alla olevassa yhtälössä.

$G(s) = \frac{5}{s+2}$

Vertaa siirtymäfunktiota siirtymäfunktion standardimuotoon.

$G(s) = \frac{b}{s+a}$

Joten; a=2 ja b=5;

Ensimmäisen kertaluvun järjestelmän nousuaika on;

$t_r = \frac{2.2}{a}$

$t_r = \frac{2.2}{2}$

$t_r = 1.1 sec$

Toisen asteen järjestelmä

Määritä toisen asteen järjestelmän nousuaika, jonka luonnollinen taajuus on 5 rad/s ja vaimennuskerroin 0.6.

$\omega_n = 5 rad/sec$

$\zeta = 0.6$

Toisen asteen järjestelmän nousuaikafunktio on;

$t_r = \frac{\pi - \phi}{\omega_d}$

Nyt meidän täytyy löytää arvot ф ja ωd.

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-\zeta^2}}{\zeta} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-0.6 ^2}}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-0.36}}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{0.8}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} (1.33)$

$\phi = 0.9272 rad$

Nyt, ωd,

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$\omega_d = 5 \times 0.8$

$\omega_d = 4 rad/sec$

Sijoita nämä arvot nousuaajan yhtälöön

$t_r = \frac{3.14-0.9272}{4}$

$t_r = \frac{2.2128}{4}$

$t_r = 0.5532 sec$

Miksi nousuaika on 10%–90%?

Nousuaikan laskemiseksi ei ole pakko mitata aikaa 10 % ja 90 % välillä.

Mutta useimmissa tapauksissa nousuaika lasketaan näiden arvojen välillä.

Käytämme näitä arvoja, koska signaalilla voi olla hyvin erilaiset aalto muodot sen lopullisen arvon ensimmäisessä ja viimeisessä osassa.

Esimerkiksi, otetaan seuraava kytkentäkuva:

Tämä oli lähes nollan arvossa jonkin aikaa ennen kuin se nousi ja saavutti lopullisen arvonsa.

Ei olisi asianmukaista laskea "nousemisaikaa" siitä hetkestä, kun arvo oli nolla, sillä tämä ei edustaisi signaalin nousemisaikaa tällä välivaiheella (ilmeisesti jokin laukaisija tapahtui Tr:n alussa).

Lopussa käytämme 90 %:tta sijaan 100 %:tta, koska usein signaalit eivät koskaan saavuta lopullista arvoaan.

Samankaltaisesti kuin logaritminen kaavio näyttää, se ei koskaan saavuta 100 %:tta, vaan kaavion kulmakerroin pienenee ajan myötä.

Yhteenvetona: kytkentälaitteilla on erilaiset kytkentäkuvioita aloitus- ja loppuvaiheissa.

Mutta näiden vaiheiden välillä kaikki laitteet ovat samankaltainen nouseva kuvio. Ja mittaus 10 %:sta 90 %:iin yleensä antaa oikeudenmukaisen kuvan nousemisaikasta laajalla laiteradalla.

Siksi useimmissa olosuhteissa laskemme nousemisaikaa 10 %:sta 90 %:iin.

Nousemisaika vs Laskemisaika

Laskemisaika määritellään aikana, joka signaalilla kestää pudota (laskea) tietyltä arvolta (X) toiselle tietylle arvolle (Y).

Useimmissa tapauksissa ylemmäksi määritetty arvo (X) on huipparvon 90 % ja alimmaksi määritetty arvo 10 % huipparvosta. Alla on esitetty diagrammi, joka havainnollistaa laskemisaikaa.

rise time vs fall time — Nousemisaika vs Laskemisaika

Joten tavallaan laskemisaika voidaan pitää nousemisaikan käänteisena, miten sitä lasketaan.

On kuitenkin tärkeää korostaa, että laskuaika ei välttämättä ole sama kuin nousuaika.

Ellet sinulla ole symmetrinen aalto (kuten sini-aalto), nousuaika ja laskuaika ovat riippumattomia.

Ei ole yleistettyä suhdetta nousuajan ja laskuaajan välillä. Molemmat määrät ovat olennaisia signaalianalyysille ohjausjärjestelmissä ja digitaalisessa elektroniikassa.

Nousuaika ja taajuuskanava

Signaalin käytännön mittauksessa käytetään osiloskoopia. Jos tiedämme signaalin nousuaikan, voimme löytää signaalin taajuuskanavan testausta varten.

Tämä auttaa valitsemaan osiloskoopin, jolla on suurempi tai yhtä suuri taajuuskanava. Se antaa myös tarkkoja näyttö tuloksia osiloskoopissa.

Jos tiedämme signaalin nousuaikan, voimme löytää, kuinka paljon osiloskoopi hidastaa signaalia ja lisää sen nousuaikaan.

Taajuuskanavan (BW) ja nousuaikan (tr) välinen suhde ilmaistaan alla olevalla kaavalla.

$BW \approx \frac{0.35}{t_r}$

Yllä oleva kaava olettaa, että nousuaika mitataan loppuarvon 10%:sta 90%:iin.

Mukavat taajuuskanavan yksiköt ovat MHz tai GHz, ja nousuaikalle μs tai ns.

Jos osiloskoopin syöttövahvistimet ovat yksinkertainen taajuusvastehinta, osoittaja 0.35 antaa tarkan tuloksen.

Monet osiloskoopit kuitenkin tarjoavat nopeamman laskun, jotta taajuusvaste on tasaisempi läpäisyalueella. Tässä tapauksessa osoittaja kasvaa 0.45:een tai enemmän.

Esimerkiksi, kun neliöaalto näytetään oskilloskoopissa, sillä on 10-90 % nousuaika 1 ns. Mikä on likimääräinen oskilloskoopin laajuus?

Kun nämä luvut sijoitetaan yllä olevaan kaavaan,

$BW = \frac{3.5}{10^{-9}} = 3.5 \times 10^{-9} = 350MHz$