Առաձգականության ժամանակը. Ինչ է դա (հավասարում և ինչպես հաշվել)

դաշտ: Հիմնական էլեկտրական

China

Ինչ է բարձրացման ժամանակը

Բարձրացման ժամանակը սահմանվում է որպես ինքնագրությունը նշված ցածր արժեքից նշված բարձր արժեքի հատումը անցնելու ժամանակը։ Անալոգ և դիջիտալ էլեկտրոնիկայում նշված ցածր արժեքը և նշված բարձր արժեքը են վերջնական կամ կայուն արժեքի 10% և 90%։ Այսպիսով, բարձրացման ժամանակը սովորաբար սահմանվում է որպես ինքնագրությունը իր վերջնական արժեքի 10%-ից 90%-ի հասնելու ժամանակը։

Բարձրացման ժամանակը էական պարամետր է անալոգ և դիջիտալ համակարգերում։ Այն նկարագրում է անալոգ համակարգում ելքի առաջացման ժամանակը մի մակարդակից մյուսին, որը ունի շատ իրականացման հետևանքներ։ Դիջիտալ համակարգում բարձրացման ժամանակը մեզ տալիս է ինքնագրության երկու վավեր լոգիկական մակարդակների միջև միջանկյալ վիճակում անցկացվող ժամանակը։

Կառավարման տեսությունում բարձրացման ժամանակը սահմանվում է որպես պատասխանի նշված X%-ից նշված Y%-ի հասնելու ժամանակը։ X և Y արժեքները փոփոխվում են համակարգի տեսակի ընկալում։

Երկրորդ կարգի համակարգերի համար բարձրացման ժամանակը 0%-ից 100%-ը է, կրիտիկ դամպաց համակարգերի համար՝ 5%-ից 95%-ը, իսկ ավելացված դամպաց համակարգերի համար՝ 10%-ից 90%-ը։

Բարձրացման Ժամանակի Հավասարումը

Ժամանակի տիրույթի վերլուծության հաշվարկի համար մենք դիտարկում ենք առաջին կարգի համակարգը և երկրորդ կարգի համակարգը։

Այսպիսով, բարձրացման ժամանակի բանաձևը հաշվարկելու համար մենք դիտարկում ենք առաջին կարգի և երկրորդ կարգի համակարգերը։

Առաջին Կարգի Համակարգի Բարձրացման Ժամանակը

Առաջին կարգի համակարգը դիտարկվում է հետևյալ փակ շղթայի փոխանցման ֆունկցիայով։

$G(s) = \frac{1}{Ts+1} = \frac{b}{s+a}$

Մասնակցության ֆունկցիայում T-ն սահմանվում է որպես ժամանակային հաստատուն։ Առաջին կարգի համակարգի ժամանակային հատկությունները հաշվվում են ժամանակային հաստատուն T-ի տերմիններով։

Այժմ ենթադրենք, որ փակ շղթայի համար համարվող մուտքային համարը միավոր քայլային ֆունկցիան է։ Սա սահմանվում է Լապլասի ձևափոխության տերմիններով հետևյալ կերպ.

$R(s) = \frac{1}{s}$

Այսպիսով, ելքային ազդանշանը սահմանվում է հետևյալ կերպ.

$C(s) = G(s) R(s)$

$C(s) = \frac{1}{Ts+1} \times \frac{1}{s}$

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}} \times \frac{1}{s}$

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}$

Հավասարումը լուծեք մասնակի կոտորակների օգնությամբ

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

Ահա A₁ և A₂ արժեքները գտնելու համար

$\frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}} = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}$

$A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s = \frac{1}{T}$

s=0 դեպքում

$A_1(0+\frac{1}{T}) + A_2 (0) = \frac{1}{T}$

$A_1 \frac{1}{T} = \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

s=-1/T դեպքում

$A_1(\frac{-1}{T} + \frac{1}{T}) + A_2 (\frac{-1}{T}) = \frac{1}{T}$

$A_1 (0) - A_2 \frac{1}{T} = \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

Այսպիսով,

$C(s) = \frac{1}{s} + \frac{-1}{s+\frac{1}{T}}$

Լապլասի հակադարձը վերցնելու դեպքում.

$C(t) = L^{-1} \left[ \frac{1}{s} -\frac{1}{s+\frac{1}{T}} \right]$

$C(t) = 1-e^{\frac{-t}{T}}$

Այժմ հաշվենք վերջնական արժեքի 10% և 90% միջև գտնվող բարձրացման ժամանակը։

$C(t_{10}) = 0.10 \quad and \quad C(t_{90}) = 0.90$

$0.10 = 1 - e^{\frac{t_{10}}{T}}$

$e^{\frac{t_{10}}{T}} = 1-0.10$

$e^{\frac{t_{10}}{T}} = 0.9$

$\frac{-t_{10}}{T} = ln(0.9)$

$t_{10} = -T ln(0.9)$

$t_{10} = -T (-0.1053)$

$t_{10} = 0.1053T$

Նմանապես;

$0.90 = 1 - e^{\frac{t_{90}}{T}}$

$e^{\frac{t_{90}}{T}} = 1 - 0.9$

$e^{\frac{t_{90}}{T}} = 0.1$

$\frac{-t_{90}}{T} = ln(0.1)$

$t_{90} = -T (-2.3025)$

$t_{90} = 2.3025T$

Այժմ, բարձրացման ժամանակի tr համար;

$t_r = t_{90} - t_{10}$

$t_r = 2.3025T - 0.1053T$

$t_r = 2.197 T$

$t_r \approx 2.2T = \frac{2.2}{a}$

Երկրորդ կարգի համակարգի բարձրացման ժամանակը

Երկրորդ կարգի համակարգում բարձրացման ժամանակը հաշվվում է 0%-ից 100%-ի համար սեփական լայն համակարգի համար, 10%-ից 90%-ի համար լայն համակարգի համար և 5%-ից 95%-ի համար քրիտիկ համակարգի համար:

Այստեղ մենք քննարկելու ենք երկրորդ կարգի համակարգի բարձրացման ժամանակի հաշվարկը: Երկրորդ կարգի համակարգի հավասարումը հետևյալն է.

$C(t) = 1-\frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi)$

Բարձրացման ժամանակը նշանակվում է t_r:

$C(t) = C(t_r) = 1$

$1 = 1 - \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi)$

$\frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi) = 0$

$sin(\omega_d t_r + \phi) = 0$

$sin(\omega_d t_r + \phi) = sin(\pi)$

$(\omega_d t_r + \phi) = (\pi)$

$\omega_d t_r = \pi - \phi$

$t_r = \frac{\pi - \phi}{\omega_d}$

Որտեղ,

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$\phi = tan^{-1} (\frac{\sqrt{1-\zeta^2})}{\zeta}$

Այսպիսով, բարձրացման ժամանակի վերջնական բանաձևը է.

$t_r = \frac{\pi - tan^{-1} (\frac{\sqrt{1-\zeta^2})}{\zeta}}{\omega_n \sqrt{1-\zeta^2} }$

Ինչպե՞ս հաշվել բարձրացման ժամանակը:

Առաջին կարգի համակարգ:

Օրինակ, գտնեք առաջին կարգի համակարգի բարձրացման ժամանակը: Առաջին կարգի համակարգի փոխանցման ֆունկցիան ցուցադրված է ներքևում ներկայացված հավասարման մեջ:

$G(s) = \frac{5}{s+2}$

Համեմատեք փոխանցման ֆունկցիան ստանդարտ փոխանցման ֆունկցիայի ձևի հետ:

$G(s) = \frac{b}{s+a}$

Այսպիսով՝ a=2 և b=5:

Առաջին կարգի համակարգի ծագման ժամանակահատվածի հավասարումը է.

$t_r = \frac{2.2}{a}$

$t_r = \frac{2.2}{2}$

$t_r = 1.1 sec$

Երկրորդ կարգի համակարգ

Գտեք երկրորդ կարգի համակարգի բարձրացման ժամանակը, որի բնական հաճախականությունը 5 ռադ/վ է և ամպլիտուդային հարաբերությունը 0.6 է։

$\omega_n = 5 rad/sec$

$\zeta = 0.6$

Երկրորդ կարգի համակարգի բարձրացման ժամանակը հաշվելու հավասարումը է.

$t_r = \frac{\pi - \phi}{\omega_d}$

Այժմ մեզ պետք է գտնենք φ-ի և ω_d-ի արժեքները.

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-\zeta^2}}{\zeta} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-0.6 ^2}}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-0.36}}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{0.8}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} (1.33)$

$\phi = 0.9272 rad$

Այժմ, ω-ի համարd,

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$\omega_d = 5 \times 0.8$

$\omega_d = 4 րադ/վ$

Այս արժեքները տեղափոխեք ծագման ժամանակի հավասարման մեջ;

$t_r = \frac{3.14-0.9272}{4}$

$t_r = \frac{2.2128}{4}$

$t_r = 0.5532 sec$

Ինչու է առաջին ժամանակը 10%-ից մինչև 90%:

Առաջին ժամանակը հաշվելու համար չէ պարտադիր չափել ժամանակը 10%-ից մինչև 90%:

Բայց ամենաշատը դեպքերում առաջին ժամանակը հաշվվում է այդ արժեքների միջև:

Մենք օգտագործում ենք այդ արժեքները, քանի որ սիգնալները կարող են ունենալ շատ տարբեր ալիքային ձևեր իրենց վերջնական արժեքների ամենասկզբում և ամենավերջում:

Օրինակ, դիտարկեք հետևյալ սվիչի մոդելը.

Այս արժեքը որոշ ժամանակի ընթացքում մոտ զրոյական էր, ապա աճել և հասել իր վերջնական արժեքին:

Ոչ հարմար կլիներ հաշվարկել «աճման ժամանակը» արժեքի զրոյական լինելուց սկսած, քանի որ դա չի կարող ներկայացնել սիգնալի աճման ժամանակը այս միջանկյալ վիճակում (հայտնի է, որ գործոն կար առաջացել Ս-ի սկզբում):

Սահմանային փուլում մենք օգտագործում ենք 90%-ը 100%-ի փոխարեն, քանի որ հաճախ սիգնալները չեն հասնում իրենց վերջնական արժեքին:

Նման է լոգարիթմական գրաֆիկին, սիգնալը չի հասնում 100%-ի, իսկ գրաֆիկի գրադիենտը նվազում է ժամանակի ընթացքում:

Հետևաբար, կամայական սիչինգ սարքերը ունեն տարբեր սիչինգ մոդելներ սկզբնական և վերջնական փուլերում:

Բայց այդ փուլերի միջև անցնելիս բոլոր սարքերը ունեն նման աճման մոդել: Եւ 10%-ից 90%-ը չափելը սովորաբար տալիս է բավականաչափ ներկայացում աճման ժամանակը տարբեր սարքերի համար:

Այսպիսով, շարունակական պայմաններում մենք հաշվարկում ենք աճման ժամանակը 10%-ից 90%-ի միջև:

Աճման Ժամանակը հանդիպում է Միջանկյալ Ժամանակին:

Միջանկյալ ժամանակը սահմանվում է որպես սիգնալի նվազումը նշված արժեքից (X) մինչև մեկ այլ նշված արժեք (Y):

Շարունակական դեպքերում վերին նշված արժեքը (X) է գագաթային արժեքի 90%, իսկ ստորին նշված արժեքը գագաթային արժեքի 10%: Նկարը ներկայացնում է միջանկյալ ժամանակը:

rise time vs fall time — Աճման Ժամանակը հանդիպում է Միջանկյալ Ժամանակին:

Այսպիսով, միջանկյալ ժամանակը կարող է դիտարկվել որպես աճման ժամանակի հակադիր մեծություն այն նպատակով, թե ինչպես է այն հաշվարկվում:

Բայց կարևոր է համարձագրել, որ ընկնող ժամանակը բացառիկ չէ բարձրանող ժամանակի հետ հավասար:

Եթե դուք չունեք սիմետրիկ ալիք (օրինակ սինուսոիդալ ալիք), ապա բարձրանող ժամանակը և ընկնող ժամանակը անկախ են:

Եվ չկա ընդհանուր հարաբերություն բարձրանող ժամանակի և ընկնող ժամանակի միջև: Այս երկու մեծությունները կարևոր դեր են խաղալու նշանակության վերլուծության համակարգերում և デジタル電子工学において。

Բարձրանող Ժամանակը և Ալիքային Հարթությունը

Սիգնալը փաստացի չափելու համար մենք օգտագործում ենք օսցիլոգրաֆ: Եթե մենք գիտենք սիգնալի բարձրանող ժամանակը, ապա կարող ենք գտնել սիգնալի ալիքային հարթությունը փորձերի համար:

Սա կօգնի ընտրել ավելի մեծ կամ հավասար ալիքային հարթություն ունեցող օսցիլոգրաֆ: Եվ այն կտա ճշգրիտ ցուցադրման արդյունքներ օսցիլոգրաֆում:

Եթե մենք գիտենք սիգնալի բարձրանող ժամանակը, կարող ենք գտնել, թե որքան է օսցիլոգրաֆը դանդաղ անում սիգնալը և քանի՞ է ավելացնում դրա բարձրանող ժամանակը:

Ալիքային հարթության (BW) և բարձրանող ժամանակի (tr) միջև հարաբերությունը հետևյալ բանաձևով է արտահայտվում:

$BW \approx \frac{0.35}{t_r}$

Վերը նշված բանաձևը ենթադրում է, որ բարձրանող ժամանակը չափվում է վերջնական արժեքի 10%-ից 90%-ի տիրույթում:

Ալիքային հարթության հարմար միավորները են MHz կամ GHz, իսկ բարձրանող ժամանակի համար՝ μs կամ ns:

Եթե օսցիլոգրաֆի մուտքային լարվածությունները ունեն պարզ հաճախականային պատասխան, ապա համարիչը 0.35 տալիս է ճշգրիտ արդյունք:

Բայց շատ օսցիլոգրաֆներ ունեն ավելի արագ ներկայացման համար ներկայացնում են ավելի հարթ հաճախականային պատասխան անցնող տիրույթում: Այս պայմաններում համարիչը բարձրացնում են 0.45-ից ավել:

Օրինակ, երբ քառակուսի ալիքը ցուցադրվում է օսցիլոգրաֆում, նրա 10-90% աճման ժամանակը 1 նանովտուն է: Ո՞ր կլինի օսցիլոգրաֆի մոտավոր հասցեային լայնությունը:

Այս թվերը փոխարինելով վերը նշված բանաձևում,

$BW = \frac{3.5}{10^{-9}} = 3.5 \times 10^{-9} = 350MHz$