Vrijeme uspona: Što je to? (Jednadžba i kako ga izračunati)

Polje: Osnovna elektrotehnika

China

što je vrijeme uspona

Što je vrijeme uspona

Vrijeme uspona definira se kao vrijeme potrebno signalu da prelazi od navedene niske vrijednosti do navedene visoke vrijednosti. U analognim i digitalnim elektronici, navedene niže i više vrijednosti čine 10% i 90% konačne ili stabilne vrijednosti. Stoga se vrijeme uspona tipično definira kao vrijeme potrebno signalu da pređe od 10% do 90% svoje konačne vrijednosti.

Vrijeme uspona je ključni parametar u analognim i digitalnim sustavima. Opisuje vrijeme potrebno izlazu da se podigne s jednog razina na drugu u analognom sustavu, što ima mnogo primjena u stvarnom svijetu. Vrijeme uspona nam govori koliko dugo signal provede u međustanju između dvije valjane logičke razine u digitalnom sustavu.

U teoriji upravljanja, vrijeme uspona definira se kao vrijeme potrebno odgovoru da se podigne od X% do Y% svoje konačne vrijednosti. Vrijednosti X i Y variraju ovisno o vrsti sustava.

Vrijeme uspona za podmjenjene sustave druge naravi je 0% do 100%, za kritično mjenjene sustave 5% do 95%, a za premjenjene sustave 10% do 90%.

Jednadžba vremena uspona

Za izračun u analizi u vremenskom domeni, uzimamo u obzir sustav prve naravi i sustav druge naravi.

Stoga, za izračun formule za vrijeme uspona, uzimamo u obzir sustave prve i druge naravi.

Vrijeme uspona sustava prve naravi

Sustav prve naravi se razmatra preko sljedeće zatvorene petlje funkcije prijenosa.

$G(s) = \frac{1}{Ts+1} = \frac{b}{s+a}$

U prijenosnoj funkciji T je definiran kao vremenska konstanta. Vremenske karakteristike sustava prvog reda izračunavaju se u smislu vremenske konstante T.

Pretpostavimo sada da je referentni ulaz zatvorenog sustava jedinična stupnjeva funkcija. Definira se u smislu Laplaceove transformacije kao:

$R(s) = \frac{1}{s}$

Stoga će se izlazni signal definirati kao:

$C(s) = G(s) R(s)$

$C(s) = \frac{1}{Ts+1} \times \frac{1}{s}$

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}} \times \frac{1}{s}$

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}$

Riješite ovu jednadžbu koristeći parcijalne razlomke;

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

Sada pronađite vrijednosti A1 i A2;

$\frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}} = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}$

$A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s = \frac{1}{T}$

Za s=0;

$A_1(0+\frac{1}{T}) + A_2 (0) = \frac{1}{T}$

$A_1 \frac{1}{T} = \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

Za s=-1/T;

$A_1(\frac{-1}{T} + \frac{1}{T}) + A_2 (\frac{-1}{T}) = \frac{1}{T}$

$A_1 (0) - A_2 \frac{1}{T} = \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

Stoga,

$C(s) = \frac{1}{s} + \frac{-1}{s+\frac{1}{T}}$

Uzimajući inverznu Laplaceovu transformaciju;

$C(t) = L^{-1} \left[ \frac{1}{s} -\frac{1}{s+\frac{1}{T}} \right]$

$C(t) = 1-e^{\frac{-t}{T}}$

Sada računamo vrijeme uspona između 10% i 90% konačne vrijednosti.

$C(t_{10}) = 0.10 \quad and \quad C(t_{90}) = 0.90$

$0.10 = 1 - e^{\frac{t_{10}}{T}}$

$e^{\frac{t_{10}}{T}} = 1-0.10$

$e^{\frac{t_{10}}{T}} = 0.9$

$\frac{-t_{10}}{T} = ln(0.9)$

$t_{10} = -T ln(0.9)$

$t_{10} = -T (-0.1053)$

$t_{10} = 0.1053T$

Slično;

$0.90 = 1 - e^{\frac{t_{90}}{T}}$

$e^{\frac{t_{90}}{T}} = 1 - 0.9$

$e^{\frac{t_{90}}{T}} = 0.1$

$\frac{-t_{90}}{T} = ln(0.1)$

$t_{90} = -T (-2.3025)$

$t_{90} = 2.3025T$

Sada, za vrijeme uspona tr;

$t_r = t_{90} - t_{10}$

$t_r = 2.3025T - 0.1053T$

$t_r = 2.197 T$

$t_r \approx 2.2T = \frac{2.2}{a}$

Vrijeme uspona sustava drugog reda

U sustavu drugog reda, vrijeme uspona računa se od 0% do 100% za podnijehran sistem, od 10% do 90% za prenijehran sistem, i od 5% do 95% za kritički nijehran sistem.

Ovdje ćemo razmotriti izračun vrijeme uspona za sustav drugog reda. I jednadžba za sustav drugog reda je;

$C(t) = 1-\frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi)$

Vrijeme uspona označeno je sa tr.

$C(t) = C(t_r) = 1$

$1 = 1 - \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi)$

$\frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi) = 0$

$\sin(\omega_d t_r + \phi) = 0$

$\sin(\omega_d t_r + \phi) = \sin(\pi)$

$(\omega_d t_r + \phi) = (\pi)$

$\omega_d t_r = \pi - \phi$

$t_r = \frac{\pi - \phi}{\omega_d}$

gdje,

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$\phi = tan^{-1} (\frac{\sqrt{1-\zeta^2})}{\zeta}$

Stoga, konačna formula vremena uspona je;

$t_r = \frac{\pi - tan^{-1} (\frac{\sqrt{1-\zeta^2})}{\zeta}}{\omega_n \sqrt{1-\zeta^2} }$

Kako izračunati vrijeme uspona?

Sustav prvog reda

Na primjer, pronađite vrijeme uspona sustava prvog reda. Funkcija prijenosa sustava prvog reda prikazana je u sljedećoj jednadžbi.

$G(s) = \frac{5}{s+2}$

Usporedite funkciju prijenosa s standardnom formom funkcije prijenosa.

$G(s) = \frac{b}{s+a}$

Stoga; a=2 i b=5;

Jednadžba vremena uspona za sustav prvog reda je;

$t_r = \frac{2.2}{a}$

$t_r = \frac{2.2}{2}$

$t_r = 1.1 sec$

Drugeg reda sustav

Pronađite vrijeme uspona sustava drugeg reda s prirodnom frekvencijom od 5 rad/s i omjerom prigušenja od 0.6.

$\omega_n = 5 rad/sec$

$\zeta = 0.6$

Jednadžba za vrijeme uspona za sustav drugog reda je;

$t_r = \frac{\pi - \phi}{\omega_d}$

Sada moramo pronaći vrijednost od φ i ωd.

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-\zeta^2}}{\zeta} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-0.6 ^2}}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-0.36}}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{0.8}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} (1.33)$

$\phi = 0.9272 rad$

Sada, za ωd,

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$\omega_d = 5 \times 0.8$

$\omega_d = 4 rad/sec$

Unesite ove vrijednosti u jednadžbu vremena uspona;

$t_r = \frac{3.14-0.9272}{4}$

$t_r = \frac{2.2128}{4}$

$t_r = 0.5532 sec$

Zašto je vrijeme uspona 10% do 90%?

Da bismo izračunali vrijeme uspona, nije nužno mjeriti vrijeme između 10% i 90%.

Ali u većini slučajeva, vrijeme uspona se izračunava između ovih vrijednosti.

Koristimo ove vrijednosti jer signali mogu imati vrlo različite talase u prvom i zadnjem dijelu svoje konačne vrijednosti.

Na primjer, uzimajući sljedeći uzorak prekidnog uzorka:

Ova vrijednost je neko vrijeme bila približno nula prije nego što se povećala i dostigla svoju konačnu vrijednost.

Ne bi bilo prikladno izračunati "vrijeme uspona" od trenutka kad je vrijednost bila nula, jer to ne bi bilo reprezentativno za vrijeme potrebno signalu da se podigne tijekom ovog međustanja (jasno je da se dogodio neki okidač na početku Tr).

Na kraju koristimo 90% umjesto 100% jer često signali nikada ne dosegnu svoju konačnu vrijednost.

Slično kako izgleda logaritamski graf, nikada neće doista dosegnuti 100%, s nagibom grafa koji se smanjuje tijekom vremena.

Da bih sažeto rekao: uređaji za prekidače imaju različite uzorke prekida u početnim i završnim fazama.

Ali tijekom prijelaza između tih faza, svi uređaji imaju sličan uzorak uspona. I mjerenje od 10% do 90% tijekom ovog prijelaza obično daje pravednu reprezentaciju vremena uspona za širok spektar uređaja.

Stoga, u većini uvjeta, računamo vrijeme uspona između 10% i 90%.

Vrijeme uspona uspoređeno s vrijednosti padanja

Vrijeme padanja definirano je kao vrijeme potrebno signalu da pada (smanji se) od jedne specifične vrijednosti (X) do druge specifične vrijednosti (Y).

U većini slučajeva, gornja specifična vrijednost (X) je 90% vrhunske vrijednosti, a donja specifična vrijednost 10% vrhunske vrijednosti. Dijagram koji ilustrira vrijeme padanja prikazan je ispod.

rise time vs fall time — Vrijeme uspona uspoređeno s vrijednosti padanja

Dakle, u nekom smislu, vrijeme padanja može se smatrati inverznim vrijednosti vremenu uspona, u pogledu načina njegovog izračuna.

Novaložno je naglasiti da vrijeme pada ne mora nužno biti jednako vrijemu uspona.

Osobito ako nemate simetričnu valnu formu (poput sinusne talasnice), vrijeme uspona i vrijeme pada su neovisna.

Ne postoji generalizirana veza između vremena uspona i vremena pada. Oba parametra igraju ključnu ulogu u analizi signala u sustavima upravljanja i digitalnoj elektronici.

Vrijeme uspona i pojas prljenja

Za praktično mjerenje signala koristimo osciloskop. Ako znamo vrijeme uspona signala, možemo odrediti pojas prljenja signala za testiranje.

To će pomoći u odabiru osciloskopa s većim ili jednakim pojasom prljenja. To će osigurati točne rezultate prikaza na osciloskopu.

Ako znamo vrijeme uspona signala, možemo utvrditi koliko će osciloskop usporiti signal i povećati njegovo vrijeme uspona.

Veza između pojasa prljenja (BW) i vremena uspona (tr) izražena je formulom ispod.

$BW \approx \frac{0.35}{t_r}$

Gornja formula pretpostavlja da se vrijeme uspona mjeri u rasponu od 10% do 90% konačne vrijednosti.

Pogodne jedinice za pojas prljenja su MHz ili GHz, a za vrijeme uspona μs ili ns.

Ako ulazni pojačala osciloskopa imaju jednostavnu frekvencijsku karakteristikę, brojnik 0.35 daje točan rezultat.

Ali mnogi osciloskopi imaju brže opadanje kako bi se osigurala ravnijska frekvencijska karakteristika u propusnom pojasu. U tom slučaju, brojnik se povećava na 0.45 ili više.

Na primjer, kada je kvadratni val prikazan na osciloskopu, ima vrijeme uspona od 10-90% od 1ns. Kolika će približno biti širina pasosa osciloskopa?

Uvrštavanjem ovih brojki u gornju formulu,

$BW = \frac{3.5}{10^{-9}} = 3.5 \times 10^{-9} = 350MHz$