Yüksənme Vaxtı: Bu nədir? (Tənlik və onu necə hesablamaq)

Maydon: Elektr tushunchalari

China

what is rise time

Rise Time nima?

Rise time signalning belgilangan pastki qiymatdan belgilangan yuqori qiymatga oʻtish uchun sarflangan vaqt deb tarif etiladi. Analog va raqamli elektronikada, belgilangan pastki qiymat va belgilangan yuqori qiymat nihoyaviy yoki doimiy holat qiymatining 10% va 90% boʻladi. Shunday qilib, rise time adolatda signalning nihoyaviy qiymatining 10% dan 90% gacha oʻtish uchun sarflangan vaqt deb taʼriflanadi.

Rise time analog va raqamli tizimlarda muhim parametrdir. U analog tizimlarda chiqishning bir darajadan boshqa darajaga oʻtish uchun sarflangan vaqtini ifodalaydi, bu juda koʻp amaliy ma'nosiga ega. Raqamli tizimlarda rise time signalning ikki toʻgʻri lojik darajalar orasidagi oʻrtacha holatda necha muddat oʻtganligini aytadi.

Boshqaruv nazariyasida, rise time javobning X% dan Y% gacha oʻtish uchun sarflangan vaqt deb tarif etiladi. X va Y qiymatlari tizim turiga qarab oʻzgaradi.

Undamped ikkinchi tartibli tizimlar uchun rise time 0% dan 100% gacha, kritik damped tizimlar uchun 5% dan 95% gacha, overdamped tizimlar uchun esa 10% dan 90% gacha boʻladi.

Rise Time Tenglamasi

Vaqt sohada hisob-kitob uchun, biz birinchi tartibli tizim va ikkinchi tartibli tizimni hisobga olamiz.

Shunday qilib, rise time formulasi hisoblash uchun, biz birinchi tartibli va ikkinchi tartibli tizimlarni hisobga olamiz.

Birinchi Tartibli Tizimning Rise Time'i

Birinchi tartibli tizim quyidagi yopiq simvolli transfer funksiyasi bilan aniqlanadi.

$G(s) = \frac{1}{Ts+1} = \frac{b}{s+a}$

Transfer funksiyada T vaqt konstantasi sifatida aniqlanadi. Birinchi darajali sistemaning vaqt sohada xususiyatlari T vaqt konstantasi orqali hisoblanadi.

Endi, yopiq tarmoqli sistemani referensiyaviy kirishini birlik qadam funksiyasi deb faraz qilamiz. Bu Laplace transformasida quyidagicha aniqlanadi:

$R(s) = \frac{1}{s}$

Shunday qilib, chiqish signali quyidagicha aniqlanadi:

$C(s) = G(s) R(s)$

$C(s) = \frac{1}{Ts+1} \times \frac{1}{s}$

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}} \times \frac{1}{s}$

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}$

Bu tenglamani qismiy hisoblash usuli bilan yeching;

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

Endi, A₁ va A₂ qiymatlarni toping;

$\frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}} = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}$

$A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s = \frac{1}{T}$

s=0 bo'lganda;

$A_1(0+\frac{1}{T}) + A_2 (0) = \frac{1}{T}$

$A_1 \frac{1}{T} = \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

s=-1/T uchun;

$A_1(\frac{-1}{T} + \frac{1}{T}) + A_2 (\frac{-1}{T}) = \frac{1}{T}$

$A_1 (0) - A_2 \frac{1}{T} = \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

Shunday qilib,

$C(s) = \frac{1}{s} + \frac{-1}{s+\frac{1}{T}}$

Laplace inversini olib:

$C(t) = L^{-1} \left[ \frac{1}{s} -\frac{1}{s+\frac{1}{T}} \right]$

$C(t) = 1-e^{\frac{-t}{T}}$

Endi, biz son qiymatning 10% va 90% orasidagi qo'shilish vaqtini hisoblaymiz.

$C(t_{10}) = 0.10 \quad and \quad C(t_{90}) = 0.90$

$0.10 = 1 - e^{\frac{t_{10}}{T}}$

$e^{\frac{t_{10}}{T}} = 1-0.10$

$e^{\frac{t_{10}}{T}} = 0.9$

$\frac{-t_{10}}{T} = ln(0.9)$

$t_{10} = -T ln(0.9)$

$t_{10} = -T (-0.1053)$

$t_{10} = 0.1053T$

Shunday qilib;

$0.90 = 1 - e^{\frac{t_{90}}{T}}$

$e^{\frac{t_{90}}{T}} = 1 - 0.9$

$e^{\frac{t_{90}}{T}} = 0.1$

$\frac{-t_{90}}{T} = ln(0.1)$

$t_{90} = -T (-2.3025)$

$t_{90} = 2.3025T$

Endi, oshish vaqti tr;

$t_r = t_{90} - t_{10}$

$t_r = 2.3025T - 0.1053T$

$t_r = 2.197 T$

$t_r \approx 2.2T = \frac{2.2}{a}$

Ikkiinchi tartibli tizimning qo'shilish vaqti

Ikkiinchi tartibli tizimda, qo'shilish vaqti pastdan tortib yuqoriga 0% dan 100% gacha hisoblanadi (pastdan tortib yuqoriga kichiklangan tizim uchun), 10% dan 90% gacha (pastdan tortib yuqoriga katta tizim uchun) va 5% dan 95% gacha (kritik tortib yuqoriga tizim uchun).

Bu yerda, ikkiinchi tartibli tizimning qo'shilish vaqtini hisoblash haqida gaplashamiz. Ikkiinchi tartibli tizimning tenglamasi quyidagicha:

$C(t) = 1-\frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi)$

Qo'shilish vaqti tr bilan belgilanadi.

$C(t) = C(t_r) = 1$

$1 = 1 - \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi)$

$\frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi) = 0$

$sin(\omega_d t_r + \phi) = 0$

$sin(\omega_d t_r + \phi) = sin(\pi)$

$(\omega_d t_r + \phi) = (\pi)$

$\omega_d t_r = \pi - \phi$

$t_r = \frac{\pi - \phi}{\omega_d}$

Bu yerda,

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$\phi = tan^{-1} (\frac{\sqrt{1-\zeta^2})}{\zeta}$

Shunday qilib, yopish vaqtining oxirgi formulasi quyidagicha:

$t_r = \frac{\pi - tan^{-1} (\frac{\sqrt{1-\zeta^2})}{\zeta}}{\omega_n \sqrt{1-\zeta^2} }$

Yopish vaqtini qanday hisoblash?

Birinchi tartibli tizim

Masalan, birinchi tartibli tizimning yopish vaqtini toping. Birinchi tartibli tizimning o'tkazuvchan funksiyasi quyidagi tenglamada ko'rsatilgan.

$G(s) = \frac{5}{s+2}$

Ma'lumot o'tkazish funksiyasini standart shakli bilan solishtiring.

$G(s) = \frac{b}{s+a}$

Demak; a=2 va b=5;

Birinchi darajadagi tizim uchun paydo bo'lish vaqti tenglamasi quyidagicha:

$t_r = \frac{2.2}{a}$

$t_r = \frac{2.2}{2}$

$t_r = 1.1 sec$

Ikkinchi tartibli tizim

Do'stlik chastotasi 5 rad/sec va zaxira nisbatining 0.6 bo'lgan ikkinchi tartibli tizimning qamriw vaqtini toping.

$\omega_n = 5 rad/sec$

$\zeta = 0.6$

Ikkinchi darajadagi tizim uchun paydo bo'lish vaqtining tenglamasi quyidagicha:

$t_r = \frac{\pi - \phi}{\omega_d}$

Endi, ф ва ωd qiymatlarini topishimiz kerak.

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-\zeta^2}}{\zeta} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-0.6 ^2}}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-0.36}}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{0.8}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} (1.33)$

$\phi = 0.9272 rad$

Endi, ωd uchun,

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$\omega_d = 5 \times 0.8$

$\omega_d = 4 rad/sec$

Bu qiymatlarni paydo bo'lish vaqtining tenglamasiga qo'yamiz;

$t_r = \frac{3.14-0.9272}{4}$

$t_r = \frac{2.2128}{4}$

$t_r = 0.5532 sec$

Nega 10% dan 90% gacha bo'lgan payt nima uchun hisoblanadi?

Paytning o'sishini hisoblash uchun 10% dan 90% gacha bo'lgan vaqt oralig'ini o'lchanishi majburiy emas.

Lekin ko'pincha holatlarda, paytning o'sishini ushbu qiymatlar orasida hisoblaymiz.

Biz ushbu qiymatlarni ishlatamiz, chunki signalning boshlang'ich va oxirgi qismidagi forma juda farqli bo'lishi mumkin.

Misol uchun, quyidagi o'g'irlovni ko'rib chiqing:

Bu qiymat bir vaqtda nolga yaqin bo'lgan holda qoldi, keyin o'sib boshladi va nihoyatda o'z oxirgi qiymatiga erishdi.

Qiymat nolda ekanligi muddatidan “o'sish vaqti”ni hisoblash to'g'ri emas, chunki bu signalning bu o'rta holatda (o'zroq T_r boshlanishi bilan biror ishlovchi qurilma yuz bergan) o'sish uchun sarflangan vaqtni ta'minlamaydi.

Oxirida, biz 100% o'rniga 90% ni ishlatamiz, chunki ko'pincha signallar nihoyatki qiymatiga erishmaydi.

Logarifmik grafik kabi, u 100%-ga yetishmaydi, grafikning egri chiziqlari vaqt oralig'ida kamayadi.

Shunday qilib, umumlashtirish: o'zgarish qurilmalari boshlang'ich va tugash bosqichlaridagi farqli o'zgarish shakllariga ega.

Lekin ushbu bosqichlar orasidagi o'tish davrida, barcha qurilmalar o'xshash o'sish shakli bor. Va 10% dan 90% gacha bo'lgan ushbu o'tishni o'lchanishi, juda katta qurilmalar orasida o'sish vaqtini adolatli ifodalaydi.

Demak, ko'pincha shartlarda, biz 10% dan 90% gacha o'sish vaqtini hisoblaymiz.

O'sish vaqti vs Pasayish vaqti

Pasayish vaqti - bu signalning aniq belgilangan qiymatdan (X) boshqa aniq belgilangan qiymatga (Y) pasayish uchun sarflangan vaqt.

Ko'pincha, yuqori belgilangan qiymat (X) peak qiymatining 90% i, past belgilangan qiymat 10% i bo'ladi. Pasayish vaqtini tasvirlaydigan diagramma quyida ko'rsatilgan.

rise time vs fall time — O'sish vaqti vs Pasayish vaqti

Shunday qilib, pasayish vaqti o'sish vaqtiga nisbatan, uning hisoblanish usuli bilan qarama-qarshi hisoblanishi mumkin.

Lekin oʻsha muhimki, paydo boʻlish vaqtining tortilish vaqtiga teng emasligi.

Agar siz simmetrik toʻq sinusoidal toʻq (masalan) emas boʻlsa, paydo boʻlish vaqt va tortilish vaqt mos kelmaydi.

Va paydo boʻlish vaqt va tortilish vaqt orasida umumlashtirilgan munosabat yoʻq. Ikki kattalikning ham signal tahlili uchun boshqaruv sistemalarida va raqamli elektronikada muhim rol oʻynaydi.

Paydo boʻlish vaqt va chastotalar maydoni

Signalni amaliy qilib oʻlchanish uchun osiloskopdan foydalanamiz. Agar signalning paydo boʻlish vaqtini bilgan boʻlsak, testlash uchun signalning chastotalar maydonini topa olamiz.

Bu osiloskopni koʻproq yoki teng chastotalar maydoniga ega boʻlganini tanlashda yordam beradi. Va bu osiloskopda aniq natijalarni koʻrsatadi.

Agar signalning paydo boʻlish vaqtini bilgan boʻlsak, osiloskop signalni qancha sekinlaydi va uning paydo boʻlish vaqtiga qoʻshiladigan ma'lumotni topa olamiz.

Chastotalar maydoni (BW) va paydo boʻlish vaqt (tr) orasidagi munosaba quyidagi formulada ifodalangan.

$BW \approx \frac{0.35}{t_r}$

Yuqoridagi formula, paydo boʻlish vaqt 10% dan 90% gacha oʻlchanishi e'tiborga olindan faraz qiladi.

Chastotalar maydoni uchun qulay birliklar MHz yoki GHz, paydo boʻlish vaqt uchun esa μs yoki ns.

Agar osiloskopning kirish amplifikatorlari sodda chastota javobini beradigan boʻlsa, suruvchi 0.35 aniq natija beradi.

Amma koʻp osiloskoplar tez tortilishni berish uchun passband da yetarlicha toʻgʻri chastota javobini berish uchun tez tortilishga ega. Bu holatda, suruvchi 0.45 yoki undan koʻp boʻladi.

Masalan, kvadratli signal osiloskopda ko'rsatilganda, uning 10-90% o'tish vaqti 1 ns bo'lsa. Osiloskopning taqsimot chastotasini qanday hisoblash mumkin?

Bu sonlarni formulaga qo'yib,

$BW = \frac{3.5}{10^{-9}} = 3.5 \times 10^{-9} = 350MHz$