Zaman Aralığı: Bu nedir? (Tənlik və onun hesablanması)

Alan: Əsas Elektrik

China

rise time neçədir

Rise Time nədir?

Rise time, bir sinyalın belirlenen aşağı dəyərdən belirlenen yüksək dəyərə qədər keçməsi üçün istifadə olunan vaxtdır. Analog və digital elektronikada, belirlenen aşağı dəyər və belirlenen yüksək dəyər sonuncu və ya sabit dəyərinin 10% və 90%-udur. Bu səbəbdən rise time adətən sinyalin son dəyərinin 10%-indən 90%-inə qədər keçməsi üçün neçə vaxt çəkdiyini təsvir edir.

Rise time, analog və digital sistemlərdə əsas parametrdür. Analog sistemlərdə bu, çıxışın bir səviyyədən digər səviyyəyə qədər yüksəldiyi vaxtı təsvir edir ki, bu, çoxsaylı həqiqi dünya tətbiqləri var. Digital sistemlərdə isə rise time, sinyalin iki valid loqik səviyyə arasında olan ara səviyyədə neçə vaxt keçirdiyini göstərir.

Nəzarət nəzəriyyəsində, rise time, cavabın X%-dən Y%-ə qədər son dəyərinə qədər yüksəldiyi vaxt kimi tərif olunur. X və Y dəyərləri sistem növünə görə fərqlənir.

Altımsız ikinci mertebedən sistemlər üçün rise time 0%-dən 100%-ə, kritik altımlı sistemlər üçün 5%-dən 95%-ə, altım yuxarı sistemlər üçün isə 10%-dən 90%-ə qədərdir.

Rise Time Tənliyi

Vaxt domen analizində hesablama üçün, biz birinci mertebedən sistem və ikinci mertebedən sistemləri nəzərə alırıq.

Beləliklə, rise time üçün formulu hesablamak üçün birinci mertebedən və ikinci mertebedən sistemləri nəzərə alırıq.

Birinci Mertebedən Sistem üçün Rise Time

Birinci mertebedən sistem, aşağıdakı bağlanğan çevrim transfer funksiyası ilə nəzərə alınır.

$G(s) = \frac{1}{Ts+1} = \frac{b}{s+a}$

Transfer funksiyasında T müddət kimi təyin edilir. Birinci dərəcəli sistemin vaxt sahəsi xüsusiyyətləri T müddəti nisbətində hesablanır.

İndi, kapalı çevrili sistemin referans girişi bir vahid addım funksiyası olduğunu fərz edək. Bu, Laplas transformu cüründən təyin olunur:

$R(s) = \frac{1}{s}$

Bu səbəbdən, çıxış signalı belə təyin edilə bilər:

$C(s) = G(s) R(s)$

$C(s) = \frac{1}{Ts+1} \times \frac{1}{s}$

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}} \times \frac{1}{s}$

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}$

Bu tənliyi qismi kəsr ilə həll edin;

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

İndi, A1 və A2 dəyərlərini tapın;

$\frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}} = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}$

$A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s = \frac{1}{T}$

s=0 üçün;

$A_1(0+\frac{1}{T}) + A_2 (0) = \frac{1}{T}$

$A_1 \frac{1}{T} = \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

s=-1/T üçün;

$A_1(\frac{-1}{T} + \frac{1}{T}) + A_2 (\frac{-1}{T}) = \frac{1}{T}$

$A_1 (0) - A_2 \frac{1}{T} = \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

Buna görə,

$C(s) = \frac{1}{s} + \frac{-1}{s+\frac{1}{T}}$

Laplasın tərsini götürüb;

$C(t) = L^{-1} \left[ \frac{1}{s} -\frac{1}{s+\frac{1}{T}} \right]$

$C(t) = 1-e^{\frac{-t}{T}}$

İndi, son dəyərin 10% və 90%-i arasında yüksələn zamanı hesablayırıq.

$C(t_{10}) = 0.10 \quad and \quad C(t_{90}) = 0.90$

$0.10 = 1 - e^{\frac{t_{10}}{T}}$

$e^{\frac{t_{10}}{T}} = 1-0.10$

$e^{\frac{t_{10}}{T}} = 0.9$

$\frac{-t_{10}}{T} = ln(0.9)$

$t_{10} = -T ln(0.9)$

$t_{10} = -T (-0.1053)$

$t_{10} = 0.1053T$

Eyni kimi;

$0.90 = 1 - e^{\frac{t_{90}}{T}}$

$e^{\frac{t_{90}}{T}} = 1 - 0.9$

$e^{\frac{t_{90}}{T}} = 0.1$

$\frac{-t_{90}}{T} = ln(0.1)$

$t_{90} = -T (-2.3025)$

$t_{90} = 2.3025T$

İndi, yüksəlme vaxtı tr;

$t_r = t_{90} - t_{10}$

$t_r = 2.3025T - 0.1053T$

$t_r = 2.197 T$

$t_r \approx 2.2T = \frac{2.2}{a}$

İkinci mertebeden sistemin yükseltme zamanı

İkinci mertebeden bir sistemde, yükseltme zamanı, alçak frekanlı sistem için 0% ile 100% arasında, aşırı frekanlı sistem için 10% ile 90% arasında ve kritik frekanlı sistem için 5% ile 95% arasında hesaplanır.

Burada, ikinci mertebeden bir sistemin yükseltme zamanının hesaplanmasını tartışacağız. İkinci mertebeden sistemin denklemi şöyledir;

$C(t) = 1-\frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi)$

Yükseltme zamanı t_r ile gösterilir.

$C(t) = C(t_r) = 1$

$1 = 1 - \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi)$

$\frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi) = 0$

$sin(\omega_d t_r + \phi) = 0$

$sin(\omega_d t_r + \phi) = sin(\pi)$

$(\omega_d t_r + \phi) = (\pi)$

$\omega_d t_r = \pi - \phi$

$t_r = \frac{\pi - \phi}{\omega_d}$

Bununla belə,

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$\phi = tan^{-1} (\frac{\sqrt{1-\zeta^2})}{\zeta}$

Bundan sonra, yüksəlme vaxtının nihai formulu budur;

$t_r = \frac{\pi - tan^{-1} (\frac{\sqrt{1-\zeta^2})}{\zeta}}{\omega_n \sqrt{1-\zeta^2} }$

Nasıl Yüksəlme Vaxtı Hesaplanır?

Birinci Mertebe Sistem

Məsələn, birinci mertebe sisteminin yüksəlme vaxtını tapın. Birinci mertebe sistemin transfer funksiyası aşağıdakı tənisdə göstərilir.

$G(s) = \frac{5}{s+2}$

Transfer funksiyasını standart formayla müqayisə edin.

$G(s) = \frac{b}{s+a}$

Buna görə; a=2 və b=5;

Birinci tərtib sistem üçün yüksəlme vaxtı tənliyi budur;

$t_r = \frac{2.2}{a}$

$t_r = \frac{2.2}{2}$

$t_r = 1.1 sec$

İkinci Mertebeden Sistem

Doğal frekansı 5 rad/san ve sönüm oranı 0.6 olan ikinci mertebeden sistemin yükseliş süresini bulun.

$\omega_n = 5 rad/sec$

$\zeta = 0.6$

İkinci mertebeden sistemin yükseliş zamanı denklemi şöyledir;

$t_r = \frac{\pi - \phi}{\omega_d}$

İndi, ф və ωd dəyərlərini tapmalıyıq.

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-\zeta^2}}{\zeta} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-0.6 ^2}}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-0.36}}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{0.8}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} (1.33)$

$\phi = 0.9272 rad$

İndi, ωd üçün,

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$\omega_d = 5 \times 0.8$

$\omega_d = 4 rad/sec$

Bu dəyərləri yüksəlme vaxtı tənziyyəsinə qoyun;

$t_r = \frac{3.14-0.9272}{4}$

$t_r = \frac{2.2128}{4}$

$t_r = 0.5532 sec$

Niyə Yüksəlme Vaxtı 10% ilə 90%-a Kadar?

Yüksəlme vaxtını hesaplamak üçün 10% ilə 90% arasında zaman ölçmək məcburi deyil.

Amma çox vaxt, bu dəyərlər arasında yüksəlme vaxtı hesablanır.

Bu dəyərləri istifadə edirik, çünki nöqtələrin son və ilk hissələrində müxtəlif dalğalı forması ola bilər.

Məsələn, aşağıdakı kəskin keçid modelinə baxın:

Bəzi vaxt bu dəyər təxminən sıfıra bərabər olduqdan sonra artımğa başlayıb və nihayət dəyərinə çatıb.

Dəyər sıfır olduğunda “artım zamanı” hesablanmasa da, bu, signalın bu ara halında (aydındır ki, Tr başlanğıcında bəzi bir tetik olmuşdur) artım zamanını tam ifadə etməyəcəkdir.

Son tərəfindən, məsələn, 90% yerinə 100% istifadə edirik, çünki genelliklə signal nəticə dəyərinə çata bilməz.

Logaritmik qrafikin görünüşü kimi, o heç vaxt 100%-ə yaxşılamaz, qrafikin gradienti zamanla azalır.

Yekun olaraq: keçid cihazları başlanğıc və bitiş mərhələlərində fərqli keçid modelinə malikdir.

Amma bu mərhələlər arasında keçid zamanı, bütün cihazlar üçün oxşar artım modelinə malikdir. Və 10% ilə 90%-ə olan bu keçidin ölçüsü, geniş bir cihaz spektrində artım zamanının adil bir təsvirini verir.

Bu səbəbdən, əksər hallarda, biz 10% və 90% arasındakı artım zamanını hesablayırıq.

Artım Zamanı vs Azalma Zamanı

Azalma zamanı, bir signalın belə bir dəyərdən (X) digər belə bir dəyərə (Y) azalması üçün gələn zamana deyilir.

Əksər hallarda, yuxarıda göstərilən dəyər (X) zirvə dəyərinin 90%-ı, alt dəyər isə zirvə dəyərinin 10%-udur. Azalma zamanını illüstrasiya edən diaqram aşağıda göstərilmişdir.

rise time vs fall time — Artım Zamanı vs Azalma Zamanı

Beləliklə, azalma zamanı, onun hesablanma tarzı ilə bağlı olaraq, artım zamanının inversiyası kimi düşünülə bilər.

Lakin, bu mühimdir ki, düşüş süresi yükseltme süresine mutlak bir şəkildə bərabər olmayacaq.

Əgər simmetrik dalğanız (məsələn, sinus dalğası) yoxdursa, yükseltme və düşüş süləri müstəqildir.

Və yükseltme və düşüş süləri arasında ümumi bir əlaqə yoxdur. Hər iki kəmiyyət idarəetmə sistemlərində və rəqəmsal elektronikada signal təhlili üçün vacib rol oynayır.

Yüksəltmə Süresi və Kanal Arıqlığı

Signalı praktiki olaraq ölçmək üçün osiloskopdan istifadə edirik. Əgər signaldən yüksəltmə süresini bilirsək, test etmək üçün signaldən kanal arıqlığını tapa bilərik.

Bu, daha böyük və ya bərabər kanal arıqlığı olan osiloskopu seçməyə kömək edəcəkdir. Və bu, osiloskopda dəqiq nəticələr verəcəkdir.

Əgər signaldən yüksəltmə süresini bilirsək, osiloskopun signala neçə yavaşlamasını və yüksəltmə süresinə neçə əlavə etməsini tapa bilərik.

Kanal arıqlığı (BW) və yüksəltmə süresi (tr) arasındakı əlaqə aşağıdakı düsturla ifadə olunur.

$BW \approx \frac{0.35}{t_r}$

Yuxarıdakı düstur, yüksəltmə süresinin son qiymətin 10% və 90%-ı aralığında ölçülənini nəzərə alır.

Kanal arıqlığı üçün rahat ölçü vahidləri MHz və ya GHz, yüksəltmə süresi üçün isə μs və ya ns-dir.

Əgər osiloskopun daxili amplifikatorları sadə frekvens cavabıya malikdirsə, 0.35 nömrəsi dəqiq nəticə verir.

Amma bir çox osiloskoplar keçiş zonasında düzgün frekvens cavabını verərək daha sürətli düşüş göstərir. Bu halda, nömrə 0.45 və ya daha çoxa artırılır.

Məsələn, kvadrat dalga osiloskopda göstəriləndə, onun 10-90% yüksəklik vaxtı 1ns olur. Osiloskopun təxmini dalağa nə olacaq?

Bu rəqəmləri formulaya qoyaraq,

$BW = \frac{3.5}{10^{-9}} = 3.5 \times 10^{-9} = 350MHz$