Naraščanje: Kaj je to? (Enačba in kako jo izračunati)

Polje: Osnovna elektrotehnika

China

kaj je čas narastanja

Kaj je čas narastanja

Čas narastanja je definiran kot čas, ki ga signal potrebuje, da preide od določene nizke vrednosti do določene visoke vrednosti. V analogni in digitalni elektroniki so določena spodnja in zgornja vrednost 10% in 90% končne ali stanjne vrednosti. Torej je čas narastanja tipično definiran kot čas, ki ga signal potrebuje, da pride od 10% do 90% svoje končne vrednosti.

Čas narastanja je ključni parameter v analognih in digitalnih sistemih. Opisuje čas, ki ga izhod potrebuje, da se dvigne od enega ravna na drugo v analognem sistemu, kar ima veliko praktičnih posledic. Čas narastanja nam pove, kako dolgo signal traja v medsebojnem stanju med dvema veljavna logična ravna v digitalnem sistemu.

V teoriji regulacije je čas narastanja definiran kot čas, ki ga odziv potrebuje, da se dvigne od X% do Y% svoje končne vrednosti. Vrednosti X in Y se razlikujeta glede na vrsto sistema.

Čas narastanja za podnihanostne sisteme drugega reda je 0% do 100%, za kritično nihanje 5% do 95%, in za prenihanostne sisteme 10% do 90%.

Enačba časa narastanja

Za izračun v časovnem domeni upoštevamo prvi-redni sistem in drugi-redni sistem.

Torej, za izračun formule za čas narastanja upoštevamo prvi-redni in drugi-redni sistemi.

Čas narastanja prvega reda sistema

Prvi-redni sistem je opisan z naslednjo zaprto zankasto prenosno funkcijo.

$G(s) = \frac{1}{Ts+1} = \frac{b}{s+a}$

V prenosni funkciji je T določen kot časovna konstanta. Časovne značilnosti prvega reda sistema so izračunane v smislu časovne konstante T.

Naj bo zdaj referenčni vhod zaprtega zanke enotska korak funkcija. In je definirana v smislu Laplaceove transformacije kot;

$R(s) = \frac{1}{s}$

Torej, izhodni signal bo določen kot;

$C(s) = G(s) R(s)$

$C(s) = \frac{1}{Ts+1} \times \frac{1}{s}$

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}} \times \frac{1}{s}$

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}$

Rešite to enačbo z uporabo delnih ulomkov;

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

Najdite vrednosti A1 in A2;

$\frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}} = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}$

$A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s = \frac{1}{T}$

Za s=0;

$A_1(0+\frac{1}{T}) + A_2 (0) = \frac{1}{T}$

$A_1 \frac{1}{T} = \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

Za s=-1/T;

$A_1(\frac{-1}{T} + \frac{1}{T}) + A_2 (\frac{-1}{T}) = \frac{1}{T}$

$A_1 (0) - A_2 \frac{1}{T} = \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

Zato,

$C(s) = \frac{1}{s} + \frac{-1}{s+\frac{1}{T}}$

Ponovni Laplaceov inverz:

$C(t) = L^{-1} \left[ \frac{1}{s} -\frac{1}{s+\frac{1}{T}} \right]$

$C(t) = 1-e^{\frac{-t}{T}}$

Naslednje izračunamo čas narastanja med 10% in 90% končne vrednosti.

$C(t_{10}) = 0.10 \quad and \quad C(t_{90}) = 0.90$

$0.10 = 1 - e^{\frac{t_{10}}{T}}$

$e^{\frac{t_{10}}{T}} = 1-0.10$

$e^{\frac{t_{10}}{T}} = 0.9$

$\frac{-t_{10}}{T} = ln(0.9)$

$t_{10} = -T ln(0.9)$

$t_{10} = -T (-0.1053)$

$t_{10} = 0.1053T$

Podobno;

$0.90 = 1 - e^{\frac{t_{90}}{T}}$

$e^{\frac{t_{90}}{T}} = 1 - 0.9$

$e^{\frac{t_{90}}{T}} = 0.1$

$\frac{-t_{90}}{T} = ln(0.1)$

$t_{90} = -T (-2.3025)$

$t_{90} = 2.3025T$

Zdaj za čas narastanja tr;

$t_r = t_{90} - t_{10}$

$t_r = 2.3025T - 0.1053T$

$t_r = 2.197 T$

$t_r \approx 2.2T = \frac{2.2}{a}$

Povečevalni čas sistema drugega reda

V sistemu drugega reda se povečevalni čas izračuna od 0% do 100% za podmagnetnen sistem, od 10% do 90% za pretirano magnetnen sistem in od 5% do 95% za kritično magnetnen sistem.

Tukaj bomo razpravljali o izračunu povečevalnega časa za sistem drugega reda. Enačba za sistem drugega reda je:

$C(t) = 1-\frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi)$

Povečevalni čas je označen z tr.

$C(t) = C(t_r) = 1$

$1 = 1 - \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi)$

$\frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi) = 0$

$sin(\omega_d t_r + \phi) = 0$

$sin(\omega_d t_r + \phi) = sin(\pi)$

$(\omega_d t_r + \phi) = (\pi)$

$\omega_d t_r = \pi - \phi$

$t_r = \frac{\pi - \phi}{\omega_d}$

Kjer,

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$\phi = tan^{-1} (\frac{\sqrt{1-\zeta^2})}{\zeta}$

Zato je končna formula za čas vzpona:

$t_r = \frac{\pi - tan^{-1} (\frac{\sqrt{1-\zeta^2})}{\zeta}}{\omega_n \sqrt{1-\zeta^2} }$

Kako izračunati čas vzpona?

Sistem prvega reda

Na primer, najdemo čas vzpona sistema prvega reda. Prenosna funkcija sistema prvega reda je prikazana v spodnji enačbi.

$G(s) = \frac{5}{s+2}$

Primerjajte prenosno funkcijo s standardno obliko prenosne funkcije.

$G(s) = \frac{b}{s+a}$

Torej; a=2 in b=5;

Enačba za čas vzpona prvega reda sistema je;

$t_r = \frac{2.2}{a}$

$t_r = \frac{2.2}{2}$

$t_r = 1.1 sec$

Drugi redni sistem

Najdite čas vzpona drugega rednega sistema z naravno frekvenco 5 rad/sec in koeficientom dušenja 0,6.

$\omega_n = 5 rad/sec$

$\zeta = 0.6$

Enačba za čas vzpona za sistem drugega reda je;

$t_r = \frac{\pi - \phi}{\omega_d}$

Zdaj moramo najti vrednost ф in ωd.

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-\zeta^2}}{\zeta} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-0.6 ^2}}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-0.36}}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{0.8}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} (1.33)$

$\phi = 0.9272 rad$

Sedaj za ωd,

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$\omega_d = 5 \times 0.8$

$\omega_d = 4 rad/sec$

Te vrednosti vstavite v enačbo za čas vzpona;

$t_r = \frac{3.14-0.9272}{4}$

$t_r = \frac{2.2128}{4}$

$t_r = 0.5532 sec$

Zakaj je čas vzpona 10% do 90%?

Za izračun časa vzpona ni nujno, da moramo meriti čas med 10% in 90%.

Vendar v večini primerov je čas vzpona izračunan med temi vrednostmi.

Te vrednosti uporabljamo, ker signali lahko imajo zelo različne taljice v prvih in zadnjih delih svojih končnih vrednosti.

Na primer, vzemimo spodnji vzorec preklopa:

Vrednost je nekaj časa znašala približno nič, preden se je začela poviševati in dosegle končno vrednost.

Ni primeren izračun "časa narastanja" od trenutka, ko je bila vrednost enaka nič, saj to ne bi bilo predstavljivo za čas, ki ga signal potrebuje za narastanje med tem prehodnim stanjem (očitno je bil na začetku Tr dogodil nek trigger).

Na koncu uporabimo 90 % namesto 100 %, ker signali pogosto nikoli ne dosežejo svoje končne vrednosti.

Podobno kot pri logaritmičnem grafu bo nikoli dosegel 100 %, s spopadom grafa, ki se zmanjšuje s časom.

Zato na kratko: preklopniki imajo različne vzorce preklopa na začetku in koncu.

Toda med prehodom med temi fazami imajo vsi napravi podoben vzorec narastanja. In merjenje 10 % do 90 % tega prehoda običajno daje pravo predstavitev časa narastanja na širokem spektru naprav.

Zato v večini pogojih izračunamo čas narastanja med 10 % in 90 %.

Čas narastanja vs. čas padanja

Čas padanja je definiran kot čas, ki ga signal potrebuje, da pada (se zmanjša) od določene vrednosti (X) do druge določene vrednosti (Y).

V večini primerov je zgornja določena vrednost (X) 90 % vrhunske vrednosti, nizja pa 10 % vrhunske vrednosti. Diagram, ki prikazuje čas padanja, je prikazan spodaj.

rise time vs fall time — Čas narastanja vs. čas padanja

V nekem smislu se lahko čas padanja obravnava kot obratni čas narastanja glede na način njegovega izračuna.

Vendar je pomembno poudariti, da čas padanja ni nujno enak času narastanja.

Razen, če imate simetrično val (na primer sinusni val), sta čas narastanja in čas padanja neodvisna.

In ne obstaja splošno razmerje med časom narastanja in časom padanja. Oba količini igrajo ključno vlogo pri analizi signalov v sistemih za nadzor in digitalnih elektronikih.

Čas narastanja in pasovna širina

Za praktično meritve signala uporabljamo osciloskop. Če poznamo čas narastanja signala, lahko najdemo pasovno širino signala za testiranje.

To nam bo pomagalo izbrati osciloskop z večjo ali enako pasovno širino. In bo zagotovil točne rezultate pri prikazu na osciloskopu.

Če poznamo čas narastanja signala, lahko ugotovimo, kako bo osciloskop počasnil signal in dodal času narastanja.

Razmerje med pasovno širino (BW) in časom narastanja (tr) je izraženo s formulo spodaj.

$BW \approx \frac{0.35}{t_r}$

Gornja formula predpostavlja, da je čas narastanja merjen v obsegu od 10% do 90% končne vrednosti.

Ugodne enote za pasovno širino so MHz ali GHz, za čas narastanja pa μs ali ns.

Če imajo vhodni posiljevalniki osciloskopa preprosto frekvenčno odzivnost, števec 0.35 zagotavlja točen rezultat.

Vendar mnogi osciloskopi imajo hitrejše padanje, da bi zagotovili bolj ravno frekvenčno odzivnost v propusnem pasu. V tem primeru se števec poveča na 0.45 ali več.

Na primer, ko je na osciloskopu prikazan kvadratni val, ima čas vzpona 10-90 % 1 ns. Kako bo približna pasovna širina osciloskopa?

Z vstavljanjem teh številk v zgornjo formulo,

$BW = \frac{3.5}{10^{-9}} = 3.5 \times 10^{-9} = 350MHz$