Tempo de subida: Que é? (Ecuación e como calcularlo)

Campo: Electrónica Básica

China

qué é o tempo de subida

Qué é o tempo de subida

O tempo de subida defínese como o tempo necesario para que unha señal pase dun valor baixo especificado a un valor alto especificado. Na electrónica analóxica e dixital, os valores inferiores e superiores especificados son o 10% e o 90% do valor final ou estable. Polo tanto, o tempo de subida xeralmente defínese como o tempo que leva unha señal para pasar do 10% ao 90% do seu valor final.

O tempo de subida é un parámetro esencial nos sistemas analóxicos e dixitais. Describe o tempo que leva a saída para aumentar dun nivel a outro nun sistema analóxico, o que ten moitas implicacións no mundo real. O tempo de subida indícanos canto tempo pasa unha señal no estado intermedio entre dous niveis lóxicos válidos nun sistema dixital.

Na teoría de control, o tempo de subida defínese como o tempo necesario para que a resposta pase do X% ao Y% do seu valor final. Os valores de X e Y varían dependendo do tipo de sistema.

O tempo de subida para sistemas de segundo orde subamortiguados é do 0% ao 100%, para sistemas críticamente amortiguados é do 5% ao 95%, e para sistemas sobreamortiguados é do 10% ao 90%.

Equación do tempo de subida

Para o cálculo na análise no dominio do tempo, consideramos o sistema de primeiro orde e o sistema de segundo orde.

Así, para calcular a fórmula do tempo de subida, consideramos sistemas de primeiro e segundo orde.

Tempo de subida dun sistema de primeiro orde

O sistema de primeiro orde considera a seguinte función de transferencia en bucle pechado.

$G(s) = \frac{1}{Ts+1} = \frac{b}{s+a}$

Na función de transferencia, T defínese como unha constante de tempo. As características no dominio do tempo do sistema de primeiro orde calculanse en termos da constante de tempo T.

Agora, supóñase que a entrada de referencia do sistema en bucle pechado é unha función de paso unitario. E defínese en termos da transformada de Laplace como;

$R(s) = \frac{1}{s}$

Así, a señal de saída definirase como;

$C(s) = G(s) R(s)$

$C(s) = \frac{1}{Ts+1} \times \frac{1}{s}$

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}} \times \frac{1}{s}$

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}$

Resolva esta ecuación usando fracción parcial;

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

Agora, atopemos os valores de A1 e A2;

$\frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}} = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}$

$A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s = \frac{1}{T}$

Para s=0;

$A_1(0+\frac{1}{T}) + A_2 (0) = \frac{1}{T}$

$A_1 \frac{1}{T} = \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

Para s=-1/T;

$A_1(\frac{-1}{T} + \frac{1}{T}) + A_2 (\frac{-1}{T}) = \frac{1}{T}$

$A_1 (0) - A_2 \frac{1}{T} = \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

Por tanto

$C(s) = \frac{1}{s} + \frac{-1}{s+\frac{1}{T}}$

Tomando a transformada inversa de Laplace;

$C(t) = L^{-1} \left[ \frac{1}{s} -\frac{1}{s+\frac{1}{T}} \right]$

$C(t) = 1-e^{\frac{-t}{T}}$

Agora, calculamos o tempo de subida entre 10% e 90% do valor final.

$C(t_{10}) = 0.10 \quad and \quad C(t_{90}) = 0.90$

$0.10 = 1 - e^{\frac{t_{10}}{T}}$

$e^{\frac{t_{10}}{T}} = 1-0.10$

$e^{\frac{t_{10}}{T}} = 0.9$

$\frac{-t_{10}}{T} = ln(0.9)$

$t_{10} = -T ln(0.9)$

$t_{10} = -T (-0.1053)$

$t_{10} = 0.1053T$

De forma similar;

$0.90 = 1 - e^{\frac{t_{90}}{T}}$

$e^{\frac{t_{90}}{T}} = 1 - 0.9$

$e^{\frac{t_{90}}{T}} = 0.1$

$\frac{-t_{90}}{T} = ln(0.1)$

$t_{90} = -T (-2.3025)$

$t_{90} = 2.3025T$

Agora, para o tempo de subida tr;

$t_r = t_{90} - t_{10}$

$t_r = 2.3025T - 0.1053T$

$t_r = 2.197 T$

$t_r \approx 2.2T = \frac{2.2}{a}$

Tempo de subida dun sistema de segundo orde

Nun sistema de segundo orde, o tempo de subida calculase dende o 0% ao 100% para o sistema infradesamortizado, dende o 10% ao 90% para o sistema sobredesamortizado e dende o 5% ao 95% para o sistema criticamente desamortizado.

Aquí, discutiremos o cálculo do tempo de subida para un sistema de segundo orde. E a ecuación para un sistema de segundo orde é;

$C(t) = 1-\frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi)$

O tempo de subida denótase por tr.

$C(t) = C(t_r) = 1$

$1 = 1 - \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi)$

$\frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi) = 0$

$sin(\omega_d t_r + \phi) = 0$

$sin(\omega_d t_r + \phi) = sin(\pi)$

$(\omega_d t_r + \phi) = (\pi)$

$\omega_d t_r = \pi - \phi$

$t_r = \frac{\pi - \phi}{\omega_d}$

Onde,

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$\phi = tan^{-1} (\frac{\sqrt{1-\zeta^2})}{\zeta}$

Por tanto, a fórmula final do tempo de subida é;

$t_r = \frac{\pi - tan^{-1} (\frac{\sqrt{1-\zeta^2})}{\zeta}}{\omega_n \sqrt{1-\zeta^2} }$

Como calcular o tempo de subida?

Sistema de primeira orde

Por exemplo, encontre o tempo de subida dun sistema de primeira orde. A función de transferencia dun sistema de primeira orde está mostrada na ecuación abaixo.

$G(s) = \frac{5}{s+2}$

Compara a función de transferencia coa forma estándar da función de transferencia.

$G(s) = \frac{b}{s+a}$

Por tanto; a=2 e b=5;

A ecuación do tempo de subida para un sistema de primeira orde é;

$t_r = \frac{2.2}{a}$

$t_r = \frac{2.2}{2}$

$t_r = 1.1 sec$

Sistema de segundo orde

Atopa o tempo de subida dun sistema de segundo orde cunha frecuencia natural de 5 rad/seg e unha relación de amortización de 0.6.

$\omega_n = 5 rad/sec$

$\zeta = 0.6$

A ecuación do tempo de subida para un sistema de segundo orde é;

$t_r = \frac{\pi - \phi}{\omega_d}$

Agora, temos que atopar o valor de ф e ωd.

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-\zeta^2}}{\zeta} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-0.6 ^2}}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-0.36}}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{0.8}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} (1.33)$

$\phi = 0.9272 rad$

Agora, para ωd,

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$\omega_d = 5 \times 0.8$

$\omega_d = 4 rad/sec$

Introduza estes valores na ecuación do tempo de subida;

$t_r = \frac{3.14-0.9272}{4}$

$t_r = \frac{2.2128}{4}$

$t_r = 0.5532 sec$

Por que o tempo de subida é de 10% a 90%?

Para calcular o tempo de subida, non é obrigatorio medir o tempo entre o 10% e o 90%.

Pero en moitos casos, o tempo de subida calculase entre estes valores.

Usamos estes valores porque as señais poden ter formas de onda moi diferentes nas primeiras e últimas porcións dos seus valores finais.

Por exemplo, toma o patrón de conmutación seguinte:

switching pattern — Patrón de conmutación

Este valor estivo aproximadamente a cero durante algún tempo antes de subir e alcanzar o seu valor final.

Non sería apropiado calcular o "tempo de subida" a partir do momento en que o valor estaba a cero, xa que iso non sería representativo do tempo necesario para que a sinal suba durante este estado intermedio (claramente houbo algunha activación que ocorreu ao comezo de Tr).

No final, utilizamos o 90% en lugar do 100% porque as sinais adoitan non alcanzar nunca o seu valor final.

Semellante á forma dun gráfico logarítmico, nunca chegará ao 100%, coa pendente do gráfico diminuíndo ao longo do tempo.

En resumo: os dispositivos de conmutación teñen diferentes patróns de conmutación nas etapas iniciais e finais.

Pero durante a transición entre estas etapas, todos os dispositivos teñen un patrón de subida similar. E medir o 10% ao 90% desta transición xeralmente ofrece unha representación justa do tempo de subida nun amplio rango de dispositivos.

Por tanto, en moitas condicións, calculamos o tempo de subida entre o 10% e o 90%.

Tempo de Subida vs Tempo de Descenso

O tempo de descenso define o tempo que leva unha sinal para descer (diminuír) dende un valor especificado (X) a outro valor especificado (Y).

Na maioría dos casos, o valor superior especificado (X) é o 90% do valor máximo e o valor inferior especificado é o 10% do valor máximo. A continuación amóstrase un diagrama que ilustra o tempo de descenso.

rise time vs fall time — Tempo de Subida vs Tempo de Descenso

Así, en certo sentido, o tempo de descenso pode considerarse o inverso do tempo de subida, en termos de como se calcula.

Pero é importante subliñar que o tempo de caída non é necesariamente igual ao tempo de subida.

A menos que teñas unha onda simétrica (como unha onda senoidal), o tempo de subida e o tempo de caída son independentes.

E non hai unha relación xeneralizada entre o tempo de subida e o tempo de caída. Ambas cantidades xogan un papel vital no análise de sinais en sistemas de control e electrónica dixital.

Tempo de Subida e Ancho de Banda

Para medir o sinal de maneira práctica, usamos un osciloscopio. Se coñecemos o tempo de subida do sinal, podemos atopar o ancho de banda do sinal para a proba.

Isto axudará a escoller un osciloscopio con maior ou igual ancho de banda. E proporcionará resultados de visualización precisos no osciloscopio.

Se coñecemos o tempo de subida do sinal, podemos determinar canto o osciloscopio ralentizará o sinal e engadirá ao seu tempo de subida.

A relación entre o ancho de banda (BW) e o tempo de subida (tr) exprésase na fórmula seguinte.

$BW \approx \frac{0.35}{t_r}$

A fórmula anterior asume que o tempo de subida se mide no rango do 10% ao 90% do valor final.

As unidades convenientes para o ancho de banda son MHz ou GHz e para o tempo de subida μs ou ns.

Se os amplificadores de entrada dun osciloscopio teñen unha resposta de frecuencia simple, o numerador 0.35 dá un resultado preciso.

Pero moitos osciloscopios teñen un rolloff máis rápido para dar unha resposta de frecuencia máis plana na banda de paso. Nesta condición, o numerador aumenta a 0.45 ou máis.

Por exemplo, cando unha onda cadrada se visualiza nun osciloscopio, ten un tempo de subida do 10-90% de 1ns. Cal será a anchura de banda aproximada do osciloscopio?

Ao substituír estes números na fórmula anterior,

$BW = \frac{3.5}{10^{-9}} = 3.5 \times 10^{-9} = 350MHz$