Време на нарастване: Какво е то? (Уравнение и как да го изчислите)

Поле: Основни електротехника

China

what is rise time

Какво е време на изкачване?

Времето на изкачване се дефинира като времето, необходимо за сигнал да премине от определена ниска стойност до определена висока стойност. В аналоговата и цифровата електроника, определените ниски и високи стойности са 10% и 90% от крайната или устойчивата стойност. Следователно, времето на изкачване обикновено се дефинира като времето, необходимо за сигнал да премине от 10% до 90% от крайната си стойност.

Времето на изкачване е важен параметър в аналоговите и цифровите системи. То описва времето, необходимо за изхода да се увеличи от едно ниво до друго в аналогова система, което има много приложения в реалния свят. Времето на изкачване ни показва колко дълго сигналът се намира в промеждутъчно състояние между две валидни логически нива в цифрова система.

В теорията на управлението, времето на изкачване се дефинира като времето, необходимо за отговора да се увеличи от X% до Y% от крайната му стойност. Стойностите на X и Y вариират според типа на системата.

Времето на изкачване за недопускане втори ред системи е 0% до 100%, за критично допускане системи е 5% до 95%, а за преки допускане системи е 10% до 90%.

Уравнение за време на изкачване

За изчисления в анализа на времевата област, разглеждаме системи от първи и втори ред.

Следователно, за да изчислим формулата за време на изкачване, разглеждаме системи от първи и втори ред.

Време на изкачване на система от първи ред

Системата от първи ред се разглежда чрез следната затворена трансферна функция.

$G(s) = \frac{1}{Ts+1} = \frac{b}{s+a}$

В трансферната функция T е дефинирана като времева константа. Времевите характеристики на първия ред системата се изчисляват във връзка с времевата константа T.

Сега, предположете, че референтният вход на затворената система е единична стъпкова функция. И тя е дефинирана в термини на преобразуването на Лаплас като:

$R(s) = \frac{1}{s}$

Така, изходният сигнал ще бъде дефиниран като:

$C(s) = G(s) R(s)$

$C(s) = \frac{1}{Ts+1} \times \frac{1}{s}$

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}} \times \frac{1}{s}$

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}$

Решете това уравнение с помощта на частични дроби

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

Сега намерете стойностите на A1 и A2;

$\frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}} = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}$

$A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s = \frac{1}{T}$

За s=0;

$A_1(0+\frac{1}{T}) + A_2 (0) = \frac{1}{T}$

$A_1 \frac{1}{T} = \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

За s=-1/T;

$A_1(\frac{-1}{T} + \frac{1}{T}) + A_2 (\frac{-1}{T}) = \frac{1}{T}$

$A_1 (0) - A_2 \frac{1}{T} = \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

Следователно,

$C(s) = \frac{1}{s} + \frac{-1}{s+\frac{1}{T}}$

Приемайки обратното Лапласово преобразуване;

$C(t) = L^{-1} \left[ \frac{1}{s} -\frac{1}{s+\frac{1}{T}} \right]$

$C(t) = 1-e^{\frac{-t}{T}}$

Сега, изчисляваме времето за нарастване между 10% и 90% от крайната стойност.

$C(t_{10}) = 0.10 \quad and \quad C(t_{90}) = 0.90$

$0.10 = 1 - e^{\frac{t_{10}}{T}}$

$e^{\frac{t_{10}}{T}} = 1-0.10$

$e^{\frac{t_{10}}{T}} = 0.9$

$\frac{-t_{10}}{T} = ln(0.9)$

$t_{10} = -T ln(0.9)$

$t_{10} = -T (-0.1053)$

$t_{10} = 0.1053T$

По същия начин;

$0.90 = 1 - e^{\frac{t_{90}}{T}}$

$e^{\frac{t_{90}}{T}} = 1 - 0.9$

$e^{\frac{t_{90}}{T}} = 0.1$

$\frac{-t_{90}}{T} = ln(0.1)$

$t_{90} = -T (-2.3025)$

$t_{90} = 2.3025T$

Сега, за времето на изкачване tr;

$t_r = t_{90} - t_{10}$

$t_r = 2.3025T - 0.1053T$

$t_r = 2.197 T$

$t_r \approx 2.2T = \frac{2.2}{a}$

Време на изкачване на системата от втори ред

В системата от втори ред, времето на изкачване се изчислява от 0% до 100% за недостатъчно демпфиранията система, от 10% до 90% за прекомерно демпфиранията система и от 5% до 95% за критично демпфиранията система.

Тук ще обсъдим изчисленията на времето на изкачване за система от втори ред. Уравнението за система от втори ред е;

$C(t) = 1-\frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi)$

Времето на изкачване се означава с tr.

$C(t) = C(t_r) = 1$

$1 = 1 - \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi)$

$\frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi) = 0$

$sin(\omega_d t_r + \phi) = 0$

$sin(\omega_d t_r + \phi) = sin(\pi)$

$(\omega_d t_r + \phi) = (\pi)$

$\omega_d t_r = \pi - \phi$

$t_r = \frac{\pi - \phi}{\omega_d}$

Където,

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$\phi = tan^{-1} (\frac{\sqrt{1-\zeta^2})}{\zeta}$

Следователно, окончателната формула за времето на изкачване е;

$t_r = \frac{\pi - tan^{-1} (\frac{\sqrt{1-\zeta^2})}{\zeta}}{\omega_n \sqrt{1-\zeta^2} }$

Как да се изчисли времето на изкачване?

Първият ред системи

Например, намерете времето на изкачване на система от първи ред. Преходната функция на система от първи ред е показана в уравнението по-долу.

$G(s) = \frac{5}{s+2}$

Сравнете преносната функция със стандартния формат на преносната функция.

$G(s) = \frac{b}{s+a}$

Така; a=2 и b=5;

Уравнението за времето на възход за първи ред системи е;

$t_r = \frac{2.2}{a}$

$t_r = \frac{2.2}{2}$

$t_r = 1.1 sec$

Система от втори ред

Намерете времето на нарастване на система от втори ред с естествена честота 5 рад/сек и демпфен коефициент 0.6.

$\omega_n = 5 rad/sec$

$\zeta = 0.6$

Уравнението за времето на изкачване за система от втори ред е;

$t_r = \frac{\pi - \phi}{\omega_d}$

Сега трябва да намерим стойността на ф и ωd.

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-\zeta^2}}{\zeta} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-0.6 ^2}}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-0.36}}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{0.8}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} (1.33)$

$\phi = 0.9272 rad$

Сега, за ωd,

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$\omega_d = 5 \times 0.8$

$\omega_d = 4 rad/sec$

Поставете тези стойности в уравнението за време на изкачване;

$t_r = \frac{3.14-0.9272}{4}$

$t_r = \frac{2.2128}{4}$

$t_r = 0.5532 sec$

Защо възходящото време е от 10% до 90%?

За изчисляването на възходящото време не е задължително да измерваме времето между 10% и 90%.

Но в повечето случаи, възходящото време се изчислява между тези стойности.

Използваме тези стойности, защото сигналите може да имат много различни форми на вълната в началната и крайната част на техните крайни стойности.

Например, вземете следния модел на комутиране:

Тази стойност е била приблизително нула за известно време, преди да се увеличи и достигне финалната си стойност.

Не би било подходящо да се изчисли „времето на увеличение“ от момент, в който стойността е била нула, тъй като това не би било представително за времето, необходимо за сигнала, за да се увеличи в това промеждутъчно състояние (очевидно има някакъв тригер, който се е случил в началото на Tr).

В края, използваме 90% вместо 100%, защото често сигнали никога не достигат финалната си стойност.

Подобно на това как изглежда логаритмичен график, той никога напълно не достига 100%, а градиентът на графика намалява с времето.

За да обобщим: устройствата за комутация имат различни комутационни паттерни в началния и крайния етап.

Но по време на прехода между тези етапи, всички устройства имат подобен паттерн на увеличение. Измерването на 10% до 90% от този преход обикновено дава справедливо представяне на времето на увеличение в широк диапазон от устройства.

Поради това, при повечето условия, изчисляваме времето на увеличение между 10% и 90%.

Време на увеличение vs Време на намаление

Времето на намаление се дефинира като времето, необходимо за сигнал, за да намалее от определена стойност (X) до друга определена стойност (Y).

В повечето случаи, горната определена стойност (X) е 90% от пиковата стойност, а долната определена стойност е 10% от пиковата стойност. Диаграма, илюстрираща времето на намаление, е показана по-долу.

rise time vs fall time — Време на увеличение vs Време на намаление

По този начин, времето на намаление може да се счита за обратно на времето на увеличение, в смисъл на начина, по който се изчислява.

Важно обаче да подчертаем, че времето за спад не е необходимо равно на времето за нарастване.

Освен ако не разполагате със симетричен сигнал (например синусоидален), времето за нарастване и времето за спад са независими.

Няма обобщена връзка между времето за нарастване и времето за спад. Двете величини играят ключова роля в анализата на сигнали в системите за управление и дигиталната електроника.

Време за нарастване и пропускна способност

За практическо измерване на сигнала използваме осцилоскоп. Ако знаем времето за нарастване на сигнала, можем да намерим пропускната способност на сигнала за тестове.

Това ще помогне за избор на осцилоскоп с по-голяма или равна пропускна способност. И това ще даде точни резултати при отображение в осцилоскопа.

Ако знаем времето за нарастване на сигнала, можем да определим колко осцилоскопът ще забави сигнала и добави към времето му за нарастване.

Връзката между пропускната способност (BW) и времето за нарастване (tr) се изразява с формулата по-долу.

$BW \approx \frac{0.35}{t_r}$

Посочената формула предполага, че времето за нарастване се измерва в диапазона от 10% до 90% от крайната стойност.

Удобните единици за пропускна способност са МХц или ГХц, а за времето за нарастване μс или нс.

Ако входните усилватели на осцилоскопа имат проста честотна характеристика, числителят 0.35 дава точен резултат.

Но много осцилоскопи имат по-бърз спад, за да предоставят по-равна честотна характеристика в пропуснатата зона. В този случай числителят се увеличава до 0.45 или повече.

Например, когато квадратна вълна се показва на осцилоскоп, тя има време за нарастване от 10-90% от 1 нс. Каква ще е приблизителната честотна лента на осцилоскопа?

Чрез заместване на тези числа в горната формула,

$BW = \frac{3.5}{10^{-9}} = 3.5 \times 10^{-9} = 350MHz$