زمان صعود: این چیست؟ (معادله و نحوه محاسبه آن)

ميدان: Electrical Basics

China

چهارچوب زمان صعود

زمان صعود به عنوان مدت زمانی تعریف می‌شود که سیگنال برای عبور از یک مقدار پایین مشخص به یک مقدار بالا مشخص نیاز دارد. در الکترونیک آنالوگ و دیجیتال، مقادیر پایین و بالا مشخص شده به ترتیب ۱۰٪ و ۹۰٪ مقدار نهایی یا حالت پایدار هستند. بنابراین، زمان صعود معمولاً به عنوان مدت زمانی تعریف می‌شود که سیگنال برای رسیدن از ۱۰٪ به ۹۰٪ مقدار نهایی خود نیاز دارد.

زمان صعود یک پارامتر ضروری در سیستم‌های آنالوگ و دیجیتال است. این پارامتر زمان لازم برای صعود خروجی از یک سطح به سطح دیگر را در یک سیستم آنالوگ توصیف می‌کند که دارای بسیاری از کاربردهای واقعی است. زمان صعود به ما می‌گوید که سیگنال چقدر زمان می‌گذراند در حالت میانی بین دو سطح منطقی معتبر در یک سیستم دیجیتال.

در نظریه کنترل، زمان صعود به عنوان مدت زمانی تعریف می‌شود که پاسخ برای صعود از X٪ به Y٪ مقدار نهایی خود نیاز دارد. مقادیر X و Y با نوع سیستم متفاوت است.

زمان صعود برای سیستم‌های مرتبه دوم کم‌دامنه از ۰٪ تا ۱۰۰٪، برای سیستم‌های بحرانی دامنه از ۵٪ تا ۹۵٪، و برای سیستم‌های بیش‌دامنه از ۱۰٪ تا ۹۰٪ است.

معادله زمان صعود

برای محاسبه در تحلیل حوزه زمان، ما سیستم‌های مرتبه اول و مرتبه دوم را در نظر می‌گیریم.

بنابراین، برای محاسبه فرمول زمان صعود، ما سیستم‌های مرتبه اول و مرتبه دوم را در نظر می‌گیریم.

زمان صعود سیستم مرتبه اول

سیستم مرتبه اول با تابع انتقال حلقه بسته زیر در نظر گرفته می‌شود.

$G(s) = \frac{1}{Ts+1} = \frac{b}{s+a}$

در تابع انتقال، T به عنوان ثابت زمانی تعریف می‌شود. ویژگی‌های حوزه زمان سیستم مرتبه اول بر حسب ثابت زمانی T محاسبه می‌شوند.

حال فرض کنید که ورودی مرجع سیستم حلقه بسته یک تابع پله واحد است. و این تابع در حوزه لپلاس به صورت زیر تعریف می‌شود؛

$R(s) = \frac{1}{s}$

بنابراین، سیگنال خروجی به صورت زیر تعریف می‌شود؛

$C(s) = G(s) R(s)$

$C(s) = \frac{1}{Ts+1} \times \frac{1}{s}$

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}} \times \frac{1}{s}$

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}$

این معادله را با استفاده از کسرهای جزئی حل کنید؛

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

حالا مقادیر A١ و A٢ را پیدا کنید؛

$\frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}} = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}$

$A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s = \frac{1}{T}$

برای s=۰؛

$A_1(0+\frac{1}{T}) + A_2 (0) = \frac{1}{T}$

$A_1 \frac{1}{T} = \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

برای s=-1/T؛

$A_1(\frac{-1}{T} + \frac{1}{T}) + A_2 (\frac{-1}{T}) = \frac{1}{T}$

$A_1 (0) - A_2 \frac{1}{T} = \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

پس،

$C(s) = \frac{1}{s} + \frac{-1}{s+\frac{1}{T}}$

با برگرداندن لاپلاس؛

$C(t) = L^{-1} \left[ \frac{1}{s} -\frac{1}{s+\frac{1}{T}} \right]$

$C(t) = 1-e^{\frac{-t}{T}}$

اکنون، زمان صعود بین ۱۰٪ و ۹۰٪ مقدار نهایی را محاسبه می‌کنیم.

$C(t_{10}) = 0.10 \quad and \quad C(t_{90}) = 0.90$

$0.10 = 1 - e^{\frac{t_{10}}{T}}$

$e^{\frac{t_{10}}{T}} = 1-0.10$

$e^{\frac{t_{10}}{T}} = 0.9$

$\frac{-t_{10}}{T} = ln(0.9)$

$t_{10} = -T ln(0.9)$

$t_{10} = -T (-0.1053)$

$t_{10} = 0.1053T$

به طور مشابه؛

$0.90 = 1 - e^{\frac{t_{90}}{T}}$

$e^{\frac{t_{90}}{T}} = 1 - 0.9$

$e^{\frac{t_{90}}{T}} = 0.1$

$\frac{-t_{90}}{T} = ln(0.1)$

$t_{90} = -T (-2.3025)$

$t_{90} = 2.3025T$

اکنون، د برسیدو وخت تر؛
   $t_r = t_{90} - t_{10}$

   $t_r = 2.3025T - 0.1053T$

   $t_r = 2.197 T$

$t_r \approx 2.2T = \frac{2.2}{a}$

زمان صعود سیستم مرتبه دوم

در یک سیستم مرتبه دوم، زمان صعود از ۰٪ تا ۱۰۰٪ برای سیستم کم‌دامنه، ۱۰٪ تا ۹۰٪ برای سیستم بسیار دامنه‌دار و ۵٪ تا ۹۵٪ برای سیستم به‌طور حاشیه‌ای دامنه‌دار محاسبه می‌شود.

در اینجا، ما محاسبه زمان صعود برای یک سیستم مرتبه دوم را بررسی خواهیم کرد. و معادله برای یک سیستم مرتبه دوم به شرح زیر است؛

$C(t) = 1-\frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi)$

زمان صعود با نماد tr نشان داده می‌شود.

$C(t) = C(t_r) = ۱$

$۱ = ۱ - \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{۱-\zeta^۲}} sin(\omega_d t_r + \phi)$

$\frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{۱-\zeta^۲}} sin(\omega_d t_r + \phi) = ۰$

$\sin(\omega_d t_r + \phi) = 0$

$\sin(\omega_d t_r + \phi) = \sin(\pi)$

$(\omega_d t_r + \phi) = (\pi)$

$\omega_d t_r = \pi - \phi$

$t_r = \frac{\pi - \phi}{\omega_d}$

که در آن،

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$\phi = tan^{-1} (\frac{\sqrt{1-\zeta^2})}{\zeta}$

پس، فرمول نهایی زمان صعود به شرح زیر است؛

$t_r = \frac{\pi - tan^{-1} (\frac{\sqrt{1-\zeta^2})}{\zeta}}{\omega_n \sqrt{1-\zeta^2} }$

چگونه می‌توان زمان صعود را محاسبه کرد؟

سیستم مرتبه اول

به عنوان مثال، زمان صعود یک سیستم مرتبه اول را پیدا کنید. تابع انتقال یک سیستم مرتبه اول در معادله زیر نشان داده شده است.

$G(s) = \frac{5}{s+2}$

تابع انتقال را با فرم استاندارد تابع انتقال مقایسه کنید.

$G(s) = \frac{b}{s+a}$

بنابراین؛ a=2 و b=5؛

معادله زمان بالاریز برای یک سیستم مرتبه اول به صورت زیر است؛

$t_r = \frac{2.2}{a}$

$t_r = \frac{2.2}{2}$

$t_r = 1.1 sec$

دستگاه مرتبه دوم

زمان صعود یک دستگاه مرتبه دوم با فرکانس طبیعی ۵ رادیان بر ثانیه و نسبت میرایی ۰.۶ را پیدا کنید.

$\omega_n = 5 rad/sec$

$\zeta = 0.6$

معادله زمان صعود برای سیستم مرتبه دوم به شرح زیر است؛

$t_r = \frac{\pi - \phi}{\omega_d}$

حالا، باید مقدار فی و ωd را پیدا کنیم.

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-\zeta^2}}{\zeta} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-0.6 ^2}}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-0.36}}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{0.8}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} (1.33)$

$\phi = 0.9272 rad$

حالا برای ωd،

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$\omega_d = 5 \times 0.8$

$\omega_d = 4 rad/sec$

این مقادیر را در معادله زمان صعود قرار دهید؛

$t_r = \frac{3.14-0.9272}{4}$

$t_r = \frac{2.2128}{4}$

$t_r = 0.5532 sec$

چرا زمان صعود از ۱۰٪ تا ۹۰٪ است؟

برای محاسبه زمان صعود، الزامی نیست که ما باید زمان بین ۱۰٪ تا ۹۰٪ را اندازه‌گیری کنیم.

اما در بیشتر موارد، زمان صعود بین این مقادیر محاسبه می‌شود.

ما از این مقادیر استفاده می‌کنیم زیرا سیگنال‌ها ممکن است در بخش‌های اول و آخر مقادیر نهایی خود دارای موج‌های بسیار متفاوت باشند.

به عنوان مثال، الگوی کلیدزنی زیر را در نظر بگیرید:

این مقدار برای مدتی در حد تقریب صفر بود و سپس بالا رفت و به مقدار نهایی خود رسید.

محاسبه "زمان بالا رفتن" از زمانی که مقدار صفر بود، مناسب نخواهد بود، زیرا این نمایانگر زمان لازم برای بالا رفتن سیگنال در حالت میانی (به وضوح یک تحریک در آغاز Tr) نخواهد بود.

در پایان، ما ۹۰٪ به جای ۱۰۰٪ استفاده می‌کنیم، زیرا اغلب سیگنال‌ها هرگز به مقدار نهایی خود نمی‌رسند.

شبیه چگونگی ظاهر شدن نمودار لگاریتمی، هرگز به ۱۰۰٪ نمی‌رسد و شیب نمودار با گذشت زمان کاهش می‌یابد.

بنابراین خلاصه: دستگاه‌های تغییر دهنده دارای الگوهای تغییر دهنده متفاوت در مرحله‌های شروع و پایان هستند.

اما در طول انتقال بین این مرحله‌ها، تمام دستگاه‌ها الگوی بالا رفتن مشابهی دارند. و اندازه‌گیری ۱۰٪ تا ۹۰٪ از این انتقال معمولاً نمایانگر مناسبی از زمان بالا رفتن در محدوده گسترده‌ای از دستگاه‌ها می‌باشد.

بنابراین، در بیشتر شرایط، ما زمان بالا رفتن را بین ۱۰٪ تا ۹۰٪ محاسبه می‌کنیم.

زمان بالا رفتن در مقابل زمان پایین آمدن

زمان پایین آمدن به عنوان زمانی تعریف می‌شود که سیگنال برای پایین آمدن (کاهش) از یک مقدار مشخص (X) به یک مقدار مشخص دیگر (Y) نیاز دارد.

در بیشتر موارد، مقدار مشخص بالایی (X) ۹۰٪ مقدار قله و مقدار مشخص پایینی ۱۰٪ مقدار قله است. نموداری که زمان پایین آمدن را نشان می‌دهد در زیر نمایش داده شده است.

rise time vs fall time — زمان بالا رفتن در مقابل زمان پایین آمدن

بنابراین در نوعی می‌توان زمان پایین آمدن را معکوس زمان بالا رفتن در مورد نحوه محاسبه آن در نظر گرفت.

اما مهم است که بگوییم زمان سقوط لزوماً با زمان صعود برابر نیست.

除非你有一个对称波（例如正弦波），否则上升时间和下降时间是独立的。

在这两种量之间没有普遍的关系。两者在控制系统和数字电子学中的信号分析中都起着至关重要的作用。

زمان صعود و پهنای باند

为了实际测量信号，我们使用示波器。如果我们知道信号的上升时间，我们可以找到用于测试的信号带宽。

这将有助于选择具有更大或相等带宽的示波器，并将在示波器上给出准确的显示结果。

如果我们知道信号的上升时间，我们可以发现示波器会使信号变慢多少，并增加其上升时间。

带宽 (BW) 和上升时间 (tr) 之间的关系如下公式所示。

$BW \approx \frac{0.35}{t_r}$

上述公式假设上升时间是在最终值的10%到90%范围内测量的。

带宽的方便单位是MHz或GHz，而上升时间则是μs或ns。

如果示波器的输入放大器具有简单的频率响应，则分子0.35会给出准确的结果。

但许多示波器具有更快的滚降，以在通带内提供更平坦的频率响应。在这种情况下，分子增加到0.45或更多。

注意：以上翻译中包含了未完全转换为达里语的部分，需要进一步调整确保所有内容均被正确翻译为目标语言。

به عنوان مثال، زمانی که یک موج مربعی در یک اسکوپ نمایش داده می‌شود، دارای زمان بالا رفتن ۱۰-۹۰٪ برابر با ۱ نانوثانیه است. پهنای باند تقریبی اسکوپ چقدر خواهد بود؟

با جایگذاری این اعداد در فرمول فوق،

$BW = \frac{3.5}{10^{-9}} = 3.5 \times 10^{-9} = 350MHz$