Χρόνος Αύξησης: Τι είναι; (Εξίσωση και Πώς να τον Υπολογίσετε)

Πεδίο: Βασική ηλεκτροτεχνία

China

τι είναι χρόνος αύξησης

Τι είναι Χρόνος Αύξησης

Ο χρόνος αύξησης ορίζεται ως ο χρόνος που απαιτείται για ένα σήμα να διασχίσει από μια καθορισμένη χαμηλή τιμή σε μια καθορισμένη υψηλή τιμή. Στα αναλογικά και ψηφιακά ηλεκτρονικά, οι καθορισμένες χαμηλότερες και υψηλότερες τιμές είναι το 10% και το 90% της τελικής ή σταθερής τιμής. Έτσι, ο χρόνος αύξησης ορίζεται συνήθως ως ο χρόνος που απαιτείται για ένα σήμα να πάει από το 10% στο 90% της τελικής τιμής του.

Ο χρόνος αύξησης είναι ένα βασικό παράμετρο σε αναλογικά και ψηφιακά συστήματα. Περιγράφει το χρόνο που απαιτείται για την έξοδο να αυξηθεί από ένα επίπεδο σε άλλο σε ένα αναλογικό σύστημα, με πολλές πρακτικές επιπτώσεις. Ο χρόνος αύξησης μας λέει πόσος χρόνος περνά ένα σήμα σε ένα μεσαίο κατάστημα μεταξύ δύο έγκυρων λογικών επιπέδων σε ένα ψηφιακό σύστημα.

Στη θεωρία του έλεγχου, ο χρόνος αύξησης ορίζεται ως ο χρόνος που απαιτείται για την απόκριση να αυξηθεί από το X% στο Y% της τελικής τιμής της. Η τιμή του X και του Y μπορεί να διαφέρει ανάλογα με τον τύπο του συστήματος.

Ο χρόνος αύξησης για υποβιβασμένα δευτεροβάθμια συστήματα είναι 0% έως 100%, για κρίσιμα βιβασμένα συστήματα είναι 5% έως 95%, και για υπερβιβασμένα συστήματα είναι 10% έως 90%.

Εξίσωση Χρόνου Αύξησης

Για τον υπολογισμό στην ανάλυση του χρόνου, θεωρούμε το πρώτης τάξης και δευτέρης τάξης σύστημα.

Άρα, για τον υπολογισμό της τύπου χρόνου αύξησης, θεωρούμε πρώτης και δευτέρης τάξης συστήματα.

Χρόνος Αύξησης Πρώτης Τάξης Συστήματος

Το πρώτης τάξης σύστημα θεωρείται με την ακόλουθη κλειστή συνάρτηση μεταφοράς.

$G(s) = \frac{1}{Ts+1} = \frac{b}{s+a}$

Στη μεταβιβαστική συνάρτηση, το T ορίζεται ως σταθερά χρόνου. Οι χαρακτηριστικές του πρώτου βαθμού συστήματος στο πεδίο του χρόνου υπολογίζονται ως προς τη σταθερά χρόνου T.

Τώρα, υποθέτουμε ότι η αναφορική είσοδος του κλειστού συστήματος είναι μια μοναδιαία βηματική συνάρτηση. Και ορίζεται σε όρους μετασχηματισμού Laplace ως εξής;

$R(s) = \frac{1}{s}$

Άρα, το εξοδικό σήμα θα οριστεί ως εξής;

$C(s) = G(s) R(s)$

$C(s) = \frac{1}{Ts+1} \times \frac{1}{s}$

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}} \times \frac{1}{s}$

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}$

Λύστε αυτή την εξίσωση χρησιμοποιώντας μερικά κλάσματα

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

Τώρα, βρείτε τις τιμές των A1 και A2;

$\frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}} = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}$

$A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s = \frac{1}{T}$

Για s=0;

$A_1(0+\frac{1}{T}) + A_2 (0) = \frac{1}{T}$

$A_1 \frac{1}{T} = \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

Για s=-1/T;

$A_1(\frac{-1}{T} + \frac{1}{T}) + A_2 (\frac{-1}{T}) = \frac{1}{T}$

$A_1 (0) - A_2 \frac{1}{T} = \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

Άρα,

$C(s) = \frac{1}{s} + \frac{-1}{s+\frac{1}{T}}$

Παίρνοντας την αντίστροφη Laplace;

$C(t) = L^{-1} \left[ \frac{1}{s} -\frac{1}{s+\frac{1}{T}} \right]$

$C(t) = 1-e^{\frac{-t}{T}}$

Τώρα, υπολογίζουμε τον χρόνο ανόδου μεταξύ 10% και 90% της τελικής τιμής.

$C(t_{10}) = 0.10 \quad and \quad C(t_{90}) = 0.90$

$0.10 = 1 - e^{\frac{t_{10}}{T}}$

$e^{\frac{t_{10}}{T}} = 1-0.10$

$e^{\frac{t_{10}}{T}} = 0.9$

$\frac{-t_{10}}{T} = ln(0.9)$

$t_{10} = -T ln(0.9)$

$t_{10} = -T (-0.1053)$

$t_{10} = 0.1053T$

Παρόμοια

$0.90 = 1 - e^{\frac{t_{90}}{T}}$

$e^{\frac{t_{90}}{T}} = 1 - 0.9$

$e^{\frac{t_{90}}{T}} = 0.1$

$\frac{-t_{90}}{T} = ln(0.1)$

$t_{90} = -T (-2.3025)$

$t_{90} = 2.3025T$

Τώρα, για τον χρόνο ανόδου tr;

$t_r = t_{90} - t_{10}$

$t_r = 2.3025T - 0.1053T$

$t_r = 2.197 T$

$t_r \approx 2.2T = \frac{2.2}{a}$

Χρόνος Αύξησης ενός Συστήματος Δευτέρου Βαθμού

Σε ένα σύστημα δευτέρου βαθμού, ο χρόνος αύξησης υπολογίζεται από το 0% έως το 100% για το υποβιβασμένο σύστημα, από το 10% έως το 90% για το υπερβιβασμένο σύστημα και από το 5% έως το 95% για το κρίσιμα βιβασμένο σύστημα.

Εδώ, θα συζητήσουμε τον υπολογισμό του χρόνου αύξησης για ένα σύστημα δευτέρου βαθμού. Και η εξίσωση για ένα σύστημα δευτέρου βαθμού είναι;

$C(t) = 1-\frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi)$

Ο χρόνος αύξησης συμβολίζεται με tr.

$C(t) = C(t_r) = 1$

$1 = 1 - \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \sin(\omega_d t_r + \phi)$

$\frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \sin(\omega_d t_r + \phi) = 0$

$\sin(\omega_d t_r + \phi) = 0$

$\sin(\omega_d t_r + \phi) = \sin(\pi)$

$(\omega_d t_r + \phi) = (\pi)$

$\omega_d t_r = \pi - \phi$

$t_r = \frac{\pi - \phi}{\omega_d}$

Όπου,

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$\phi = tan^{-1} (\frac{\sqrt{1-\zeta^2})}{\zeta}$

Επομένως, η τελική συντόμευση του χρόνου ανόδου είναι;

$t_r = \frac{\pi - tan^{-1} (\frac{\sqrt{1-\zeta^2})}{\zeta}}{\omega_n \sqrt{1-\zeta^2} }$

Πώς να υπολογίσετε τον χρόνο ανόδου;

Σύστημα πρώτης τάξης

Για παράδειγμα, βρείτε τον χρόνο ανόδου ενός συστήματος πρώτης τάξης. Η μεταφορική συνάρτηση ενός συστήματος πρώτης τάξης εμφανίζεται στην παρακάτω εξίσωση.

$G(s) = \frac{5}{s+2}$

Συγκρίνετε τη μεταβιβαστική συνάρτηση με την πρότυπη μορφή της μεταβιβαστικής συνάρτησης.

$G(s) = \frac{b}{s+a}$

Άρα, a=2 και b=5;

Η εξίσωση του χρόνου ανόδου για ένα σύστημα πρώτης τάξης είναι;

$t_r = \frac{2.2}{a}$

$t_r = \frac{2.2}{2}$

$t_r = 1.1 sec$

Σύστημα Δευτέρας Τάξης

Βρείτε τον χρόνο ανόδου ενός συστήματος δεύτερης τάξης με φυσική συχνότητα 5 rad/sec και συντελεστή απόσβεσης 0.6.

$\omega_n = 5 rad/sec$

$\zeta = 0.6$

Η εξίσωση του χρόνου ανόδου για ένα σύστημα δευτέρας τάξης είναι;

$t_r = \frac{\pi - \phi}{\omega_d}$

Τώρα, πρέπει να βρούμε τις τιμές του φ και ωd.

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-\zeta^2}}{\zeta} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-0.6 ^2}}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-0.36}}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{0.8}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} (1.33)$

$\phi = 0.9272 rad$

Τώρα, για το ωd,

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$\omega_d = 5 \times 0.8$

$\omega_d = 4 rad/sec$

Τοποθετήστε αυτές τις τιμές στην εξίσωση του χρόνου ανόδου

$t_r = \frac{3.14-0.9272}{4}$

$t_r = \frac{2.2128}{4}$

$t_r = 0.5532 sec$

Γιατί η χρονική διάρκεια αύξησης είναι 10% έως 90%

Για τον υπολογισμό της χρονικής διάρκειας αύξησης, δεν είναι υποχρεωτικό να μετρήσουμε το χρονικό διάστημα μεταξύ 10% και 90%.

Ωστόσο, σε περισσότερες περιπτώσεις, η χρονική διάρκεια αύξησης υπολογίζεται μεταξύ αυτών των τιμών.

Χρησιμοποιούμε αυτές τις τιμές επειδή τα σήματα μπορεί να έχουν πολύ διαφορετικά μορφοποιήματα στα πρώτα και τα τελευταία τμήματα της τελικής τους τιμής.

Για παράδειγμα, θεωρήστε το παρακάτω σχήμα κατάτμησης:

Αυτό ήταν περίπου μηδενικής αξίας για κάποιο διάστημα πριν αυξηθεί και φτάσει στην τελική του αξία.

Δεν θα ήταν κατάλληλο να υπολογιστεί η «χρονική διάρκεια αύξησης» από τη στιγμή που η αξία ήταν μηδέν, καθώς αυτό δεν θα αντιπροσωπεύει τον χρόνο που απαιτείται για την αύξηση του σήματος κατά τη διάρκεια αυτής της μεσολαβούσας κατάστασης (προφανώς υπήρξε κάποιος τριγγός που ενεργοποιήθηκε στην αρχή του Tr).

Στο τέλος, χρησιμοποιούμε 90% αντί για 100% επειδή συχνά τα σήματα δεν φτάνουν ποτέ στην τελική τους αξία.

Παρόμοια με τον τρόπο που φαίνεται ένας λογαριθμικός γράφος, δεν θα φτάσει ποτέ στο 100%, με την πλάγια του γράφου να μειώνεται με την πάροδο του χρόνου.

Για να συνοψίσουμε: τα στροφικά συστήματα έχουν διαφορετικά στροφικά μοτίβα στις αρχικές και τελικές φάσεις.

Όμως κατά τη μεταβατική περίοδο μεταξύ αυτών των φάσεων, όλα τα συστήματα έχουν παρόμοιο μοτίβο αύξησης. Και η μέτρηση του 10% έως 90% αυτής της μετάβασης συνήθως δίνει μια δίκαιη παράσταση της χρονικής διάρκειας αύξησης σε μεγάλο φάσμα συστημάτων.

Επομένως, σε περισσότερες περιπτώσεις, υπολογίζουμε τη χρονική διάρκεια αύξησης μεταξύ 10% και 90%.

Χρονική διάρκεια αύξησης vs Χρονική διάρκεια μείωσης

Η χρονική διάρκεια μείωσης ορίζεται ως ο χρόνος που απαιτείται για ένα σήμα να μειωθεί (μειωθεί) από μια καθορισμένη τιμή (X) σε μια άλλη καθορισμένη τιμή (Y).

Σε περισσότερες περιπτώσεις, η καθορισμένη τιμή επάνω (X) είναι 90% της κορυφαίας τιμής και η καθορισμένη τιμή κάτω 10% της κορυφαίας τιμής. Ένα σχήμα που το απεικονίζει είναι δείχνεται παρακάτω.

rise time vs fall time — Χρονική διάρκεια αύξησης vs Χρονική διάρκεια μείωσης

Έτσι, με κάποιον τρόπο, η χρονική διάρκεια μείωσης μπορεί να θεωρηθεί ως το αντίθετο της χρονικής διάρκειας αύξησης, ως προς τον τρόπο που υπολογίζεται.

Είναι όμως σημαντικό να τονιστεί ότι η χρονική διάρκεια πτώσης δεν είναι απαραίτητα ίση με την χρονική διάρκεια αύξησης.

Εκτός κι αν έχετε μια συμμετρική κύμα (όπως ένα συνημιτόνιο κύμα), η χρονική διάρκεια αύξησης και η χρονική διάρκεια πτώσης είναι ανεξάρτητες.

Και δεν υπάρχει γενικευμένη σχέση μεταξύ της χρονικής διάρκειας αύξησης και της χρονικής διάρκειας πτώσης. Και τα δύο μεγέθη παίζουν βασικό ρόλο στην ανάλυση των σημάτων σε συστήματα ελέγχου και ψηφιακής ηλεκτρονικής.

Χρονική Διάρκεια Αύξησης και Πλάτος Συχνοτήτων

Για να μετρήσουμε το σήμα πρακτικά, χρησιμοποιούμε ένα οσκιλλοσκόπιο. Εάν γνωρίζουμε την χρονική διάρκεια αύξησης του σήματος, μπορούμε να βρούμε το πλάτος συχνοτήτων του σήματος για δοκιμές.

Αυτό θα μας βοηθήσει να επιλέξουμε ένα οσκιλλοσκόπιο με μεγαλύτερο ή ίσο πλάτος συχνοτήτων. Και θα δώσει ακριβείς αποτελέσματα εμφάνισης στο οσκιλλοσκόπιο.

Εάν γνωρίζουμε την χρονική διάρκεια αύξησης, μπορούμε να βρούμε πόσο θα επιβραδύνει το σήμα το οσκιλλοσκόπιο και θα προσθέσει στην χρονική διάρκεια αύξησής του.

Η σχέση μεταξύ πλάτους συχνοτήτων (BW) και χρονικής διάρκειας αύξησης (tr) εκφράζεται με τον παρακάτω τύπο.

$BW \approx \frac{0.35}{t_r}$

Ο παραπάνω τύπος υποθέτει ότι η χρονική διάρκεια αύξησης μετράται στο εύρος 10% έως 90% της τελικής τιμής.

Οι βοηθητικές μονάδες του πλάτους συχνοτήτων είναι MHz ή GHz και για την χρονική διάρκεια αύξησης μs ή ns.

Εάν οι εισαγωγικοί προσαρμοστές ενός οσκιλλοσκοπίου έχουν απλή απόκριση συχνότητας, ο αριθμητής 0.35 δίνει ακριβή αποτέλεσμα.

Όμως, πολλά οσκιλλοσκόπια έχουν γρηγορότερη μείωση για να δώσουν πιο επίπεδη απόκριση συχνότητας στο διάστημα διέλευσης. Σε αυτή την κατάσταση, ο αριθμητής αυξάνεται σε 0.45 ή περισσότερο.

Για παράδειγμα, όταν μια τετραγωνική κύμα εμφανίζεται σε ένα οσκιλοσκόπιο, έχει χρόνο ανόδου 10-90% 1ns. Ποιο θα είναι περίπου το πλάτος ζώνης του οσκιλοσκοπίου;

Με την αντικατάσταση αυτών των αριθμών στον παραπάνω τύπο,

$BW = \frac{3.5}{10^{-9}} = 3.5 \times 10^{-9} = 350MHz$