Steigzeit: Was ist das? (Gleichung und Berechnung)

Feld: Grundlagen der Elektrotechnik

China

Was ist Anstiegszeit

Die Anstiegszeit wird definiert als die Zeit, die ein Signal benötigt, um von einem bestimmten niedrigen Wert zu einem bestimmten hohen Wert zu wechseln. In der analogen und digitalen Elektronik sind die spezifizierten niedrige und hohe Werte 10% und 90% des End- oder Gleichgewichtswerts. Die Anstiegszeit wird daher in der Regel als die Zeit definiert, die ein Signal benötigt, um von 10% auf 90% seines Endwerts zu steigen.

Die Anstiegszeit ist ein wesentlicher Parameter in analogen und digitalen Systemen. Sie beschreibt die Zeit, die das Ausgangssignal benötigt, um in einem analogen System von einem Niveau zum anderen zu steigen, was viele praktische Implikationen hat. In einem digitalen System gibt uns die Anstiegszeit Aufschluss darüber, wie lange ein Signal im Zwischenzustand zwischen zwei gültigen Logikpegeln verbleibt.

In der Regelungstechnik wird die Anstiegszeit als die Zeit definiert, die eine Reaktion benötigt, um von X% auf Y% ihres Endwerts zu steigen. Die Werte für X und Y variieren je nach Art des Systems.

Für unterdämpfte Systeme zweiter Ordnung beträgt die Anstiegszeit 0% bis 100%, für kritisch gedämpfte Systeme 5% bis 95% und für überdämpfte Systeme 10% bis 90%.

Anstiegszeit-Gleichung

Für die Berechnung in der Zeitbereichsanalyse betrachten wir Systeme erster und zweiter Ordnung.

Um die Formel für die Anstiegszeit zu berechnen, betrachten wir Systeme erster und zweiter Ordnung.

Anstiegszeit eines Systems erster Ordnung

Das System erster Ordnung wird durch die folgende geschlossene Übertragungsfunktion beschrieben.

$G(s) = \frac{1}{Ts+1} = \frac{b}{s+a}$

In der Übertragungsfunktion wird T als Zeitkonstante definiert. Die zeitbereichsspezifischen Eigenschaften des Systems erster Ordnung werden in Bezug auf die Zeitkonstante T berechnet.

Nun nehmen wir an, dass die Referenzeingabe des geschlossenen Regelkreises eine Einheitssprungfunktion ist. Sie wird in Form der Laplace-Transformation wie folgt definiert:

$R(s) = \frac{1}{s}$

Daher wird das Ausgangssignal wie folgt definiert:

$C(s) = G(s) R(s)$

$C(s) = \frac{1}{Ts+1} \times \frac{1}{s}$

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}} \times \frac{1}{s}$

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}$

Lösen Sie diese Gleichung mit Hilfe der Partialbruchzerlegung;

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

Jetzt finden Sie die Werte von A1 und A2;

$\frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}} = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}$

$A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s = \frac{1}{T}$

Für s=0;

$A_1(0+\frac{1}{T}) + A_2 (0) = \frac{1}{T}$

$A_1 \frac{1}{T} = \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

Für s=-1/T;

$A_1(\frac{-1}{T} + \frac{1}{T}) + A_2 (\frac{-1}{T}) = \frac{1}{T}$

$A_1 (0) - A_2 \frac{1}{T} = \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

Daher,

$C(s) = \frac{1}{s} + \frac{-1}{s+\frac{1}{T}}$

Die inverse Laplace-Transformation ergibt:

$C(t) = L^{-1} \left[ \frac{1}{s} -\frac{1}{s+\frac{1}{T}} \right]$

$C(t) = 1-e^{\frac{-t}{T}}$

Nun berechnen wir die Anstiegszeit zwischen 10% und 90% des Endwertes.

$C(t_{10}) = 0{,}10 \quad und \quad C(t_{90}) = 0{,}90$

$0{,}10 = 1 - e^{\frac{t_{10}}{T}}$

$e^{\frac{t_{10}}{T}} = 1-0{,}10$

$e^{\frac{t_{10}}{T}} = 0.9$

$\frac{-t_{10}}{T} = ln(0.9)$

$t_{10} = -T ln(0.9)$

$t_{10} = -T (-0.1053)$

$t_{10} = 0.1053T$

Ähnlich;

$0.90 = 1 - e^{\frac{t_{90}}{T}}$

$e^{\frac{t_{90}}{T}} = 1 - 0.9$

$e^{\frac{t_{90}}{T}} = 0.1$

$\frac{-t_{90}}{T} = ln(0.1)$

$t_{90} = -T (-2.3025)$

$t_{90} = 2.3025T$

Nun, für die Anstiegszeit tr;

$t_r = t_{90} - t_{10}$

$t_r = 2.3025T - 0.1053T$

$t_r = 2.197 T$

$t_r \approx 2.2T = \frac{2.2}{a}$

Steigzeit eines Systems zweiter Ordnung

In einem System zweiter Ordnung wird die Steigzeit für ein unterdämpftes System von 0% bis 100%, für ein überdämpftes System von 10% bis 90% und für ein kritisch gedämpftes System von 5% bis 95% berechnet.

Hier werden wir die Berechnung der Steigzeit für ein System zweiter Ordnung besprechen. Die Gleichung für ein System zweiter Ordnung lautet:

$C(t) = 1-\frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi)$

Die Steigzeit wird mit tr bezeichnet.

$C(t) = C(t_r) = 1$

$1 = 1 - \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi)$

$\frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi) = 0$

$sin(\omega_d t_r + \phi) = 0$

$sin(\omega_d t_r + \phi) = sin(\pi)$

$(\omega_d t_r + \phi) = (\pi)$

$\omega_d t_r = \pi - \phi$

$t_r = \frac{\pi - \phi}{\omega_d}$

Wobei,

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$\phi = tan^{-1} (\frac{\sqrt{1-\zeta^2})}{\zeta}$

Daher lautet die endgültige Formel für die Anstiegszeit:

$t_r = \frac{\pi - tan^{-1} (\frac{\sqrt{1-\zeta^2})}{\zeta}}{\omega_n \sqrt{1-\zeta^2} }$

Wie berechnet man die Anstiegszeit?

System erster Ordnung

Zum Beispiel, finden Sie die Anstiegszeit eines Systems erster Ordnung. Die Übertragungsfunktion eines Systems erster Ordnung ist in der folgenden Gleichung dargestellt.

$G(s) = \frac{5}{s+2}$

Vergleichen Sie die Übertragungsfunktion mit der Standardform der Übertragungsfunktion.

$G(s) = \frac{b}{s+a}$

Daher: a=2 und b=5;

Die Gleichung für die Anstiegszeit eines Systems erster Ordnung lautet:

$t_r = \frac{2.2}{a}$

$t_r = \frac{2.2}{2}$

$t_r = 1.1 sec$

Zweiter-Ordnung-System

Bestimmen Sie die Anstiegszeit eines Systems zweiter Ordnung mit einer natürlichen Frequenz von 5 rad/s und einem Dämpfungsfaktor von 0,6.

$\omega_n = 5 rad/sec$

$\zeta = 0.6$

Die Gleichung für die Anstiegszeit eines Systems zweiter Ordnung lautet

$t_r = \frac{\pi - \phi}{\omega_d}$

Nun müssen wir den Wert von ф und ωd finden.

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-\zeta^2}}{\zeta} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-0.6 ^2}}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-0.36}}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{0.8}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} (1.33)$

$\phi = 0.9272 rad$

Nun, für ωd,

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$\omega_d = 5 \times 0.8$

$\omega_d = 4 rad/sec$

Setzen Sie diese Werte in die Gleichung für die Anstiegszeit ein;

$t_r = \frac{3.14-0.9272}{4}$

$t_r = \frac{2.2128}{4}$

$t_r = 0.5532 sec$

Warum ist die Anstiegszeit 10% bis 90%?

Um die Anstiegszeit zu berechnen, ist es nicht zwingend erforderlich, die Zeit zwischen 10% und 90% zu messen.

Doch in den meisten Fällen wird die Anstiegszeit zwischen diesen Werten berechnet.

Wir verwenden diese Werte, weil die Signale an den sehr ersten und letzten Teilen ihrer Endwerte oft sehr unterschiedliche Wellenformen aufweisen können.

Nehmen wir zum Beispiel das folgende Schaltmuster:

Dieser Wert lag für eine gewisse Zeit bei etwa null, bevor er anstieg und seinen Endwert erreichte.

Es wäre nicht angebracht, die „Anstiegszeit“ ab dem Zeitpunkt zu berechnen, an dem der Wert bei null lag, da dies nicht repräsentativ für die Zeit wäre, die das Signal während dieses Zwischenzustands benötigt (offensichtlich gab es einen Auslöser, der am Anfang von Tr eintrat).

Am Ende verwenden wir 90 % anstelle von 100 %, weil Signale oft ihren Endwert nie erreichen.

Ähnlich wie bei einem logarithmischen Diagramm wird 100 % niemals ganz erreicht, wobei die Steigung des Diagramms mit der Zeit abnimmt.

Zusammengefasst: Schaltgeräte haben unterschiedliche Schaltmuster in den Anfangs- und Endphasen.

Während des Übergangs zwischen diesen Phasen haben jedoch alle Geräte ein ähnliches Anstiegsverhalten. Die Messung von 10 % bis 90 % dieses Übergangs gibt in der Regel eine faire Darstellung der Anstiegszeit über einen weiten Bereich von Geräten hinweg.

Daher berechnen wir in den meisten Fällen die Anstiegszeit zwischen 10 % und 90 %.

Anstiegszeit vs. Fallzeit

Die Fallzeit ist definiert als die Zeit, die ein Signal benötigt, um von einem festgelegten Wert (X) auf einen anderen festgelegten Wert (Y) abzufallen (abzunehmen).

In den meisten Fällen ist der obere festgelegte Wert (X) 90 % des Spitzenwerts und der untere festgelegte Wert 10 % des Spitzenwerts. Ein Diagramm, das die Fallzeit veranschaulicht, ist unten dargestellt.

rise time vs fall time — Anstiegszeit vs. Fallzeit

In gewisser Weise kann die Fallzeit als das Inverse der Anstiegszeit angesehen werden, was ihre Berechnung betrifft.

Es ist jedoch wichtig zu betonen, dass die Fallzeit nicht notwendigerweise gleich der Anstiegszeit ist.

Sofern es sich nicht um eine symmetrische Welle (wie eine Sinuswelle) handelt, sind Anstiegs- und Fallzeit unabhängig voneinander.

Es gibt keine allgemeine Beziehung zwischen Anstiegs- und Fallzeit. Beide Größen spielen eine entscheidende Rolle für die Signalanalyse in Regelungssystemen und digitaler Elektronik.

Anstiegszeit und Bandbreite

Um das Signal praktisch zu messen, verwenden wir einen Oszilloskop. Wenn wir die Anstiegszeit des Signals kennen, können wir dessen Bandbreite zur Prüfung ermitteln.

Dies hilft, ein Oszilloskop mit größerer oder gleicher Bandbreite auszuwählen. Es wird auch genaue Anzeigenergebnisse im Oszilloskop liefern.

Wenn wir die Anstiegszeit des Signals kennen, können wir berechnen, wie stark das Oszilloskop das Signal verlangsamt und seine Anstiegszeit erhöht.

Die Beziehung zwischen Bandbreite (BW) und Anstiegszeit (tr) wird durch die folgende Formel ausgedrückt.

$BW \approx \frac{0.35}{t_r}$

Die obige Formel geht davon aus, dass die Anstiegszeit im Bereich von 10% bis 90% des Endwertes gemessen wird.

Die üblichen Einheiten für die Bandbreite sind MHz oder GHz und für die Anstiegszeit μs oder ns.

Wenn die Eingangverstärker eines Oszilloskops eine einfache Frequenzantwort aufweisen, liefert der Zähler 0,35 ein genaues Ergebnis.

Viele Oszilloskope haben jedoch einen schnelleren Abfall, um eine flachere Frequenzantwort im Durchlassbereich zu erzielen. In diesem Fall wird der Zähler auf 0,45 oder mehr erhöht.

Wenn zum Beispiel ein Rechtecksignal auf einem Oszilloskop angezeigt wird und eine 10-90% Anstiegszeit von 1ns hat, welches wäre die ungefähre Bandbreite des Oszilloskops?

Durch Einsetzen dieser Zahlen in die obige Formel,

$BW = \frac{3.5}{10^{-9}} = 3.5 \times 10^{-9} = 350MHz$