Augšupslīde: Kas tā ir? (Vienādojums un kā to aprēķināt)

Lauks: Pamata elektrotehnika

China

kas ir rise time

Kas ir Rise Time?

Rise time definē kā laiku, kas nepieciešams signālam, lai pārietu no noteiktā zema vērtība uz noteikto augsto vērtību. Analogajā un digitālajā elektronikā noteiktās zemākā un augstākā vērtība ir 10% un 90% no galīgā vai pastāvīgā stāvokļa vērtības. Tātad rise time parasti definē kā laiku, kas nepieciešams signālam, lai pārietu no 10% līdz 90% tā galīgās vērtības.

Rise time ir svarīgs parametrs analogajās un digitālajās sistēmās. Tas apraksta laiku, kas nepieciešams izvadei, lai pārietu no viena līmeņa uz otru analogajā sistēmā, kas ir saistīta ar daudziem reālā pasaulē sastopamiem efektiem. Rise time mums saka, cik ilgi signāls pavadīs starpvērtības stāvoklī starp diviem derīgajiem loģiskajiem līmeņiem digitālajā sistēmā.

Regulēšanas teorijā rise time definē kā laiku, kas nepieciešams atbildes palielināšanai no X% līdz Y% tā galīgās vērtības. X un Y vērtības var atšķirties atkarībā no sistēmas veida.

Pārmērīgi apklusinātu otro kārtas sistēmu rise time ir 0% līdz 100%, kritiski apklusinātu sistēmu - 5% līdz 95%, bet pārmērīgi apklusinātu sistēmu - 10% līdz 90%.

Rise Time Vienādojums

Laika domēna analīzes mērķis, mēs ņemam vērā pirmās kārtas sistēmu un otrās kārtas sistēmu.

Tātad, lai aprēķinātu rise time formulu, mēs ņemam vērā pirmās kārtas un otrās kārtas sistēmas.

Pirmās Kārtas Sistēmas Rise Time

Pirmās kārtas sistēma tiek apsvērta, ņemot vērā šādu slēgtās kontūras pārnes funkciju.

$G(s) = \frac{1}{Ts+1} = \frac{b}{s+a}$

Pārnesuma funkcijā T ir definēts kā laika konstante. Pirmās kārtas sistēmas laika domēna īpašības tiek aprēķinātas atkarībā no laika konstantes T.

Tagad pieņemsim, ka slēgtās sistēmas referenču ievade ir vienības solis. Tas tiek definēts Laplasa transformācijas terminos šādi:

$R(s) = \frac{1}{s}$

Tātad, izvades signāls tiks definēts šādi:

$C(s) = G(s) R(s)$

$C(s) = \frac{1}{Ts+1} \times \frac{1}{s}$

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}} \times \frac{1}{s}$

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}$

Atrisiniet šo vienādojumu, izmantojot daļveida apakšējās robežas metodi;

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

Tagad, atrisiniet A1 un A2 vērtības;

$\frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}} = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}$

$A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s = \frac{1}{T}$

Ja s=0;

$A_1(0+\frac{1}{T}) + A_2 (0) = \frac{1}{T}$

$A_1 \frac{1}{T} = \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

Ja s=-1/T;

$A_1(\frac{-1}{T} + \frac{1}{T}) + A_2 (\frac{-1}{T}) = \frac{1}{T}$

$A_1 (0) - A_2 \frac{1}{T} = \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

Tātad,

$C(s) = \frac{1}{s} + \frac{-1}{s+\frac{1}{T}}$

Aizņemot inverso Laplasa transformāciju;

$C(t) = L^{-1} \left[ \frac{1}{s} -\frac{1}{s+\frac{1}{T}} \right]$

$C(t) = 1-e^{\frac{-t}{T}}$

Tagad mēs aprēķinām pacelšanās laiku starp 10% un 90% no galīgā vērtībā.

$C(t_{10}) = 0.10 \quad and \quad C(t_{90}) = 0.90$

$0.10 = 1 - e^{\frac{t_{10}}{T}}$

$e^{\frac{t_{10}}{T}} = 1-0.10$

$e^{\frac{t_{10}}{T}} = 0.9$

$\frac{-t_{10}}{T} = ln(0.9)$

$t_{10} = -T ln(0.9)$

$t_{10} = -T (-0.1053)$

$t_{10} = 0.1053T$

Līdzīgi;

$0.90 = 1 - e^{\frac{t_{90}}{T}}$

$e^{\frac{t_{90}}{T}} = 1 - 0.9$

$e^{\frac{t_{90}}{T}} = 0.1$

$\frac{-t_{90}}{T} = ln(0.1)$

$t_{90} = -T (-2.3025)$

$t_{90} = 2.3025T$

Tagad, laika periods tr;

$t_r = t_{90} - t_{10}$

$t_r = 2.3025T - 0.1053T$

$t_r = 2.197 T$

$t_r \approx 2.2T = \frac{2.2}{a}$

Otrās kārtas sistēmas paaugstināšanās laiks

Otrās kārtas sistēmā paaugstināšanās laiks tiek aprēķināts no 0% līdz 100% nepārklājotajai sistēmai, no 10% līdz 90% pārklājotajai sistēmai un no 5% līdz 95% kritiski klājotajai sistēmai.

Šeit mēs apspriedīsim otrās kārtas sistēmas paaugstināšanās laika aprēķināšanu. Otrās kārtas sistēmas vienādojums ir;

$C(t) = 1-\frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi)$

Paaugstināšanās laiks tiek apzīmēts ar tr.

$C(t) = C(t_r) = 1$

$1 = 1 - \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi)$

$\frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi) = 0$

$sin(\omega_d t_r + \phi) = 0$

$sin(\omega_d t_r + \phi) = sin(\pi)$

$(\omega_d t_r + \phi) = (\pi)$

$\omega_d t_r = \pi - \phi$

$t_r = \frac{\pi - \phi}{\omega_d}$

Kur,

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$\phi = tan^{-1} (\frac{\sqrt{1-\zeta^2})}{\zeta}$

Tātad, pēdējā izteiksmes formula kāpšanas laikam ir;

$t_r = \frac{\pi - tan^{-1} (\frac{\sqrt{1-\zeta^2})}{\zeta}}{\omega_n \sqrt{1-\zeta^2} }$

Kā aprēķināt kāpšanas laiku?

Pirmās kārtas sistēma

Piemēram, atrisiniet pirmās kārtas sistēmas kāpšanas laiku. Pirmās kārtas sistēmas pārnesamības funkcija ir parādīta zemāk esošajā vienādojumā.

$G(s) = \frac{5}{s+2}$

Salīdziniet pārnesuma funkciju ar standarta pārnesuma funkcijas formu.

$G(s) = \frac{b}{s+a}$

Tātad; a=2 un b=5;

Pirmās kārtas sistēmas pieaugšanas laika vienādojums ir;

$t_r = \frac{2.2}{a}$

$t_r = \frac{2.2}{2}$

$t_r = 1.1 sec$

Otrās kārtas sistēma

Aprēķiniet otrās kārtas sistēmas izlidošanas laiku ar dabisku frekvenci 5 rad/sec un dempfēšanas koeficientu 0.6.

$\omega_n = 5 rad/sec$

$\zeta = 0.6$

Otrās kārtas sistēmas pacelšanās laika vienādojums ir;

$t_r = \frac{\pi - \phi}{\omega_d}$

Tagad mums jāatrod φ un ωd vērtības.

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-\zeta^2}}{\zeta} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-0.6 ^2}}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-0.36}}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{0.8}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} (1.33)$

$\phi = 0.9272 rad$

Tagad, par d,

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$\omega_d = 5 \times 0.8$

$\omega_d = 4 rad/sec$

Ievadiet šīs vērtības vienādojumā risināšanas laikam;

$t_r = \frac{3.14-0.9272}{4}$

$t_r = \frac{2.2128}{4}$

$t_r = 0.5532 sec$

Kāpēc paaugstināšanās laiks ir no 10% līdz 90%?

Lai aprēķinātu paaugstināšanās laiku, nav obligāti jāmēra laiks starp 10% un 90%.

Tomēr lielākajā daļā gadījumu paaugstināšanās laiks tiek aprēķināts starp šiem vērtībām.

Mēs izmantojam šīs vērtības, jo signāli var būt ļoti atšķirīgi formā savas beigu daļās.

Piemēram, ņemiet vērā šādu pārslēguma shēmu:

Vērtība bija aptuveni nulle kādu laiku pirms tās pieauguma un sasniegšanas galvenajai vērtībai.

Nebūtu piemēroti aprēķināt "pieauguma laiku" no brīža, kad vērtība bija nulle, jo tas nebūtu atbilstošs laika, kas nepieciešams signālam, lai pieaugs šajā starpnieka stāvoklī (skaidrs, ka notika kāds trigeris, kas notika Tr sākumā).

Beigu daļā mēs izmantojam 90% nevis 100%, jo bieži signāli nekad neatrodamies savā galvenajā vērtībā.

Līdzīgi kā logaritmiskā grafika izskatās, tā nekad pilnībā nesasniedz 100%, ar grafika slīpumu, kas samazinās laikā.

Tātad, lai apkopotu: pārslēgšanas ierīces ir atšķirīgas pārslēgšanas modeļi sākuma un beigu stadijās.

Bet šo stadiju starpā visām ierīcēm ir līdzīgs pieauguma modelis. Un mērojot 10% līdz 90% no šīs pārejas, parasti tiek sniegts godīgs attēlojums pieauguma laikam plašā ierīču klāstā.

Tādēļ, lielākoties, mēs aprēķinām pieauguma laiku starp 10% un 90%.

Pieauguma laiks vs Krīšanas laiks

Krīšanas laiks ir definēts kā laiks, kas nepieciešams signālam, lai samazinātos no noteiktas vērtības (X) uz citu noteiktu vērtību (Y).

Lielākoties augšējā noteiktā vērtība (X) ir 90% no maksimālās vērtības, bet apakšējā noteiktā vērtība ir 10% no maksimālās vērtības. Zīmējums, kas ilustrē krīšanas laiku, ir redzams zemāk.

rise time vs fall time — Pieauguma laiks vs Krīšanas laiks

Tādējādi var teikt, ka krīšanas laiks var tikt uzskatīts par pieauguma laika inversiju, tostarp, kā to aprēķina.

Tomēr ir svarīgi uzsvērt, ka krituma laiks nav nepieciešami vienāds ar pieauguma laiku.

Ja jūs neesat simetriska vārste (piemēram, sinusoīda), pieauguma laiks un krituma laiks ir neatkarīgi.

Un starp pieauguma laiku un krituma laiku nav vispārīgas attiecības. Abi lielumi spēlē nozīmīgu lomu signāla analīzē ūdensražu sistēmās un digitālajā elektronikā.

Pieauguma laiks un daļtonis

Lai praktiski mērītu signālu, mēs izmantojam osciloscopu. Ja zinām signāla pieauguma laiku, varēsim atrast signāla daļtoni testēšanai.

Tas palīdzēs izvēlēties osciloscopu ar lielāku vai vienādu daļtoni. Tas nodrošinās precīzus rādījumus osciloscopā.

Ja zinām signāla pieauguma laiku, varēsim noteikt, cik daudz osciloscops palēninās signālu un piebiedros tā pieauguma laikam.

Starprelācija starp daļtoni (BW) un pieauguma laiku (tr) ir izteikta formulu zemāk.

$BW \approx \frac{0.35}{t_r}$

Šī formula pieņem, ka pieauguma laiks tiek mērots 10% līdz 90% no galīgā vērtības diapazona.

Daļtona ērtākie mērvienības ir MHz vai GHz, bet pieauguma laika mērvienības μs vai ns.

Ja osciloscopa ievades pastiprinātājiem ir vienkārša frekvences atbilde, skaitlisātājs 0.35 dod precīzu rezultātu.

Tomēr daudzi osciloscopi ir straujāks slēgšanās laiks, lai nodrošinātu plakāko frekvences atbildi pārnestajā daļtonī. Šajā stāvoklī skaitlisātājs palielinās līdz 0.45 vai vairāk.

Piemēram, ja kvadrātveida signāls tiek rādīts osciloscopā, tā 10-90% pieauguma laiks ir 1ns. Kāda būs aptuvenā osciloscopa daļgabala platums?

Ievietojot šos skaitļus formūlā,

$BW = \frac{3.5}{10^{-9}} = 3.5 \times 10^{-9} = 350MHz$