Czas narastania: Co to jest? (Równanie i jak go obliczyć)

Pole: Podstawowe Elektryka

China

co to jest czas narastania

Co to jest czas narastania

Czas narastania definiuje się jako czas potrzebny sygnałowi, aby przejść od określonej niskiej wartości do określonej wysokiej wartości. W elektronice analogowej i cyfrowej określone wartości dolne i górne to 10% i 90% końcowej lub stanu ustalonego. Zatem czas narastania zazwyczaj definiuje się jako czas potrzebny sygnałowi, aby przejść od 10% do 90% jego końcowej wartości.

Czas narastania jest kluczowym parametrem w systemach analogowych i cyfrowych. Opisuje on czas potrzebny, aby wyjście wzrosło z jednego poziomu na drugi w systemie analogowym, co ma wiele praktycznych konsekwencji. Czas narastania mówi nam, jak długo sygnał pozostaje w stanie pośrednim między dwoma poprawnymi poziomami logicznymi w systemie cyfrowym.

W teorii sterowania czas narastania definiuje się jako czas potrzebny odpowiedzi, aby wzrosnąć od X% do Y% jej końcowej wartości. Wartości X i Y różnią się w zależności od typu systemu.

Czas narastania dla niedotłuczonych systemów drugiego rzędu wynosi 0% do 100%, dla krytycznie dotłuczonych systemów 5% do 95%, a dla nadto dotłuczonych systemów 10% do 90%.

Równanie czasu narastania

Dla obliczeń w analizie w dziedzinie czasu rozważamy system pierwszego rzędu i system drugiego rzędu.

Aby obliczyć wzór na czas narastania, rozważamy systemy pierwszego i drugiego rzędu.

Czas narastania systemu pierwszego rzędu

System pierwszego rzędu jest rozważany za pomocą następującej transmitancji w pętli zamkniętej.

$G(s) = \frac{1}{Ts+1} = \frac{b}{s+a}$

W funkcji przekazania T jest zdefiniowane jako stała czasowa. Charakterystyki w dziedzinie czasu układu pierwszego rzędu są obliczane w zależności od stałej czasowej T.

Założmy teraz, że wejście referencyjne zamkniętego układu to funkcja skokowa jednostkowa. Jest ona zdefiniowana w postaci transformacji Laplace'a jako;

$R(s) = \frac{1}{s}$

Zatem sygnał wyjściowy będzie zdefiniowany jako;

$C(s) = G(s) R(s)$

$C(s) = \frac{1}{Ts+1} \times \frac{1}{s}$

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}} \times \frac{1}{s}$

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}$

Rozwiąż to równanie za pomocą rozkładu na ułamki proste;

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

Teraz znajdź wartości A1 i A2;

$\frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}} = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}$

$A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s = \frac{1}{T}$

Dla s=0;

$A_1(0+\frac{1}{T}) + A_2 (0) = \frac{1}{T}$

$A_1 \frac{1}{T} = \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

Dla s=-1/T;

$A_1(\frac{-1}{T} + \frac{1}{T}) + A_2 (\frac{-1}{T}) = \frac{1}{T}$

$A_1 (0) - A_2 \frac{1}{T} = \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

Dlatego,

$C(s) = \frac{1}{s} + \frac{-1}{s+\frac{1}{T}}$

Biorąc odwrotną transformację Laplace'a;

$C(t) = L^{-1} \left[ \frac{1}{s} -\frac{1}{s+\frac{1}{T}} \right]$

$C(t) = 1-e^{\frac{-t}{T}}$

Teraz obliczamy czas narastania między 10% i 90% wartości końcowej.

$C(t_{10}) = 0.10 \quad and \quad C(t_{90}) = 0.90$

$0.10 = 1 - e^{\frac{t_{10}}{T}}$

$e^{\frac{t_{10}}{T}} = 1-0.10$

$e^{\frac{t_{10}}{T}} = 0.9$

$\frac{-t_{10}}{T} = ln(0.9)$

$t_{10} = -T ln(0.9)$

$t_{10} = -T (-0.1053)$

$t_{10} = 0.1053T$

Podobnie;

$0.90 = 1 - e^{\frac{t_{90}}{T}}$

$e^{\frac{t_{90}}{T}} = 1 - 0.9$

$e^{\frac{t_{90}}{T}} = 0.1$

$\frac{-t_{90}}{T} = ln(0.1)$

$t_{90} = -T (-2.3025)$

$t_{90} = 2.3025T$

Teraz, dla czasu narastania tr;

$t_r = t_{90} - t_{10}$

$t_r = 2.3025T - 0.1053T$

$t_r = 2.197 T$

$t_r \approx 2.2T = \frac{2.2}{a}$

Czas narastania w systemie drugiego rzędu

W systemie drugiego rzędu czas narastania oblicza się od 0% do 100% dla systemu niedobudowanego, od 10% do 90% dla systemu nadobudowanego, oraz od 5% do 95% dla systemu krytycznie dobudowanego.

Oto omówimy obliczenie czasu narastania dla systemu drugiego rzędu. Równanie dla systemu drugiego rzędu to:

$C(t) = 1-\frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi)$

Czas narastania oznaczony jest jako tr.

$C(t) = C(t_r) = 1$

$1 = 1 - \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi)$

$\frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi) = 0$

$sin(\omega_d t_r + \phi) = 0$

$sin(\omega_d t_r + \phi) = sin(\pi)$

$(\omega_d t_r + \phi) = (\pi)$

$\omega_d t_r = \pi - \phi$

$t_r = \frac{\pi - \phi}{\omega_d}$

Gdzie,

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$\phi = tan^{-1} (\frac{\sqrt{1-\zeta^2})}{\zeta}$

Zatem, ostateczny wzór na czas narastania to:

$t_r = \frac{\pi - tan^{-1} (\frac{\sqrt{1-\zeta^2})}{\zeta}}{\omega_n \sqrt{1-\zeta^2} }$

Jak obliczyć czas narastania?

System pierwszego rzędu

Na przykład, znajdź czas narastania systemu pierwszego rzędu. Funkcja przenoszenia systemu pierwszego rzędu przedstawiona jest w poniższym równaniu.

$G(s) = \frac{5}{s+2}$

Porównaj funkcję przenoszenia z standardową formą funkcji przenoszenia.

$G(s) = \frac{b}{s+a}$

Więc; a=2 i b=5;

Równanie czasu narastania dla systemu pierwszego rzędu to;

$t_r = \frac{2.2}{a}$

$t_r = \frac{2.2}{2}$

$t_r = 1.1 sec$

System drugiego rzędu

Oblicz czas narastania systemu drugiego rzędu o częstotliwości własnej 5 rad/s i współczynniku tłumienia 0.6.

$\omega_n = 5 rad/sec$

$\zeta = 0.6$

Równanie czasu narastania dla układu drugiego rzędu to:

$t_r = \frac{\pi - \phi}{\omega_d}$

Teraz musimy znaleźć wartości ф i ωd.

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-\zeta^2}}{\zeta} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-0.6 ^2}}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-0.36}}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{0.8}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} (1.33)$

$\phi = 0.9272 rad$

Teraz, dla ωd,

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$\omega_d = 5 \times 0.8$

$\omega_d = 4 rad/sec$

Wstaw te wartości do równania czasu narastania;

$t_r = \frac{3.14-0.9272}{4}$

$t_r = \frac{2.2128}{4}$

$t_r = 0.5532 sec$

Dlaczego czas narastania wynosi 10% do 90%?

Aby obliczyć czas narastania, nie jest konieczne, aby mierzyliśmy czas między 10% a 90%.

Jednak w większości przypadków czas narastania jest obliczany między tymi wartościami.

Używamy tych wartości, ponieważ sygnały mogą mieć bardzo różne formy falowe w pierwszych i ostatnich częściach ich końcowych wartości.

Na przykład, rozważmy poniższy wzorzec przełączania:

switching pattern — Wzorzec przełączania

Wartość ta była w przybliżeniu równa zero przez pewien czas, zanim wzrosła i osiągnęła swoją końcową wartość.

Nie byłoby odpowiednie obliczać „czasu narastania” od momentu, gdy wartość była równa zero, ponieważ to nie byłoby reprezentatywne dla czasu potrzebnego na wzrost sygnału w tym pośrednim stanie (oczywiście, że wystąpił jakiś wyzwalacz na początku Tr).

Na końcu używamy 90% zamiast 100%, ponieważ często sygnały nigdy nie osiągają swojej końcowej wartości.

Podobnie jak wygląda wykres logarytmiczny, nigdy nie osiąga on 100%, a nachylenie wykresu maleje wraz z upływem czasu.

Aby podsumować: urządzenia przełączające mają różne wzorce przełączania na etapie początkowym i końcowym.

Ale w trakcie przejścia między tymi etapami, wszystkie urządzenia mają podobny wzorzec wzrostu. A mierzenie 10% do 90% tego przejścia zwykle daje sprawiedliwe przedstawienie czasu narastania w szerokim zakresie urządzeń.

Dlatego, w większości warunków, obliczamy czas narastania między 10% a 90%.

Czas narastania vs Czas spadku

Czas spadku definiuje się jako czas, jaki sygnał potrzebuje, aby spaść (zmniejszyć się) od określonej wartości (X) do innej określonej wartości (Y).

W większości przypadków, górna określona wartość (X) wynosi 90% wartości szczytowej, a dolna określona wartość 10% wartości szczytowej. Poniżej przedstawiono diagram ilustrujący czas spadku.

rise time vs fall time — Czas narastania vs Czas spadku

W pewnym sensie czas spadku można uznać za odwrotność czasu narastania, jeśli chodzi o sposób jego obliczania.

Jednak ważne jest podkreślić, że czas spadku nie musi być równy czasowi narastania.

Chyba że masz symetryczną falę (np. sinusoidalną), czas narastania i czas spadku są niezależne.

Nie ma ogólnego związku między czasem narastania a czasem spadku. Oba parametry odgrywają kluczową rolę w analizie sygnałów w systemach sterowania i cyfrowej elektronice.

Czas narastania i szerokość pasma

Aby praktycznie zmierzyć sygnał, używamy oscyloskopu. Jeśli znamy czas narastania sygnału, możemy określić szerokość pasma sygnału do testów.

Pomocne to będzie przy wyborze oscyloskopu o większej lub równej szerokości pasma, co zapewni dokładne wyniki wyświetlane na oscyloskopie.

Jeśli znamy czas narastania sygnału, możemy określić, jak bardzo oscyloskop spowolni sygnał i dodatkowo zwiększy jego czas narastania.

Związek między szerokością pasma (BW) a czasem narastania (tr) wyraża się poniższym wzorem.

$BW \approx \frac{0.35}{t_r}$

Wzór ten zakłada, że czas narastania jest mierzony w zakresie od 10% do 90% wartości końcowej.

Wygodne jednostki szerokości pasma to MHz lub GHz, a dla czasu narastania μs lub ns.

Jeśli wejściowe wzmacniacze oscyloskopu mają proste odpowiedzi częstotliwościowe, licznik 0.35 daje dokładny wynik.

Wiele oscyloskopów ma jednak szybsze zanikanie, aby zapewnić bardziej płaską odpowiedź częstotliwościową w pasmie przepustowym. W takich warunkach licznik zwiększa się do 0.45 lub więcej.

Na przykład, gdy fala prostokątna jest wyświetlana na oscyloskopie, ma czas narastania 10-90% równy 1ns. Jaka będzie przybliżona szerokość pasma oscyloskopu?

Podstawiając te liczby do powyższego wzoru,

$BW = \frac{3.5}{10^{-9}} = 3.5 \times 10^{-9} = 350MHz$