Waktu Naik: Apa itu? (Persamaan dan Cara Menghitungnya)

Bidang: Listrik Dasar

China

apa itu rise time

Apa itu Rise Time?

Rise time didefinisikan sebagai waktu yang dibutuhkan oleh sinyal untuk melewati dari nilai rendah tertentu ke nilai tinggi tertentu. Dalam elektronik analog dan digital, nilai rendah dan nilai tinggi yang ditentukan adalah 10% dan 90% dari nilai akhir atau steady-state. Jadi, rise time biasanya didefinisikan sebagai berapa lama sinyal membutuhkan waktu untuk pergi dari 10% hingga 90% dari nilai akhirnya.

Rise time adalah parameter penting dalam sistem analog dan digital. Ini menggambarkan waktu yang dibutuhkan output untuk naik dari satu level ke level lain dalam sistem analog, yang memiliki banyak implikasi di dunia nyata. Rise time memberi tahu kita berapa lama sinyal berada dalam keadaan antara dua level logika yang valid dalam sistem digital.

Dalam teori kontrol, rise time didefinisikan sebagai waktu yang dibutuhkan respons untuk naik dari X% hingga Y% dari nilai akhirnya. Nilai X dan Y bervariasi tergantung pada jenis sistem.

Rise time untuk sistem orde kedua underdamped adalah 0% hingga 100%, untuk sistem critically damped adalah 5% hingga 95%, dan untuk sistem overdamped adalah 10% hingga 90%.

Persamaan Rise Time

Untuk perhitungan dalam analisis domain waktu, kita mempertimbangkan sistem orde pertama dan sistem orde kedua.

Jadi, untuk menghitung rumus rise time, kita mempertimbangkan sistem orde pertama dan sistem orde kedua.

Rise Time Sistem Orde Pertama

Sistem orde pertama dipertimbangkan dengan fungsi transfer loop tertutup berikut.

$G(s) = \frac{1}{Ts+1} = \frac{b}{s+a}$

Dalam fungsi transfer, T didefinisikan sebagai konstanta waktu. Karakteristik domain waktu dari sistem orde pertama dihitung berdasarkan konstanta waktu T.

Sekarang, asumsikan bahwa input referensi dari sistem loop tertutup adalah fungsi langkah satuan. Dan didefinisikan dalam istilah transformasi Laplace sebagai;

$R(s) = \frac{1}{s}$

Jadi, sinyal output akan didefinisikan sebagai;

$C(s) = G(s) R(s)$

$C(s) = \frac{1}{Ts+1} \times \frac{1}{s}$

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}} \times \frac{1}{s}$

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}$

Selesaikan persamaan ini menggunakan pecahan parsial

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

Sekarang, cari nilai A1 dan A2;

$\frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}} = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}$

$A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s = \frac{1}{T}$

Untuk s=0;

$A_1(0+\frac{1}{T}) + A_2 (0) = \frac{1}{T}$

$A_1 \frac{1}{T} = \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

Untuk s=-1/T;

$A_1(\frac{-1}{T} + \frac{1}{T}) + A_2 (\frac{-1}{T}) = \frac{1}{T}$

$A_1 (0) - A_2 \frac{1}{T} = \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

Oleh karena itu,

$C(s) = \frac{1}{s} + \frac{-1}{s+\frac{1}{T}}$

Mengambil Laplace invers;

$C(t) = L^{-1} \left[ \frac{1}{s} -\frac{1}{s+\frac{1}{T}} \right]$

$C(t) = 1-e^{\frac{-t}{T}}$

Sekarang, kita menghitung waktu naik antara 10% dan 90% dari nilai akhir.

$C(t_{10}) = 0.10 \quad and \quad C(t_{90}) = 0.90$

$0.10 = 1 - e^{\frac{t_{10}}{T}}$

$e^{\frac{t_{10}}{T}} = 1-0.10$

$e^{\frac{t_{10}}{T}} = 0.9$

$\frac{-t_{10}}{T} = ln(0.9)$

$t_{10} = -T ln(0.9)$

$t_{10} = -T (-0.1053)$

$t_{10} = 0.1053T$

Dengan cara yang sama;

$0.90 = 1 - e^{\frac{t_{90}}{T}}$

$e^{\frac{t_{90}}{T}} = 1 - 0.9$

$e^{\frac{t_{90}}{T}} = 0.1$

$\frac{-t_{90}}{T} = ln(0.1)$

$t_{90} = -T (-2.3025)$

$t_{90} = 2.3025T$

Sekarang, untuk waktu naik tr;

$t_r = t_{90} - t_{10}$

$t_r = 2.3025T - 0.1053T$

$t_r = 2.197 T$

$t_r \approx 2.2T = \frac{2.2}{a}$

Waktu Naik Sistem Orde Kedua

Dalam sistem orde kedua, waktu naik dihitung dari 0% hingga 100% untuk sistem underdamped, 10% hingga 90% untuk sistem overdamped, dan 5% hingga 95% untuk sistem critically damped.

Di sini, kita akan membahas perhitungan waktu naik untuk sistem orde kedua. Dan persamaan untuk sistem orde kedua adalah;

$C(t) = 1-\frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi)$

Waktu naik dinyatakan dengan tr.

$C(t) = C(t_r) = 1$

$1 = 1 - \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi)$

$\frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi) = 0$

$\sin(\omega_d t_r + \phi) = 0$

$\sin(\omega_d t_r + \phi) = \sin(\pi)$

$(\omega_d t_r + \phi) = (\pi)$

$\omega_d t_r = \pi - \phi$

$t_r = \frac{\pi - \phi}{\omega_d}$

Di mana,

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$\phi = tan^{-1} (\frac{\sqrt{1-\zeta^2})}{\zeta}$

Oleh karena itu, rumus akhir untuk waktu naik adalah;

$t_r = \frac{\pi - tan^{-1} (\frac{\sqrt{1-\zeta^2})}{\zeta}}{\omega_n \sqrt{1-\zeta^2} }$

Bagaimana Menghitung Waktu Naik?

Sistem Orde Pertama

Sebagai contoh, temukan waktu naik dari sistem orde pertama. Fungsi transfer dari sistem orde pertama ditunjukkan dalam persamaan di bawah ini.

$G(s) = \frac{5}{s+2}$

Bandingkan fungsi transfer dengan bentuk standar fungsi transfer.

$G(s) = \frac{b}{s+a}$

Jadi; a=2 dan b=5;

Persamaan waktu naik untuk sistem orde pertama adalah;

$t_r = \frac{2.2}{a}$

$t_r = \frac{2.2}{2}$

$t_r = 1.1 sec$

Sistem Orde Dua

Temukan waktu naik dari sistem orde dua dengan frekuensi alami 5 rad/det dan rasio redaman 0.6.

$\omega_n = 5 rad/sec$

$\zeta = 0.6$

Persamaan untuk waktu naik sistem orde kedua adalah;

$t_r = \frac{\pi - \phi}{\omega_d}$

Sekarang, kita perlu menemukan nilai ф dan ωd.

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-\zeta^2}}{\zeta} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-0.6 ^2}}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-0.36}}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{0.8}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} (1.33)$

$\phi = 0.9272 rad$

Sekarang, untuk ωd,

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$\omega_d = 5 \times 0.8$

$\omega_d = 4 rad/sec$

Masukkan nilai-nilai ini ke dalam persamaan waktu naik;

$t_r = \frac{3.14-0.9272}{4}$

$t_r = \frac{2.2128}{4}$

$t_r = 0.5532 sec$

Mengapa Waktu Naik 10% hingga 90%?

Untuk menghitung waktu naik, tidak wajib kita mengukur waktu antara 10% hingga 90%.

Namun, dalam sebagian besar kasus, waktu naik dihitung antara nilai-nilai tersebut.

Kami menggunakan nilai-nilai ini karena sinyal mungkin memiliki bentuk gelombang yang sangat berbeda pada bagian awal dan akhir dari nilai akhirnya.

Misalnya, lihat pola perubahan di bawah ini:

Nilai ini berada pada kisaran nol selama beberapa waktu sebelum naik dan mencapai nilai akhirnya.

Tidak tepat untuk menghitung "waktu naik" dari saat nilai berada di nol, karena hal ini tidak mewakili waktu yang dibutuhkan sinyal untuk naik selama keadaan peralihan ini (jelas ada beberapa pemicu yang terjadi pada awal Tr).

Pada ujung akhir, kami menggunakan 90% bukan 100% karena seringkali sinyal tidak akan pernah mencapai nilai akhirnya.

Sama seperti grafik logaritmik, sinyal tidak akan pernah benar-benar mencapai 100%, dengan gradien grafik yang menurun seiring waktu.

Jadi, untuk merangkum: perangkat beralih memiliki pola beralih yang berbeda pada tahap awal dan akhir.

Namun, selama transisi antara tahap-tahap tersebut, semua perangkat memiliki pola kenaikan yang serupa. Dan pengukuran 10% hingga 90% dari transisi ini biasanya memberikan representasi yang adil dari waktu naik di berbagai perangkat.

Oleh karena itu, dalam kebanyakan kondisi, kita menghitung waktu naik antara 10% dan 90%.

Waktu Naik vs Waktu Turun

Waktu turun didefinisikan sebagai waktu yang dibutuhkan oleh sinyal untuk turun (berkurang) dari nilai tertentu (X) ke nilai lain yang ditentukan (Y).

Dalam kebanyakan kasus, nilai atas yang ditentukan (X) adalah 90% dari nilai puncak dan nilai bawah yang ditentukan adalah 10% dari nilai puncak. Diagram yang menggambarkan waktu turun ditunjukkan di bawah ini.

rise time vs fall time — Waktu Naik vs Waktu Turun

Jadi, dalam arti tertentu, waktu turun dapat dianggap sebagai kebalikan dari waktu naik, dalam hal cara penghitungannya.

Namun penting untuk menekankan bahwa waktu turun tidak selalu sama dengan waktu naik.

Kecuali Anda memiliki gelombang simetris (seperti gelombang sinus), waktu naik dan waktu turun adalah independen.

Dan tidak ada hubungan umum antara waktu naik dan waktu turun. Kedua kuantitas ini memainkan peran vital dalam analisis sinyal pada sistem kendali dan elektronika digital.

Waktu Naik dan Bandwidth

Untuk mengukur sinyal secara praktis, kita menggunakan osiloskop. Jika kita mengetahui waktu naik sinyal, kita dapat menemukan bandwidth sinyal untuk pengujian.

Hal ini akan membantu memilih osiloskop dengan bandwidth yang lebih besar atau setidaknya sama. Dan hal ini akan memberikan hasil tampilan yang akurat di osiloskop.

Jika kita mengetahui waktu naik sinyal, kita dapat mengetahui seberapa banyak osiloskop akan melambatkan sinyal dan menambahkan ke waktu naiknya.

Hubungan antara bandwidth (BW) dan waktu naik (tr) dinyatakan dalam rumus di bawah ini.

$BW \approx \frac{0.35}{t_r}$

Rumus di atas mengasumsikan bahwa waktu naik diukur dalam rentang 10% hingga 90% dari nilai akhir.

Satuan yang nyaman untuk bandwidth adalah MHz atau GHz dan untuk waktu naik μs atau ns.

Jika amplifier input osiloskop memiliki respons frekuensi sederhana, pembilang 0.35 memberikan hasil yang akurat.

Namun, banyak osiloskop memiliki roll-off yang lebih cepat untuk memberikan respons frekuensi yang lebih datar di band lewat. Dalam kondisi ini, pembilang ditingkatkan menjadi 0.45 atau lebih.

Misalnya, ketika gelombang persegi ditampilkan pada osiloskop, memiliki waktu naik 10-90% sebesar 1ns. Berapakah lebar pita (bandwidth) osiloskop tersebut?

Dengan mengganti angka-angka ini ke dalam rumus di atas,

$BW = \frac{3.5}{10^{-9}} = 3.5 \times 10^{-9} = 350MHz$